6.E: Aplicaciones de la Antidiferenciación (Ejercicios)

6.1: Sustitución

Términos y Conceptos

1. Sustitución “deshace” ¿Qué regla derivada?

2. T/F: Se puede usar álgebra para reescribir el integrando de una integral para que sea más fácil de evaluar.

Problemas

En los Ejercicios 3-14, evaluar el integrando indefinido para desarrollar una comprensión de la Sustitución.

3. \(\int 3x^2 (x^3-5)^7\,dx\)

4. \(\int (2x-5)(x^2-5x+7)^3\,dx\)

5. \(\int x(x^2+1)^8\,dx\)

6. \(\int (12x+14)(3x^2+7x+7)^3\,dx\)

7. \(\int \frac{1}{2x+7}\,dx\)

8. \(\int \frac{1}{\sqrt{2x+3}}\,dx\)

9. \(\int \frac{x}{\sqrt{x+3}}\,dx\)

10. \(\int \frac{x^3-x}{\sqrt{x}}\,dx\)

11. \(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx\)

12. \(\int \frac{x^4}{\sqrt{x^5+1}}\,dx\)

13. \(\int \frac{\frac{1}{x}+1}{x^2}\,dx\)

14. \(\int \frac{\ln (x)}{x}\,dx\)

En los Ejercicios 15-23, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones trigonométricas.

15. \(\int \sin^2 (x) \cos (x)\,dx\)

16. \(\int \cos (3-6x)\,dx\)

17. \(\int \sec^2 (4-x)\,dx\)

18. \(\int \sec (2x)\,dx\)

19. \(\int \tan^2 (x)\sec^2 (x)\,dx\)

20. \(\int x \cos (x^2)\,dx\)

21. \(\int \tan^2 (x)\,dx\)

22. \(\int \cot x\,dx\). No se limite a referirse al Teorema 45 para la respuesta; justifíquelo a través de Sustitución.

23. \(\int \csc x\,dx\). No se limite a referirse al Teorema 45 para la respuesta; justifíquelo a través de Sustitución.

En los Ejercicios 24-30, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones exponenciales.

24. \(\int e^{3x-1}\,dx\)

25. \(\int e^{x^3}x^2\,dx\)

26. \(\int e^{x^2-2x+1}(x-1)\,dx\)

27. \(\int \frac{e^x+1}{e^x}\,dx\)

28. \(\int \frac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}}\,dx\)

29. \(\int 3^{3x}\,dx\)

30. \(\int 4^{2x}\,dx\)

En los Ejercicios 31-34, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones logarítmicas.

31. \(\int \frac{\ln x}{x}\,dx\)

32. \(\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx\)

33. \(\int \frac{(\ln x)^3}{x}\,dx\)

34. \(\int \frac{1}{x\ln (x^2)}\,dx\)

En los Ejercicios 35-40, utilice la Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones racionales.

35. \(\int \frac{x^2+3x+1}{x}\,dx\)

36. \(\int \frac{x^3+x^2+x+1}{x}\,dx\)

37. \(\int \frac{x^3-1}{x+!}\,dx\)

38. \(\int \frac{x^2+2x-5}{x-3}\,dx\)

39. \(\int \frac{3x^2-5x+7}{x+1}\,dx\)

40. \(\int \frac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x}\,dx\)

En los Ejercicios 41-50, utilice Sustitución para evaluar las funciones trigonométricas inversas integrales indefinidas.

41. \(\int \frac{7}{x^2+7}\,dx\)

42. \(\int \frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\,dx\)

43. \(\int \frac{14}{\sqrt{5-x^2}}\,dx\)

44. \(\int \frac{2}{x\sqrt{x^2-9}}\,dx\)

45. \(\int \frac{5}{\sqrt{x^4-16x^2}}\,dx\)

46. \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx\)

47. \(\int \frac{1}{x^2-2x+8}\,dx\)

48. \(\int \frac{2}{\sqrt{-x^2+6x+7}}\,dx\)

49. \(\int \frac{3}{\sqrt{-x^2+8x+9}}\,dx\)

50. \(\int \frac{5}{x^2+6x+34}\,dx\)

En los Ejercicios 51-75, evaluar la integral indefinida.

