12: Funciones de varias variables
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Una función de la forma\(y=f(x)\) es una función de una sola variable; dado un valor de\(x\), podemos encontrar un valor\(y\). Incluso las funciones con valores vectoriales del Capítulo 11 son funciones de una sola variable; la entrada es una sola variable aunque la salida es un vector. Hay muchas situaciones en las que una cantidad deseada es función de dos o más variables. Por ejemplo, el frío del viento se mide conociendo la temperatura y la velocidad del viento; el volumen de un gas puede calcularse conociendo la presión y la temperatura del gas; para calcular el promedio de bateo de un jugador de béisbol, se necesita saber el número de golpes y el número de bates at. En este capítulo se estudian las funciones multivariables, es decir, las funciones con más de una entrada.
- 12.1: Introducción a las Funciones Multivariables
- La gráfica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos (x, y, f (x, y)) donde (x, y) está en el dominio de f. Esto crea una superficie en el espacio.
- 12.2: Límites y continuidad de las funciones multivariables
- Seguimos con el patrón que hemos establecido en este texto: después de definir un nuevo tipo de función, le aplicamos ideas de cálculo. En la sección anterior se definieron funciones de dos y tres variables; esta sección investiga lo que significa que estas funciones sean “continuas”.
- 12.3: Derivadas Parciales
- Una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, manteniéndose las otras constantes (a diferencia de la derivada total, en la que se permite que todas las variables varíen). Las derivadas parciales se utilizan en el cálculo vectorial y la geometría diferencial.
- 12.4: Diferenciabilidad y Diferencial Total
- Extendemos esta idea a funciones de dos variables.
- 12.5: La regla de la cadena multivariable
- En esta sección extendemos la Regla de Cadena a funciones de más de una variable.
- 12.6: Derivados direccionales
- Derivadas parciales nos dan una comprensión de cómo cambia una superficie cuando nos movemos en las direcciones x e y. Pero, ¿y si no nos movíamos exactamente en las direcciones x o y? Los derivados parciales por sí solos no pueden medirlo. Esta sección investiga las derivadas direccionales, que sí miden esta tasa de cambio.
- 12.7: Líneas tangentes, líneas normales y planos tangentes
- Derivadas y líneas tangentes van de la mano. Cuando se trata de funciones de dos variables, la gráfica ya no es una curva sino una superficie. En un punto dado de la superficie, parece que hay muchas líneas que se ajustan a nuestra intuición de ser “tangentes” a la superficie.
- 12.8: Valores extremos
- Dada una función z=f (x, y), a menudo nos interesan los puntos donde z toma los valores más grandes o más pequeños.