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LibreTexts Español

6.E: Aplicaciones de la Antidiferenciación (Ejercicios)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

6.1: Sustitución

Términos y Conceptos

1. Sustitución “deshace” ¿Qué regla derivada?

2. T/F: Se puede usar álgebra para reescribir el integrando de una integral para que sea más fácil de evaluar.

Problemas

En los Ejercicios 3-14, evaluar el integrando indefinido para desarrollar una comprensión de la Sustitución.

3. 3x2(x35)7dx

4. (2x5)(x25x+7)3dx

5. x(x2+1)8dx

6. (12x+14)(3x2+7x+7)3dx

7. 12x+7dx

8. 12x+3dx

9. xx+3dx

10. x3xxdx

11. exxdx

12. x4x5+1dx

13. 1x+1x2dx

14. ln(x)xdx

En los Ejercicios 15-23, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones trigonométricas.

15. sin2(x)cos(x)dx

16. cos(36x)dx

17. sec2(4x)dx

18. sec(2x)dx

19. tan2(x)sec2(x)dx

20. xcos(x2)dx

21. tan2(x)dx

22. cotxdx. No se limite a referirse al Teorema 45 para la respuesta; justifíquelo a través de Sustitución.

23. cscxdx. No se limite a referirse al Teorema 45 para la respuesta; justifíquelo a través de Sustitución.

En los Ejercicios 24-30, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones exponenciales.

24. e3x1dx

25. ex3x2dx

26. ex22x+1(x1)dx

27. ex+1exdx

28. exexe2xdx

29. 33xdx

30. 42xdx

En los Ejercicios 31-34, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones logarítmicas.

31. lnxxdx

32. (lnx)2xdx

33. (lnx)3xdx

34. 1xln(x2)dx

En los Ejercicios 35-40, utilice la Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones racionales.

35. x2+3x+1xdx

36. x3+x2+x+1xdx

37. x31x+!dx

38. x2+2x5x3dx

39. 3x25x+7x+1dx

40. x2+2x+1x3+3x2+3xdx

En los Ejercicios 41-50, utilice Sustitución para evaluar las funciones trigonométricas inversas integrales indefinidas.

41. 7x2+7dx

42. 39x2dx

43. 145x2dx

44. 2xx29dx

45. 5x416x2dx

46. x1x4dx

47. 1x22x+8dx

48. 2x2+6x+7dx

49. 3x2+8x+9dx

50. 5x2+6x+34dx

En los Ejercicios 51-75, evaluar la integral indefinida.

51. x2(x3+3)2dx

52. (3x2+2x)(5x3+5x2+2)8dx

53. x1x2dx

54. x2csc2(x3+1)dx

55. sin(x)cos(x)dx

56. 1x5dx

57. 73x+2dx

58. 3x3+4x2+2x22x2+3x+5dx

59. 2x+7x2+7x+3dx

60. 9(2x+3)3x2+9x+7dx

61. x3+14x246x7x27x+1dx

62. xx2+81dx

63. 24x2+1dx

64. 1x4x21dx

65. 1169x2dx

66. 3x2x22x+10dx

67. 72xx2+12x+61dx

68. x2+5x2x210x+32dx

69. x3x2+9dx

70. x3xx2+4x+9dx

71. sin(x)cos2(x)+1dx

72. cos(x)sin2(x)+1dx

73. cos(x)1sin2(x)dx

74. 3x3x22x6dx

75. x3x26x+8dx

En Ejercicios 76-83, evaluar la integral definida.

76. 311x5dx

77. 62xx2dx

78. π/2π/2sin2(x)cos(x)dx

79. 102x(1x2)4dx

80. 12(x+1)ex2+2x+1dx

81. 111x+x2dx

82. 421x26x+10dx

83. 3114x2dx

6.2: Integración por Partes

Términos y Conceptos

1. T/F: Integración por Partes es útil en la evaluación de integrands que contienen productos de función.

2. T/F: La integración por partes puede considerarse como el “opuesto a la regla de la cadena”.

3. ¿Para qué es útil “LIATE”?

Problemas

En los Ejercicios 4-33, evaluar la integral indefinida dada.

