6.E: Aplicaciones de la Antidiferenciación (Ejercicios)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
6.1: Sustitución
Términos y Conceptos
1. Sustitución “deshace” ¿Qué regla derivada?
2. T/F: Se puede usar álgebra para reescribir el integrando de una integral para que sea más fácil de evaluar.
Problemas
En los Ejercicios 3-14, evaluar el integrando indefinido para desarrollar una comprensión de la Sustitución.
3. ∫3x2(x3−5)7dx
4. ∫(2x−5)(x2−5x+7)3dx
5. ∫x(x2+1)8dx
6. ∫(12x+14)(3x2+7x+7)3dx
7. ∫12x+7dx
8. ∫1√2x+3dx
9. ∫x√x+3dx
10. ∫x3−x√xdx
11. ∫e√x√xdx
12. ∫x4√x5+1dx
13. ∫1x+1x2dx
14. ∫ln(x)xdx
En los Ejercicios 15-23, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones trigonométricas.
15. ∫sin2(x)cos(x)dx
16. ∫cos(3−6x)dx
17. ∫sec2(4−x)dx
18. ∫sec(2x)dx
19. ∫tan2(x)sec2(x)dx
20. ∫xcos(x2)dx
21. ∫tan2(x)dx
22. ∫cotxdx. No se limite a referirse al Teorema 45 para la respuesta; justifíquelo a través de Sustitución.
23. ∫cscxdx. No se limite a referirse al Teorema 45 para la respuesta; justifíquelo a través de Sustitución.
En los Ejercicios 24-30, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones exponenciales.
24. ∫e3x−1dx
25. ∫ex3x2dx
26. ∫ex2−2x+1(x−1)dx
27. ∫ex+1exdx
28. ∫ex−e−xe2xdx
29. ∫33xdx
30. ∫42xdx
En los Ejercicios 31-34, utilice Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones logarítmicas.
31. ∫lnxxdx
32. ∫(lnx)2xdx
33. ∫(lnx)3xdx
34. ∫1xln(x2)dx
En los Ejercicios 35-40, utilice la Sustitución para evaluar la integral indefinida que involucra funciones racionales.
35. ∫x2+3x+1xdx
36. ∫x3+x2+x+1xdx
37. ∫x3−1x+!dx
38. ∫x2+2x−5x−3dx
39. ∫3x2−5x+7x+1dx
40. ∫x2+2x+1x3+3x2+3xdx
En los Ejercicios 41-50, utilice Sustitución para evaluar las funciones trigonométricas inversas integrales indefinidas.
41. ∫7x2+7dx
42. ∫3√9−x2dx
43. ∫14√5−x2dx
44. ∫2x√x2−9dx
45. ∫5√x4−16x2dx
46. ∫x√1−x4dx
47. ∫1x2−2x+8dx
48. ∫2√−x2+6x+7dx
49. ∫3√−x2+8x+9dx
50. ∫5x2+6x+34dx
En los Ejercicios 51-75, evaluar la integral indefinida.
51. ∫x2(x3+3)2dx
52. ∫(3x2+2x)(5x3+5x2+2)8dx
53. ∫x√1−x2dx
54. ∫x2csc2(x3+1)dx
55. ∫sin(x)√cos(x)dx
56. ∫1x−5dx
57. ∫73x+2dx
58. ∫3x3+4x2+2x−22x2+3x+5dx
59. ∫2x+7x2+7x+3dx
60. ∫9(2x+3)3x2+9x+7dx
61. ∫−x3+14x2−46x−7x2−7x+1dx
62. ∫xx2+81dx
63. ∫24x2+1dx
64. ∫1x√4x2−1dx
65. ∫1√16−9x2dx
66. ∫3x−2x2−2x+10dx
67. ∫7−2xx2+12x+61dx
68. ∫x2+5x−2x2−10x+32dx
69. ∫x3x2+9dx
70. ∫x3−xx2+4x+9dx
71. ∫sin(x)cos2(x)+1dx
72. ∫cos(x)sin2(x)+1dx
73. ∫cos(x)1−sin2(x)dx
74. ∫3x−3√x2−2x−6dx
75. ∫x−3√x2−6x+8dx
En Ejercicios 76-83, evaluar la integral definida.
76. ∫311x−5dx
77. ∫62x√x−2dx
78. ∫π/2−π/2sin2(x)cos(x)dx
79. ∫102x(1−x2)4dx
80. ∫−1−2(x+1)ex2+2x+1dx
81. ∫1−11x+x2dx
82. ∫421x2−6x+10dx
83. ∫√311√4−x2dx
6.2: Integración por Partes
Términos y Conceptos
1. T/F: Integración por Partes es útil en la evaluación de integrands que contienen productos de función.
2. T/F: La integración por partes puede considerarse como el “opuesto a la regla de la cadena”.
3. ¿Para qué es útil “LIATE”?