51. \(\int \frac{x^2}{(x^3+3)^2}\,dx\)

52. \(\int (3x^2+2x)(5x^3+5x^2+2)^8\,dx\)

53. \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\)

54. \(\int x^2 \csc^2 (x^3+1)\,dx\)

55. \(\int \sin (x) \sqrt{\cos (x)}\,dx\)

56. \(\int \frac{1}{x-5}\,dx\)

57. \(\int \frac{7}{3x+2}\,dx\)

58. \(\int \frac{3x^3+4x^2+2x-22}{x^2+3x+5}\,dx\)

59. \(\int \frac{2x+7}{x^2+7x+3}\,dx\)

60. \(\int \frac{9(2x+3)}{3x^2+9x+7}\,dx\)

61. \(\int \frac{-x^3+14x^2-46x-7}{x^2-7x+1}\,dx\)

62. \(\int \frac{x}{x^2+81}\,dx\)

63. \(\int \frac{2}{4x^2+1}\,dx\)

64. \(\int \frac{1}{x\sqrt{4x^2-1}}\,dx\)

65. \(\int \frac{1}{\sqrt{16-9x^2}}\,dx\)

66. \(\int \frac{3x-2}{x^2-2x+10}\,dx\)

67. \(\int \frac{7-2x}{x^2+12x+61}\,dx\)

68. \(\int \frac{x^2+5x-2}{x^2-10x+32}\,dx\)

69. \(\int \frac{x^3}{x^2+9}\,dx\)

70. \(\int \frac{x^3-x}{x^2+4x+9}\,dx\)

71. \(\int \frac{\sin (x)}{\cos^2 (x)+1}\,dx\)

72. \(\int \frac{\cos (x)}{\sin^2 (x)+1}\,dx\)

73. \(\int \frac{\cos (x)}{1-\sin^2 (x)}\,dx\)

74. \(\int \frac{3x-3}{\sqrt{x^2-2x-6}}\,dx\)

75. \(\int \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+8}}\,dx\)

En Ejercicios 76-83, evaluar la integral definida.

76. \(\int_1^3 \frac{1}{x-5}\,dx\)

77. \(\int_2^6 x\sqrt{x-2}\,dx\)

78. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 (x)\cos (x)\,dx\)

79. \(\int_0^1 2x (1-x^2)^4\,dx\)

80. \(\int_{-2}^{-1} (x+1)e^{x^2+2x+1}\,dx\)

81. \(\int_{-1}^1 \frac{1}{x+x^2}\,dx\)

82. \(\int_2^4 \frac{1}{x^2-6x+10}\,dx\)

83. \(\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\)

6.2: Integración por Partes

Términos y Conceptos

1. T/F: Integración por Partes es útil en la evaluación de integrands que contienen productos de función.

2. T/F: La integración por partes puede considerarse como el “opuesto a la regla de la cadena”.

3. ¿Para qué es útil “LIATE”?

Problemas

En los Ejercicios 4-33, evaluar la integral indefinida dada.

4. \(\int x\sin x\,dx\)

5. \(\int xe^{-x}\,dx\)

6. \(\int x^2\sin x\,dx\)

7. \(\int x^3\sin x\,dx\)

8. \(\int xe^{x^2}\,dx\)

9. \(\int x^3e^x\,dx\)

10. \(\int xe^{-2x}\,dx\)

11. \(\int e^x \sin x\,dx\)

12. \(\int e^{2x}\cos x\,dx\)

13. \(\int e^{2x}\sin (3x)\,dx\)

14. \(\int e^{5x}\cos (5x)\,dx\)

15. \(\int \sin x \cos x\,dx\)

16. \(\int \sin^{-1} x\,dx\)

17. \(\int \tan^{-1} (2x)\,dx\)

18. \(\int x\tan^{-1} x\,dx\)

19. \(\int \sin^{-1} x\,dx\)

20. \(\int x\ln x\,dx\)

21. \(\int (x-2)\ln x\,dx\)

22. \(\int x\ln (x-1)\,dx\)

23. \(\int x\ln (x^2)\,dx\)

24. \(\int x^2 \ln x\,dx\)

25. \(\int (\ln x)^2\,dx\)

26. \(\int (\ln (x+1))^2\,dx\)

27. \(\int x\sec^2 x\,dx\)

28. \(\int x\csc^2 x\,dx\)

29. \(\int x\sqrt{x-2}\,dx\)

30. \(\int x\sqrt{x^2-2}\,dx\)

31. \(\int \sec x \tan x\,dx\)

32. \(\int x\sec x \tan x\,dx\)

33. \(\int x\csc x \cot x\,dx\)

En los Ejercicios 34-38, evaluar la integral indefinida después de hacer primero una sustitución.