4. xsinxdx

5. xexdx

6. x2sinxdx

7. x3sinxdx

8. xex2dx

9. x3exdx

10. xe2xdx

11. exsinxdx

12. e2xcosxdx

13. e2xsin(3x)dx

14. e5xcos(5x)dx

15. sinxcosxdx

16. sin1xdx

17. tan1(2x)dx

18. xtan1xdx

19. sin1xdx

20. xlnxdx

21. (x2)lnxdx

22. xln(x1)dx

23. xln(x2)dx

24. x2lnxdx

25. (lnx)2dx

26. (ln(x+1))2dx

27. xsec2xdx

28. xcsc2xdx

29. xx2dx

30. xx22dx

31. secxtanxdx

32. xsecxtanxdx

33. xcscxcotxdx

En los Ejercicios 34-38, evaluar la integral indefinida después de hacer primero una sustitución.

34. sin(lnx)dx

35. sin(x)dx

36. ln(x)dx

37. exdx

38. elnxdx

En los Ejercicios 39-47, evaluar la integral definida. Nota: las integrales indefinidas correspondientes aparecen en los Ejercicios 4-12.

39. π0xsinxdx

40. 11xexdx

41. π/4π/4x2sinxdx

42. π/2π/2x3sinxdx

43. ln20xex2dx

44. 10x3exdx

45. 21xe2xdx

46. π0exsinxdx

47. π/2π/2e2xcosxdx

6.3: Integrales trigonométricas

Términos y Conceptos

1. T/F:sin2(x)cos2xdx no se puede evaluar utilizando las técnicas descritas en esta sección ya que ambas potencias desinx ycosx son pares.

2. T/F:sin3xcos3xdx no se puede evaluar utilizando las técnicas descritas en esta sección ya que ambas potencias desinx and cosx son impares.

3. T/F: En esta sección se aborda cómo evaluar integrales indefinidas comosin5xtan3xdx.

Problemas

En Ejercicios 4-26, evaluar la integral indefinida.

4. sinxcos4xdx

5. sin3xcosxdx

6. sin3xcos2xdx

7. sin3xcos3xdx

8. sin6xcos5xdx

9. sin2xcos7xdx

10. sin2xcos2xdx

11. sin(5x)cos(3x)dx

12. sin(x)cos(2x)dx

13. sin(3x)sin(7x)dx

14. sin(πx)sin(2πx)dx

15. cos(x)cos(2x)dx

16. cos(π2x)cos(πx)dx

17. tan4xsec2xdx

18. tan2xsec4xdx

19. tan3xsec4xdx

20. tan3xsec2xdx

21. tan3xsec3xdx

22. tan5xsec5xdx

23. tan4(x)dx

24. sec5xdx

25. tan2xsecxdx

26. tan2xsec3xdx

En los Ejercicios 27-33, evaluar la integral definida. Nota: las integrales indefinidas correspondientes aparecen en el conjunto anterior.

27. π0sinxcos4xdx

28. ππsin3xcosxdx

29. π/2π/2sin2xcos7xdx

30. π/20sin(5x)cos(3x)dx

31. π/2π/2cos(x)cos(2x)dx

32. π/40tan4xsec2xdx

33. π/4π/4tan2xsec4xdx

6.4: Sustitución trigonométrica

Términos y Conceptos

1. La Sustitución Trigonométrica funciona sobre los mismos principios que la Integración por Sustitución, aunque puede sentirse “_____”.

2. Si uno usa Sustitución Trigonométrica en un integrando que contiene25x2, entonces uno debe establecer x = ______.

3. Consideremos la identidad pitagóricasin2θ+cos2θ=1.
a) ¿Qué identidad se obtiene cuando ambas partes están divididas porcos2θ?
b) Utilizar la nueva identidad para simplificar9tan2θ+9.

4. ¿Por qué Key Idea 13 (a) afirma esoa2x2=acosθ, y no|acosθ|?

Problemas

En los Ejercicios 5-16, aplicar la Sustitución Trigonométrica para evaluar las integrales indefinidas.