Problemas
En los Ejercicios 4-33, evaluar la integral indefinida dada.
4. ∫xsinxdx
5. ∫xe−xdx
6. ∫x2sinxdx
7. ∫x3sinxdx
8. ∫xex2dx
9. ∫x3exdx
10. ∫xe−2xdx
11. ∫exsinxdx
12. ∫e2xcosxdx
13. ∫e2xsin(3x)dx
14. ∫e5xcos(5x)dx
15. ∫sinxcosxdx
16. ∫sin−1xdx
17. ∫tan−1(2x)dx
18. ∫xtan−1xdx
19. ∫sin−1xdx
20. ∫xlnxdx
21. ∫(x−2)lnxdx
22. ∫xln(x−1)dx
23. ∫xln(x2)dx
24. ∫x2lnxdx
25. ∫(lnx)2dx
26. ∫(ln(x+1))2dx
27. ∫xsec2xdx
28. ∫xcsc2xdx
29. ∫x√x−2dx
30. ∫x√x2−2dx
31. ∫secxtanxdx
32. ∫xsecxtanxdx
33. ∫xcscxcotxdx
En los Ejercicios 34-38, evaluar la integral indefinida después de hacer primero una sustitución.
34. ∫sin(lnx)dx
35. ∫sin(√x)dx
36. ∫ln(√x)dx
37. ∫e√xdx
38. ∫elnxdx
En los Ejercicios 39-47, evaluar la integral definida. Nota: las integrales indefinidas correspondientes aparecen en los Ejercicios 4-12.
39. ∫π0xsinxdx
40. ∫1−1xe−xdx
41. ∫−π/4π/4x2sinxdx
42. ∫π/2−π/2x3sinxdx
43. ∫√ln20xex2dx
44. ∫10x3exdx
45. ∫21xe−2xdx
46. ∫π0exsinxdx
47. ∫π/2−π/2e2xcosxdx
6.3: Integrales trigonométricas
Términos y Conceptos
1. T/F:∫sin2(x)cos2xdx no se puede evaluar utilizando las técnicas descritas en esta sección ya que ambas potencias desinx ycosx son pares.
2. T/F:sin3xcos3xdx no se puede evaluar utilizando las técnicas descritas en esta sección ya que ambas potencias desinx and cosx son impares.
3. T/F: En esta sección se aborda cómo evaluar integrales indefinidas como∫sin5xtan3xdx.
Problemas
En Ejercicios 4-26, evaluar la integral indefinida.
4. ∫sinxcos4xdx
5. ∫sin3xcosxdx
6. ∫sin3xcos2xdx
7. ∫sin3xcos3xdx
8. ∫sin6xcos5xdx
9. ∫sin2xcos7xdx
10. ∫sin2xcos2xdx
11. ∫sin(5x)cos(3x)dx
12. ∫sin(x)cos(2x)dx
13. ∫sin(3x)sin(7x)dx
14. ∫sin(πx)sin(2πx)dx
15. ∫cos(x)cos(2x)dx
16. ∫cos(π2x)cos(πx)dx
17. ∫tan4xsec2xdx
18. ∫tan2xsec4xdx
19. ∫tan3xsec4xdx
20. ∫tan3xsec2xdx
21. ∫tan3xsec3xdx
22. ∫tan5xsec5xdx
23. ∫tan4(x)dx
24. ∫sec5xdx
25. ∫tan2xsecxdx
26. ∫tan2xsec3xdx
En los Ejercicios 27-33, evaluar la integral definida. Nota: las integrales indefinidas correspondientes aparecen en el conjunto anterior.
27. ∫π0sinxcos4xdx
28. ∫π−πsin3xcosxdx
29. ∫π/2−π/2sin2xcos7xdx
30. ∫π/20sin(5x)cos(3x)dx
31. ∫π/2−π/2cos(x)cos(2x)dx
32. ∫π/40tan4xsec2xdx
33. ∫π/4−π/4tan2xsec4xdx
6.4: Sustitución trigonométrica
Términos y Conceptos
1. La Sustitución Trigonométrica funciona sobre los mismos principios que la Integración por Sustitución, aunque puede sentirse “_____”.