34. \(\int \sin (\ln x)\,dx\)

35. \(\int \sin (\sqrt{x})\,dx\)

36. \(\int \ln (\sqrt{x})\,dx\)

37. \(\int e^{\sqrt{x}}\,dx\)

38. \(\int e^{\ln x}\,dx\)

En los Ejercicios 39-47, evaluar la integral definida. Nota: las integrales indefinidas correspondientes aparecen en los Ejercicios 4-12.

39. \(\int_0^{\pi} x\sin x\,dx\)

40. \(\int_{-1}^1 xe^{-x}\,dx\)

41. \(\int_{-\pi/4}{^\pi/4} x^2\sin x\,dx\)

42. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^3\sin x\,dx\)

43. \(\int_0^{\sqrt{\ln 2}} xe^{x^2}\,dx\)

44. \(\int_0^1 x^3e^x\,dx\)

45. \(\int_1^2 xe^{-2x}\,dx\)

46. \(\int_0^{\pi} e^x \sin x\,dx\)

47. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{2x}\cos x\,dx\)

6.3: Integrales trigonométricas

Términos y Conceptos

1. T/F:\(\int \sin^2 (x) \cos^2 x \,dx\) no se puede evaluar utilizando las técnicas descritas en esta sección ya que ambas potencias de\(\sin x\) y\(\cos x\) son pares.

2. T/F:\(\sin^3 x \cos^3 x \,dx\) no se puede evaluar utilizando las técnicas descritas en esta sección ya que ambas potencias de\(\sin x\text{ and }\cos x\) son impares.

3. T/F: En esta sección se aborda cómo evaluar integrales indefinidas como\(\int \sin^5 x \tan^3 x\,dx\).

Problemas

En Ejercicios 4-26, evaluar la integral indefinida.

4. \(\int \sin x \cos^4 x\,dx\)

5. \(\int \sin^3 x \cos x\,dx\)

6. \(\int \sin^3 x \cos^2 x\,dx\)

7. \(\int \sin^3 x \cos^3 x\,dx\)

8. \(\int \sin^6 x \cos^5 x\,dx\)

9. \(\int \sin^2 x \cos^7 x\,dx\)

10. \(\int \sin^2 x \cos^2 x\,dx\)

11. \(\int \sin (5x) \cos (3x)\,dx\)

12. \(\int \sin (x) \cos (2x)\,dx\)

13. \(\int \sin (3x) \sin (7x)\,dx\)

14. \(\int \sin (\pi x) \sin (2\pi x)\,dx\)

15. \(\int \cos (x) \cos (2x)\,dx\)

16. \(\int \cos \left (\frac{\pi}{2}x\right ) \cos (\pi x)\,dx\)

17. \(\int \tan^4 x \sec^2 x\,dx\)

18. \(\int \tan^2 x \sec^4 x\,dx\)

19. \(\int \tan^3 x \sec^4 x\,dx\)

20. \(\int \tan^3 x \sec^2 x\,dx\)

21. \(\int \tan^3 x \sec^3 x\,dx\)

22. \(\int \tan^5 x \sec^5 x\,dx\)

23. \(\int \tan^4 (x)\,dx\)

24. \(\int \sec^5 x\,dx\)

25. \(\int \tan^2 x \sec x\,dx\)

26. \(\int \tan^2 x \sec^3 x\,dx\)

En los Ejercicios 27-33, evaluar la integral definida. Nota: las integrales indefinidas correspondientes aparecen en el conjunto anterior.