5. x2+1dx

6. x2+4dx

7. 1x2dx

8. 9x2dx

9. x21dx

10. x216dx

11. 4x2+1dx

12. 19x2dx

13. 16x21dx

14. 3x2+2dx

15. 37x2dx

16. 5x28dx

En los Ejercicios 17-26, evaluar las integrales indefinidas. Algunos pueden ser evaluados sin Sustitución Trigonométrica.

17. x211xdx

18. 1(x2+1)2dx

19. xx23dx

20. x21x2dx

21. x(x2+0)3/2dx

22. 5x2x210dx

23. 1(x2+4x+13)2dx

24. x2(1x2)3/2dx

25. 5x27x2dx

26. x2x2+3dx

En los Ejercicios 27-32, evaluar las integrales definidas haciendo la sustitución trigonométrica adecuada y cambiando los límites de la integración. (Nota: cada una de las integrales indefinidas correspondientes ha aparecido previamente en el conjunto Ejercicio.)

27. 111x2dx

28. 84x216dx

29. 20x2+4dx

30. 111(x2+1)2dx

31. 119x2dx

32. 11x21x2dx

6.5 Descomposición parcial de la fracción

Términos y Conceptos

1. Rellene el espacio en blanco: La descomposición parcial de la fracción es un método de reescritura de _____ funciones.

2. T/F: A veces es necesario utilizar la división polinómica antes de usar Descomposición de Fracción Parcial.

3. Descomponerse1x23x sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.

4. Descomponerse7xx29 sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.

5. Descomponersex3x27 sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.

6. Descomponerse2x+5x3+7x sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.

Problemas

En Ejercicios 7-25, evaluar la integral indefinida.

7. 7x+7x2+3x10dx

8. 7x2x2+xdx

9. 43x212dx

10. x+7(x+5)2dx

11. 3x20(x+8)2dx

12. 9x2+11x+7x(x+1)2dx

13. 12x2x+33(x1)(x+3)(32x)dx

14. 94x210x(7x+3)(5x1)(3x1)dx

15. x2+2+1x2+x2dx

16. x3x22x20dx

17. 2x24x+6x22x+3dx

18. 1x2+3x2+3xdx

19. x2+x+5x2+4x+10dx

20. 12x2+21x+3(x+1)(3x2+5x1)dx

21. 6x2+8x4(x3)(x2+6x+10)dx

22. 2x2+x+1(x+1)(x2+9)dx

23. x220x69(x7)(x2+2x+17)dx

24. 9x260x+33(x9)(x22x+11)dx

25. 6x2+45x+121(x+2)(x2+10x+27)dx

En los Ejercicios 26-29, evaluar la integral definida.

26. 218x+21(x+2)(x+3)dx

27. \int_{0}^{5} \frac{14x+6}{(3x+2)(x+4)} \,dx

28. \int_{-1}^{1} \frac{x^2+5x-5}{(x-10)(x^2+4x+5)} \,dx

29. \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)(x^2+2x+1)} \,dx

6.6: Funciones hiperbólicas

Términos y Conceptos

1. En la Idea Clave 16,\int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C se da la ecuación. ¿Por qué no se usa\ln |\cosh x| "" -es decir, ¿por qué no son necesarios los valores absolutos?

2. Las funciones hiperbólicas se utilizan para definir puntos en la porción derecha de la hipérbolax^2-y^2=1, como se muestra en la Figura 6.13. ¿Cómo podemos usar las funciones hiperbólicas para definir puntos en la porción izquierda de la hipérbola?

Problemas

En los Ejercicios 3-10, verificar la identidad dada usando la Definición 23, como se hizo en el Ejemplo 186.

3. \coth^2 x-\text{csch }^2 x=1

4. \cosh 2x = \cosh^2 x+\sinh^2 x

5. \cosh^2 x = \frac{\cosh 2x+1}{2}

6. \sinh^2 x = \frac{\cosh 2x-1}{2}

7. \frac{d}{dx} [\text{sech } x] = -\text{sech } x \tanh x

8. \frac{d}{dx} [\coth x] = -\text{sech } x \tanh x

9. \int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C

10. \int \coth x\,dx = \ln |\sinh x|+C

En Ejercicios 11-21, encuentra la derivada de la función dada.