2. Si uno usa Sustitución Trigonométrica en un integrando que contiene√25−x2, entonces uno debe establecer x = ______.
3. Consideremos la identidad pitagóricasin2θ+cos2θ=1.
a) ¿Qué identidad se obtiene cuando ambas partes están divididas porcos2θ?
b) Utilizar la nueva identidad para simplificar9tan2θ+9.
4. ¿Por qué Key Idea 13 (a) afirma eso√a2−x2=acosθ, y no|acosθ|?
Problemas
En los Ejercicios 5-16, aplicar la Sustitución Trigonométrica para evaluar las integrales indefinidas.
5. ∫√x2+1dx
6. ∫√x2+4dx
7. ∫√1−x2dx
8. ∫√9−x2dx
9. ∫√x2−1dx
10. ∫√x2−16dx
11. ∫√4x2+1dx
12. ∫√1−9x2dx
13. ∫√16x2−1dx
14. ∫3√x2+2dx
15. ∫3√7−x2dx
16. ∫5√x2−8dx
En los Ejercicios 17-26, evaluar las integrales indefinidas. Algunos pueden ser evaluados sin Sustitución Trigonométrica.
17. ∫√x2−11xdx
18. ∫1(x2+1)2dx
19. ∫x√x2−3dx
20. ∫x2√1−x2dx
21. ∫x(x2+0)3/2dx
22. ∫5x2√x2−10dx
23. ∫1(x2+4x+13)2dx
24. ∫x2(1−x2)−3/2dx
25. ∫√5−x27x2dx
26. ∫x2√x2+3dx
En los Ejercicios 27-32, evaluar las integrales definidas haciendo la sustitución trigonométrica adecuada y cambiando los límites de la integración. (Nota: cada una de las integrales indefinidas correspondientes ha aparecido previamente en el conjunto Ejercicio.)
27. ∫1−1√1−x2dx
28. ∫84√x2−16dx
29. ∫20√x2+4dx
30. ∫1−11(x2+1)2dx
31. ∫1−1√9x2dx
32. ∫1−1x2√1−x2dx
6.5 Descomposición parcial de la fracción
Términos y Conceptos
1. Rellene el espacio en blanco: La descomposición parcial de la fracción es un método de reescritura de _____ funciones.
2. T/F: A veces es necesario utilizar la división polinómica antes de usar Descomposición de Fracción Parcial.
3. Descomponerse1x2−3x sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.
4. Descomponerse7−xx2−9 sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.
5. Descomponersex−3x2−7 sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.
6. Descomponerse2x+5x3+7x sin resolver los coeficientes, como se hizo en el Ejemplo 181.
Problemas
En Ejercicios 7-25, evaluar la integral indefinida.
7. ∫7x+7x2+3x−10dx
8. ∫7x−2x2+xdx
9. ∫−43x2−12dx
10. ∫x+7(x+5)2dx
11. ∫−3x−20(x+8)2dx
12. ∫9x2+11x+7x(x+1)2dx
13. ∫−12x2−x+33(x−1)(x+3)(3−2x)dx
14. ∫94x2−10x(7x+3)(5x−1)(3x−1)dx
15. ∫x2+2+1x2+x−2dx
16. ∫x3x2−2x−20dx
17. ∫2x2−4x+6x2−2x+3dx
18. ∫1x2+3x2+3xdx
19. ∫x2+x+5x2+4x+10dx
20. ∫12x2+21x+3(x+1)(3x2+5x−1)dx
21. ∫6x2+8x−4(x−3)(x2+6x+10)dx
22. ∫2x2+x+1(x+1)(x2+9)dx
23. ∫x2−20x−69(x−7)(x2+2x+17)dx
24. ∫9x2−60x+33(x−9)(x2−2x+11)dx
25. ∫6x2+45x+121(x+2)(x2+10x+27)dx
En los Ejercicios 26-29, evaluar la integral definida.
26. ∫218x+21(x+2)(x+3)dx
27. \int_{0}^{5} \frac{14x+6}{(3x+2)(x+4)} \,dx
28. \int_{-1}^{1} \frac{x^2+5x-5}{(x-10)(x^2+4x+5)} \,dx
29. \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)(x^2+2x+1)} \,dx
6.6: Funciones hiperbólicas
Términos y Conceptos
1. En la Idea Clave 16,\int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C se da la ecuación. ¿Por qué no se usa\ln |\cosh x| "" -es decir, ¿por qué no son necesarios los valores absolutos?
2. Las funciones hiperbólicas se utilizan para definir puntos en la porción derecha de la hipérbolax^2-y^2=1, como se muestra en la Figura 6.13. ¿Cómo podemos usar las funciones hiperbólicas para definir puntos en la porción izquierda de la hipérbola?