27. \(\int_{0}^{\pi}\sin x \cos^4 x \,dx\)

28. \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin^3 x \cos x \,dx\)

29. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^7 x \,dx\)

30. \(\int_{0}^{\pi/2} \sin (5x) \cos (3x) \,dx\)

31. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos (x) \cos (2x) \,dx\)

32. \(\int_{0}^{\pi/4} \tan^4 x \sec^2 x \,dx\)

33. \(\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan^2 x \sec^4 x \,dx\)

6.4: Sustitución trigonométrica

Términos y Conceptos

1. La Sustitución Trigonométrica funciona sobre los mismos principios que la Integración por Sustitución, aunque puede sentirse “_____”.

2. Si uno usa Sustitución Trigonométrica en un integrando que contiene\(\sqrt{25-x^2}\), entonces uno debe establecer x = ______.

3. Consideremos la identidad pitagórica\(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\).
a) ¿Qué identidad se obtiene cuando ambas partes están divididas por\(\cos^2 \theta\)?
b) Utilizar la nueva identidad para simplificar\(9\tan^2 \theta +9\).

4. ¿Por qué Key Idea 13 (a) afirma eso\(\sqrt{a^2-x^2} = a\cos \theta\), y no\(|a \cos \theta |\)?

Problemas

En los Ejercicios 5-16, aplicar la Sustitución Trigonométrica para evaluar las integrales indefinidas.

5. \(\int \sqrt{x^2+1}\,dx\)

6. \(\int \sqrt{x^2+4}\,dx\)

7. \(\int \sqrt{1-x^2}\,dx\)

8. \(\int \sqrt{9-x^2}\,dx\)

9. \(\int \sqrt{x^2-1}\,dx\)

10. \(\int \sqrt{x^2-16}\,dx\)

11. \(\int \sqrt{4x^2+1}\,dx\)

12. \(\int \sqrt{1-9x^2}\,dx\)

13. \(\int \sqrt{16x^2-1}\,dx\)

14. \(\int \frac{3}{\sqrt{x^2+2}}\,dx\)

15. \(\int \frac{3}{\sqrt{7-x^2}}\,dx\)

16. \(\int \frac{5}{\sqrt{x^2-8}}\,dx\)

En los Ejercicios 17-26, evaluar las integrales indefinidas. Algunos pueden ser evaluados sin Sustitución Trigonométrica.

17. \(\int \frac{\sqrt{x^2-11}}{x}\,dx\)

18. \(\int \frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx\)

19. \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2-3}}\,dx\)

20. \(\int x^2 \sqrt{1-x^2}\,dx\)

21. \(\int \frac{x}{(x^2+0)^{3/2}}\,dx\)

22. \(\int \frac{5x^2}{\sqrt{x^2-10}}\,dx\)

23. \(\int \frac{1}{(x^2+4x+13)^2}\,dx\)

24. \(\int x^2(1-x^2)^{-3/2}\,dx\)

25. \(\int \frac{\sqrt{5-x^2}}{7x^2}\,dx\)

26. \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\,dx\)

En los Ejercicios 27-32, evaluar las integrales definidas haciendo la sustitución trigonométrica adecuada y cambiando los límites de la integración. (Nota: cada una de las integrales indefinidas correspondientes ha aparecido previamente en el conjunto Ejercicio.)

27. \(\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2} \,dx\)

28. \(\int_{4}^{8}\sqrt{x^2-16} \,dx\)

29. \(\int_{0}^{2}\sqrt{x^2+4} \,dx\)

30. \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{(x^2+1)^2} \,dx\)

31. \(\int_{-1}^{1} \sqrt{9x^2} \,dx\)

32. \(\int_{-1}^{1}x^2\sqrt{1-x^2} \,dx\)

6.5 Descomposición parcial de la fracción

Términos y Conceptos

1. Rellene el espacio en blanco: La descomposición parcial de la fracción es un método de reescritura de _____ funciones.

2. T/F: A veces es necesario utilizar la división polinómica antes de usar Descomposición de Fracción Parcial.

3. Descomponerse\(\frac{1}{x^2-3x}\) sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.

4. Descomponerse\(\frac{7-x}{x^2-9}\) sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.

5. Descomponerse\(\frac{x-3}{x^2-7}\) sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.

6. Descomponerse\(\frac{2x+5}{x^3+7x}\) sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.

Problemas

En Ejercicios 7-25, evaluar la integral indefinida.