11. f(x) = \cosh 2x

12. f(x) = \tanh (x^2)

13. f(x) = \ln (\sinh x)

14. f(x) = \sinh x\cosh x

15. f(x) = x\sinh x -\cosh x

16. f(x) = \text{sech }^{-1}(x^2)

17. f(x) = \sinh^{-1}(3x)

18. f(x) = \cosh^{-1}(2x^2)

19. f(x) = \tanh^{-1}(x+5)

20. f(x) = \tanh^{-1} (\cos x)

21. f(x) = \cosh^{-1} (\sec x)

En Ejercicios 22-26, encuentra la ecuación de la línea tangente a la función en el valor x dado.

22. f(x) = \sinh x\text{ at }x=0

23. f(x) = \cosh x\text{ at }x=\ln 2

24. f(x) = \text{sech }^2 x\text{ at }x=\ln3

25. f(x) = \sinh^{-1} x\text{ at }x=0

26. f(x) = \cosh^{-1} x\text{ at }x=\sqrt{2}

En los Ejercicios 27-40, evaluar la integral indefinida dada.

27. \int \tanh (2x)\,dx

28. \int \cosh (3x-7) \,dx

29. \int \sinh x \cosh x\,dx

30. \int x\cosh x \,dx

31. \int x\sinh x\,dx

32. \int \frac{1}{9-x^2}\,dx

33. \int \frac{2x}{\sqrt{x^4-4}}\,dx

34. \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^3}}\,dx

35. \int \frac{1}{x^2-16}\,dx

36. \int \frac{1}{x^2+x}\,dx

37. \int \frac{e^x}{x^{2x}+1}\,dx

38. \int \sinh^{-1} x\,dx

39. \int \tanh^{-1}x\,dx

40. \int \text{sech } x\,dx(Pista: multiplicar por\frac{\cosh x}{\cosh x}; estableceru=\sinh x.)

En los Ejercicios 41-43, evaluar la integral definida dada.

41. \int_{-1}^{1}\sinh x\,dx

42. \int_{-\ln 2}^{\ln 2}\cosh x\,dx

43. \int_{0}^1 \tanh^{-1}x\,dx.

6.7: Regla de L'Hopital

Términos y Conceptos

1. Enumere las diferentes formas indeterminadas descritas en esta sección.

2. T/F: La regla de L'hopital proporciona un método más rápido para calcular derivados.

3. T/F: L'hopitals Regla establece que\frac{d}{dx} \left ( \frac{f(x)}{g(x)}\right ) = \frac{f'(x)}{g'(x)}.

4. Explique lo que significa la forma indeterminada1^{\infty} "”.

5. Rellena los espacios en blanco” Se aplica la Regla del Cociente\frac{f(x)}{g(x)} al tomar _____; La Regla de L'hopital se aplica al tomar cierta_______.

6. Crear (pero no evaluar) un límite que devuelva "\infty^0”.

7. Crear una funciónf(x) tal que\lim\limits_{x\to1}f(x) devuelva "0^0”.

Problemas

En los Ejercicios 8-52, evaluar el límite dado.

8. \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}

9. \lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{x^2-7x+10}

10. \lim\limits_{x\to \pi} \frac{\sin x}{x-\pi}

11. \lim\limits_{x\to\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{\cos (2x)}

12. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (5x)}{x}

13. \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{x+2}

14. \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)}

15. \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (ax)}{\sin (bx)}

16. \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-1}{x^2}

17. \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-x-1}{x^2}

18. \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{x-\sin x}{x^3-x^2}

19. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^4}{e^x}

20. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x}

21. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{\sqrt{x}}

22. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{2^x}

23. \lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x}{3^x}

24. \lim\limits_{x\to 3} \frac{x^3-5x^2+3x+9}{x^3-7x^2+15x-9}

25. \lim\limits_{x\to -2}\frac{x^3+4x^2+4x}{x^3+7x^2+16x+12}

26. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}

27. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln (x^2)}{x}

28. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\left ( \ln x\right )^2}{x}

29. \lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot \ln x

30. \lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}\cdot \ln x

31. \lim\limits_{x\to 0^+} xe^{1/x}

32. \lim\limits_{x\to \infty} x^3-x^2

33. \lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x}-\ln x

34. \lim\limits_{x\to -\infty} xe^x

35. \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}e^{-1/x}

36. \lim\limits_{x\to 0^+} (1+x)^{1/x}

37. \lim\limits_{x\to 0+} (2x)^x

38. \lim\limits_{x\to 0^+} (2/x)^x

39. \lim\limits_{x\to 0^+} (\sin x)^xPista: usa el Teorema de Squeeze.