Problemas
En los Ejercicios 3-10, verificar la identidad dada usando la Definición 23, como se hizo en el Ejemplo 186.
3. \coth^2 x-\text{csch }^2 x=1
4. \cosh 2x = \cosh^2 x+\sinh^2 x
5. \cosh^2 x = \frac{\cosh 2x+1}{2}
6. \sinh^2 x = \frac{\cosh 2x-1}{2}
7. \frac{d}{dx} [\text{sech } x] = -\text{sech } x \tanh x
8. \frac{d}{dx} [\coth x] = -\text{sech } x \tanh x
9. \int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C
10. \int \coth x\,dx = \ln |\sinh x|+C
En Ejercicios 11-21, encuentra la derivada de la función dada.
11. f(x) = \cosh 2x
12. f(x) = \tanh (x^2)
13. f(x) = \ln (\sinh x)
14. f(x) = \sinh x\cosh x
15. f(x) = x\sinh x -\cosh x
16. f(x) = \text{sech }^{-1}(x^2)
17. f(x) = \sinh^{-1}(3x)
18. f(x) = \cosh^{-1}(2x^2)
19. f(x) = \tanh^{-1}(x+5)
20. f(x) = \tanh^{-1} (\cos x)
21. f(x) = \cosh^{-1} (\sec x)
En Ejercicios 22-26, encuentra la ecuación de la línea tangente a la función en el valor x dado.
22. f(x) = \sinh x\text{ at }x=0
23. f(x) = \cosh x\text{ at }x=\ln 2
24. f(x) = \text{sech }^2 x\text{ at }x=\ln3
25. f(x) = \sinh^{-1} x\text{ at }x=0
26. f(x) = \cosh^{-1} x\text{ at }x=\sqrt{2}
En los Ejercicios 27-40, evaluar la integral indefinida dada.
27. \int \tanh (2x)\,dx
28. \int \cosh (3x-7) \,dx
29. \int \sinh x \cosh x\,dx
30. \int x\cosh x \,dx
31. \int x\sinh x\,dx
32. \int \frac{1}{9-x^2}\,dx
33. \int \frac{2x}{\sqrt{x^4-4}}\,dx
34. \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^3}}\,dx
35. \int \frac{1}{x^2-16}\,dx
36. \int \frac{1}{x^2+x}\,dx
37. \int \frac{e^x}{x^{2x}+1}\,dx
38. \int \sinh^{-1} x\,dx
39. \int \tanh^{-1}x\,dx
40. \int \text{sech } x\,dx(Pista: multiplicar por\frac{\cosh x}{\cosh x}; estableceru=\sinh x.)
En los Ejercicios 41-43, evaluar la integral definida dada.
41. \int_{-1}^{1}\sinh x\,dx
42. \int_{-\ln 2}^{\ln 2}\cosh x\,dx
43. \int_{0}^1 \tanh^{-1}x\,dx.
6.7: Regla de L'Hopital
Términos y Conceptos
1. Enumere las diferentes formas indeterminadas descritas en esta sección.
2. T/F: La regla de L'hopital proporciona un método más rápido para calcular derivados.
3. T/F: L'hopitals Regla establece que\frac{d}{dx} \left ( \frac{f(x)}{g(x)}\right ) = \frac{f'(x)}{g'(x)}.
4. Explique lo que significa la forma indeterminada1^{\infty} "”.
5. Rellena los espacios en blanco” Se aplica la Regla del Cociente\frac{f(x)}{g(x)} al tomar _____; La Regla de L'hopital se aplica al tomar cierta_______.
6. Crear (pero no evaluar) un límite que devuelva "\infty^0”.
7. Crear una funciónf(x) tal que\lim\limits_{x\to1}f(x) devuelva "0^0”.
Problemas
En los Ejercicios 8-52, evaluar el límite dado.