7. \(\int \frac{7x+7}{x^2+3x-10}\,dx\)

8. \(\int \frac{7x-2}{x^2+x}\,dx\)

9. \(\int \frac{-4}{3x^2-12}\,dx\)

10. \(\int \frac{x+7}{(x+5)^2}\,dx\)

11. \(\int \frac{-3x-20}{(x+8)^2}\,dx\)

12. \(\int \frac{9x^2+11x+7}{x(x+1)^2}\,dx\)

13. \(\int \frac{-12x^2-x+33}{(x-1)(x+3)(3-2x)}\,dx\)

14. \(\int \frac{94x^2-10x}{(7x+3)(5x-1)(3x-1)}\,dx\)

15. \(\int \frac{x^2+2+1}{x^2+x-2}\,dx\)

16. \(\int \frac{x^3}{x^2-2x-20}\,dx\)

17. \(\int \frac{2x^2-4x+6}{x^2-2x+3}\,dx\)

18. \(\int \frac{1}{x^2+3x^2+3x}\,dx\)

19. \(\int \frac{x^2+x+5}{x^2+4x+10}\,dx\)

20. \(\int \frac{12x^2+21x+3}{(x+1)(3x^2+5x-1)}\,dx\)

21. \(\int \frac{6x^2+8x-4}{(x-3)(x^2+6x+10)}\,dx\)

22. \(\int \frac{2x^2+x+1}{(x+1)(x^2+9)}\,dx\)

23. \(\int \frac{x^2-20x-69}{(x-7)(x^2+2x+17)}\,dx\)

24. \(\int \frac{9x^2-60x+33}{(x-9)(x^2-2x+11)}\,dx\)

25. \(\int \frac{6x^2+45x+121}{(x+2)(x^2+10x+27)}\,dx\)

En los Ejercicios 26-29, evaluar la integral definida.

26. \(\int_{1}^{2} \frac{8x+21}{(x+2)(x+3)} \,dx\)

27. \(\int_{0}^{5} \frac{14x+6}{(3x+2)(x+4)} \,dx\)

28. \(\int_{-1}^{1} \frac{x^2+5x-5}{(x-10)(x^2+4x+5)} \,dx\)

29. \(\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)(x^2+2x+1)} \,dx\)

6.6: Funciones hiperbólicas

Términos y Conceptos

1. En la Idea Clave 16,\(\int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C\) se da la ecuación. ¿Por qué no se usa\(\ln |\cosh x|\) "" -es decir, ¿por qué no son necesarios los valores absolutos?

2. Las funciones hiperbólicas se utilizan para definir puntos en la porción derecha de la hipérbola\(x^2-y^2=1\), como se muestra en la Figura 6.13. ¿Cómo podemos usar las funciones hiperbólicas para definir puntos en la porción izquierda de la hipérbola?

Problemas

En los Ejercicios 3-10, verificar la identidad dada usando la Definición 23, como se hizo en el Ejemplo 186.

3. \(\coth^2 x-\text{csch }^2 x=1\)

4. \(\cosh 2x = \cosh^2 x+\sinh^2 x\)

5. \(\cosh^2 x = \frac{\cosh 2x+1}{2}\)

6. \(\sinh^2 x = \frac{\cosh 2x-1}{2}\)

7. \(\frac{d}{dx} [\text{sech } x] = -\text{sech } x \tanh x\)

8. \(\frac{d}{dx} [\coth x] = -\text{sech } x \tanh x\)

9. \(\int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C\)

10. \(\int \coth x\,dx = \ln |\sinh x|+C\)

En Ejercicios 11-21, encuentra la derivada de la función dada.

11. \(f(x) = \cosh 2x\)

12. \(f(x) = \tanh (x^2)\)

13. \(f(x) = \ln (\sinh x)\)

14. \(f(x) = \sinh x\cosh x\)

15. \(f(x) = x\sinh x -\cosh x\)

16. \(f(x) = \text{sech }^{-1}(x^2)\)

17. \(f(x) = \sinh^{-1}(3x)\)

18. \(f(x) = \cosh^{-1}(2x^2)\)

19. \(f(x) = \tanh^{-1}(x+5)\)

20. \(f(x) = \tanh^{-1} (\cos x)\)

21. \(f(x) = \cosh^{-1} (\sec x)\)

En Ejercicios 22-26, encuentra la ecuación de la línea tangente a la función en el valor x dado.