40. \lim\limits_{x\to 1^+} (1-x)^{1-x}

41. \lim\limits_{x\to \infty} (x)^{1/x}

42. \lim\limits_{x\to \infty} (1/x)^x

43. \lim\limits_{x\to 1^1} (\ln x)^{1-x}

44. \lim\limits_{x\to \infty} (1+x)^{1/x}

45. \lim\limits_{x\to \infty}(1+x^2)^{1/x}

46. \lim\limits_{x\to \pi/2} \tan x \cos x

47. \lim\limits_{x\to \pi /2} \tan x \sin (2x)

48. \lim\limits_{x\to 1^+} \frac{1}{\ln x}-\frac{1}{1-x}

49. \lim\limits_{x\to 3^+} \frac{5}{x^2-9}-\frac{x}{x-3}

50. \lim\limits_{x\to \infty}x\tan (1/x)

51. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{(\ln x)^3}{x}

52. \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{\ln x}

6.8: Integración inadecuada

Términos y Conceptos

1. La integral definitiva se definió con qué dos estipulaciones?

2. Si\lim\limits_{b\to \infty}\int_0^b f(x)\,dx existe, entonces\int_0^{\infty}f(x)\,dx se dice que la integral __________.

3. Si\int_1^{\infty} f(x)\,dx=10,\text{ and }0\le g(x)\le f(x) por todos x, entonces sabemos que\int_1^{\infty}g(x)\,dx ______.

4. ¿Para qué valores de p\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx convergerán?

5. ¿Para qué valores de p\int_{10}^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx convergerán?

6. ¿Para qué valores de p\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p}\,dx convergerán?

Problemas

En los Ejercicios 7-33, evaluar la integral impropia dada.

7. \int_0^{\infty}e^{5-2x}\,dx

8. \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} \,dx

9. \int_{1}^{\infty}x^{-4} \,dx

10. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+9} \,dx

11. \int_{-\infty}^{0}2^x \,dx

12. \int_{-\infty}^{0}\left ( \frac{1}{2}\right )^x \,dx

13. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+1} \,dx

14. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+4} \,dx

15. \int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx

16. \int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx

17. \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x-1} \,dx

18. \int_{1}^{2}\frac{1}{x-1} \,dx

19. \int_{-1}^{1}\frac{1}{x} \,dx

20. \int_{1}^{3}\frac{1}{x-2} \,dx

21. \int_{0}^{\pi} \sec^2 x \,dx

22. \int_{-2}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx

23. \int_{0}^{\infty}xe^{-x} \,dx

24. \int_{0}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx

25. \int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx

26. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} \,dx

27. \int_{0}^{1}x\ln x \,dx

28. \int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \,dx

29. \int_{0}^{1}\ln x \,dx

30. \int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} \,dx

31. \int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \,dx

32. \int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin x \,dx

33. \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x \,dx

En los Ejercicios 34-43, utilice la Prueba de Comparación Directa o la Prueba de Comparación de Límites para determinar si la integral definida dada converge o diverge. Exponga claramente qué prueba se está utilizando y con qué función se está comparando el integrando.

34. \int_{10}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{3x^2+2x-5}} \,dx

35. \int_{2}^{\infty} \frac{4}{\sqrt{7x^3-x}} \,dx

36. \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^3-x^2+x+1}} \,dx

37. \int_{1}^{\infty} e^{-x}\ln x \,dx

38. \int_{5}^{\infty} e^{-x^2+3x-1} \,dx

39. \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x} \,dx

40. \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2+\sin x} \,dx

41. \int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^2+\cos x} \,dx

42. \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x+e^x} \,dx

43. \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x-x} \,dx


6.E: Aplicaciones de la Antidiferenciación (Ejercicios) is shared under a CC BY-NC license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

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