8. \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}
9. \lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{x^2-7x+10}
10. \lim\limits_{x\to \pi} \frac{\sin x}{x-\pi}
11. \lim\limits_{x\to\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{\cos (2x)}
12. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (5x)}{x}
13. \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{x+2}
14. \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)}
15. \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (ax)}{\sin (bx)}
16. \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-1}{x^2}
17. \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-x-1}{x^2}
18. \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{x-\sin x}{x^3-x^2}
19. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^4}{e^x}
20. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x}
21. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{\sqrt{x}}
22. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{2^x}
23. \lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x}{3^x}
24. \lim\limits_{x\to 3} \frac{x^3-5x^2+3x+9}{x^3-7x^2+15x-9}
25. \lim\limits_{x\to -2}\frac{x^3+4x^2+4x}{x^3+7x^2+16x+12}
26. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}
27. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln (x^2)}{x}
28. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{\left ( \ln x\right )^2}{x}
29. \lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot \ln x
30. \lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}\cdot \ln x
31. \lim\limits_{x\to 0^+} xe^{1/x}
32. \lim\limits_{x\to \infty} x^3-x^2
33. \lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x}-\ln x
34. \lim\limits_{x\to -\infty} xe^x
35. \lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}e^{-1/x}
36. \lim\limits_{x\to 0^+} (1+x)^{1/x}
37. \lim\limits_{x\to 0+} (2x)^x
38. \lim\limits_{x\to 0^+} (2/x)^x
39. \lim\limits_{x\to 0^+} (\sin x)^xPista: usa el Teorema de Squeeze.
40. \lim\limits_{x\to 1^+} (1-x)^{1-x}
41. \lim\limits_{x\to \infty} (x)^{1/x}
42. \lim\limits_{x\to \infty} (1/x)^x
43. \lim\limits_{x\to 1^1} (\ln x)^{1-x}
44. \lim\limits_{x\to \infty} (1+x)^{1/x}
45. \lim\limits_{x\to \infty}(1+x^2)^{1/x}
46. \lim\limits_{x\to \pi/2} \tan x \cos x
47. \lim\limits_{x\to \pi /2} \tan x \sin (2x)
48. \lim\limits_{x\to 1^+} \frac{1}{\ln x}-\frac{1}{1-x}
49. \lim\limits_{x\to 3^+} \frac{5}{x^2-9}-\frac{x}{x-3}
50. \lim\limits_{x\to \infty}x\tan (1/x)
51. \lim\limits_{x\to \infty} \frac{(\ln x)^3}{x}
52. \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{\ln x}
6.8: Integración inadecuada
Términos y Conceptos
1. La integral definitiva se definió con qué dos estipulaciones?
2. Si\lim\limits_{b\to \infty}\int_0^b f(x)\,dx existe, entonces\int_0^{\infty}f(x)\,dx se dice que la integral __________.
3. Si\int_1^{\infty} f(x)\,dx=10,\text{ and }0\le g(x)\le f(x) por todos x, entonces sabemos que\int_1^{\infty}g(x)\,dx ______.
4. ¿Para qué valores de p\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx convergerán?
5. ¿Para qué valores de p\int_{10}^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx convergerán?
6. ¿Para qué valores de p\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p}\,dx convergerán?
Problemas
En los Ejercicios 7-33, evaluar la integral impropia dada.
7. \int_0^{\infty}e^{5-2x}\,dx
8. \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} \,dx
9. \int_{1}^{\infty}x^{-4} \,dx
10. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+9} \,dx
11. \int_{-\infty}^{0}2^x \,dx
12. \int_{-\infty}^{0}\left ( \frac{1}{2}\right )^x \,dx
13. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+1} \,dx
14. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+4} \,dx
15. \int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx
16. \int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx
17. \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x-1} \,dx
18. \int_{1}^{2}\frac{1}{x-1} \,dx
19. \int_{-1}^{1}\frac{1}{x} \,dx
20. \int_{1}^{3}\frac{1}{x-2} \,dx
21. \int_{0}^{\pi} \sec^2 x \,dx
22. \int_{-2}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx
23. \int_{0}^{\infty}xe^{-x} \,dx
24. \int_{0}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx
25. \int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx
26. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} \,dx
27. \int_{0}^{1}x\ln x \,dx
28. \int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \,dx
29. \int_{0}^{1}\ln x \,dx
30. \int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} \,dx
31. \int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \,dx
32. \int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin x \,dx
33. \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x \,dx
En los Ejercicios 34-43, utilice la Prueba de Comparación Directa o la Prueba de Comparación de Límites para determinar si la integral definida dada converge o diverge. Exponga claramente qué prueba se está utilizando y con qué función se está comparando el integrando.
34. \int_{10}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{3x^2+2x-5}} \,dx
35. \int_{2}^{\infty} \frac{4}{\sqrt{7x^3-x}} \,dx
36. \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^3-x^2+x+1}} \,dx
37. \int_{1}^{\infty} e^{-x}\ln x \,dx
38. \int_{5}^{\infty} e^{-x^2+3x-1} \,dx
39. \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x} \,dx
40. \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2+\sin x} \,dx
41. \int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^2+\cos x} \,dx
42. \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x+e^x} \,dx
43. \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x-x} \,dx