22. \(f(x) = \sinh x\text{ at }x=0\)

23. \(f(x) = \cosh x\text{ at }x=\ln 2\)

24. \(f(x) = \text{sech }^2 x\text{ at }x=\ln3\)

25. \(f(x) = \sinh^{-1} x\text{ at }x=0\)

26. \(f(x) = \cosh^{-1} x\text{ at }x=\sqrt{2}\)

En los Ejercicios 27-40, evaluar la integral indefinida dada.

27. \(\int \tanh (2x)\,dx\)

28. \(\int \cosh (3x-7) \,dx\)

29. \(\int \sinh x \cosh x\,dx\)

30. \(\int x\cosh x \,dx\)

31. \(\int x\sinh x\,dx\)

32. \(\int \frac{1}{9-x^2}\,dx\)

33. \(\int \frac{2x}{\sqrt{x^4-4}}\,dx\)

34. \(\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^3}}\,dx\)

35. \(\int \frac{1}{x^2-16}\,dx\)

36. \(\int \frac{1}{x^2+x}\,dx\)

37. \(\int \frac{e^x}{x^{2x}+1}\,dx\)

38. \(\int \sinh^{-1} x\,dx\)

39. \(\int \tanh^{-1}x\,dx\)

40. \(\int \text{sech } x\,dx\)(Pista: multiplicar por\(\frac{\cosh x}{\cosh x}\); establecer\(u=\sinh x\).)

En los Ejercicios 41-43, evaluar la integral definida dada.

41. \(\int_{-1}^{1}\sinh x\,dx\)

42. \(\int_{-\ln 2}^{\ln 2}\cosh x\,dx\)

43. \(\int_{0}^1 \tanh^{-1}x\,dx\).

6.7: Regla de L'Hopital

Términos y Conceptos

1. Enumere las diferentes formas indeterminadas descritas en esta sección.

2. T/F: La regla de L'hopital proporciona un método más rápido para calcular derivados.

3. T/F: L'hopitals Regla establece que\(\frac{d}{dx} \left ( \frac{f(x)}{g(x)}\right ) = \frac{f'(x)}{g'(x)}\).

4. Explique lo que significa la forma indeterminada\(1^{\infty}\) "”.

5. Rellena los espacios en blanco” Se aplica la Regla del Cociente\(\frac{f(x)}{g(x)}\) al tomar _____; La Regla de L'hopital se aplica al tomar cierta_______.

6. Crear (pero no evaluar) un límite que devuelva "\(\infty^0\)”.

7. Crear una función\(f(x)\) tal que\(\lim\limits_{x\to1}f(x)\) devuelva "\(0^0\)”.

Problemas

En los Ejercicios 8-52, evaluar el límite dado.

8. \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}\)

9. \(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{x^2-7x+10}\)

10. \(\lim\limits_{x\to \pi} \frac{\sin x}{x-\pi}\)

11. \(\lim\limits_{x\to\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{\cos (2x)}\)

12. \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (5x)}{x}\)

13. \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{x+2}\)

14. \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)}\)

15. \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (ax)}{\sin (bx)}\)

16. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-1}{x^2}\)

17. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-x-1}{x^2}\)

18. \(\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{x-\sin x}{x^3-x^2}\)

19. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^4}{e^x}\)

20. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x}\)

21. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{\sqrt{x}}\)

22. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{2^x}\)

23. \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x}{3^x}\)

24. \(\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^3-5x^2+3x+9}{x^3-7x^2+15x-9}\)

25. \(\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^3+4x^2+4x}{x^3+7x^2+16x+12}\)

26. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}\)

27. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln (x^2)}{x}\)

28. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\left ( \ln x\right )^2}{x}\)

29. \(\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot \ln x\)

30. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}\cdot \ln x\)

31. \(\lim\limits_{x\to 0^+} xe^{1/x}\)

32. \(\lim\limits_{x\to \infty} x^3-x^2\)

33. \(\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x}-\ln x\)

34. \(\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x\)

35. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}e^{-1/x}\)

36. \(\lim\limits_{x\to 0^+} (1+x)^{1/x}\)

37. \(\lim\limits_{x\to 0+} (2x)^x\)

38. \(\lim\limits_{x\to 0^+} (2/x)^x\)

39. \(\lim\limits_{x\to 0^+} (\sin x)^x\)Pista: usa el Teorema de Squeeze.

40. \(\lim\limits_{x\to 1^+} (1-x)^{1-x}\)

41. \(\lim\limits_{x\to \infty} (x)^{1/x}\)

42. \(\lim\limits_{x\to \infty} (1/x)^x\)

43. \(\lim\limits_{x\to 1^1} (\ln x)^{1-x}\)

44. \(\lim\limits_{x\to \infty} (1+x)^{1/x}\)

45. \(\lim\limits_{x\to \infty}(1+x^2)^{1/x}\)

46. \(\lim\limits_{x\to \pi/2} \tan x \cos x\)

47. \(\lim\limits_{x\to \pi /2} \tan x \sin (2x)\)

48. \(\lim\limits_{x\to 1^+} \frac{1}{\ln x}-\frac{1}{1-x}\)

49. \(\lim\limits_{x\to 3^+} \frac{5}{x^2-9}-\frac{x}{x-3}\)

50. \(\lim\limits_{x\to \infty}x\tan (1/x)\)

51. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{(\ln x)^3}{x}\)

52. \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{\ln x}\)

6.8: Integración inadecuada

Términos y Conceptos

1. La integral definitiva se definió con qué dos estipulaciones?

2. Si\(\lim\limits_{b\to \infty}\int_0^b f(x)\,dx\) existe, entonces\(\int_0^{\infty}f(x)\,dx\) se dice que la integral __________.

3. Si\(\int_1^{\infty} f(x)\,dx=10,\text{ and }0\le g(x)\le f(x)\) por todos x, entonces sabemos que\(\int_1^{\infty}g(x)\,dx\) ______.

4. ¿Para qué valores de p\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx\) convergerán?

5. ¿Para qué valores de p\(\int_{10}^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx\) convergerán?

6. ¿Para qué valores de p\(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p}\,dx\) convergerán?

Problemas

En los Ejercicios 7-33, evaluar la integral impropia dada.

7. \(\int_0^{\infty}e^{5-2x}\,dx\)

8. \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} \,dx\)

9. \(\int_{1}^{\infty}x^{-4} \,dx\)

10. \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+9} \,dx\)

11. \(\int_{-\infty}^{0}2^x \,dx\)

12. \(\int_{-\infty}^{0}\left ( \frac{1}{2}\right )^x \,dx\)

13. \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+1} \,dx\)

14. \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+4} \,dx\)

15. \(\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx\)

16. \(\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx\)

17. \(\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x-1} \,dx\)

18. \(\int_{1}^{2}\frac{1}{x-1} \,dx\)

19. \(\int_{-1}^{1}\frac{1}{x} \,dx\)

20. \(\int_{1}^{3}\frac{1}{x-2} \,dx\)

21. \(\int_{0}^{\pi} \sec^2 x \,dx\)

22. \(\int_{-2}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx\)

23. \(\int_{0}^{\infty}xe^{-x} \,dx\)

24. \(\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx\)

25. \(\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx\)

26. \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} \,dx\)

27. \(\int_{0}^{1}x\ln x \,dx\)

28. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \,dx\)

29. \(\int_{0}^{1}\ln x \,dx\)

30. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} \,dx\)

31. \(\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \,dx\)

32. \(\int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin x \,dx\)

33. \(\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x \,dx\)

En los Ejercicios 34-43, utilice la Prueba de Comparación Directa o la Prueba de Comparación de Límites para determinar si la integral definida dada converge o diverge. Exponga claramente qué prueba se está utilizando y con qué función se está comparando el integrando.

34. \(\int_{10}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{3x^2+2x-5}} \,dx\)

35. \(\int_{2}^{\infty} \frac{4}{\sqrt{7x^3-x}} \,dx\)

36. \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^3-x^2+x+1}} \,dx\)

37. \(\int_{1}^{\infty} e^{-x}\ln x \,dx\)

38. \(\int_{5}^{\infty} e^{-x^2+3x-1} \,dx\)

39. \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x} \,dx\)

40. \(\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2+\sin x} \,dx\)

41. \(\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^2+\cos x} \,dx\)

42. \(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x+e^x} \,dx\)

43. \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x-x} \,dx\)