13.4: Centro de Masa

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Hemos utilizado integrales iteradas para encontrar áreas de regiones planas y volúmenes firmados debajo de superficies. Un breve resumen de estos usos será útil en esta sección ya que aplicamos integrales iteradas para calcular la masa y el centro de masa de las regiones planas.

Para encontrar el área de una región plana, se evaluó la doble integral$\displaystyle \iint_R \,dA$. Es decir, resumiendo las áreas de montones de pequeñas subregiones de nos$R$ dio la superficie total. Informalmente, pensamos$\displaystyle \iint_R \,dA$ que significa “resumir muchas pequeñas áreas”$R$.

Para encontrar el volumen firmado bajo una superficie, se evaluó la doble integral$\displaystyle \iint_R f(x,y) \,dA$. Recordemos que el$dA$ "" no es sólo un “bookend” al final de una integral; más bien, se multiplica por$f(x,y)$. Consideramos$f(x,y)$ como dar una altura, y$dA$ aún dando un área:$f(x,y) \,dA$ da un volumen. Así, informalmente,$\displaystyle \iint_Rf(x,y) \,dA$ significa “resumir muchos volúmenes pequeños”$R$.

Ahora extendemos estas ideas a otros contextos.

Masa y peso

Considera una lámina delgada de material con espesor constante y área finita. Los matemáticos (y los físicos e ingenieros) llaman a esa hoja una lámina. Entonces considere una lámina, como se muestra en la Figura$\PageIndex{1a}$, con la forma de alguna región plana$R$, como se muestra en la parte (b).

13.24.PNG — Figura$\PageIndex{1}$: Ilustrando el concepto de lámina.

Podemos escribir una simple doble integral que represente la masa de la lámina:$\displaystyle \iint_R\ dm$, donde "$dm$" significa “una pequeña masa”. Es decir, la doble integral afirma que la masa total de la lámina se puede encontrar “resumiendo muchas pequeñas masas”$R$.

Para evaluar esta doble integral, particionar$R$ en$n$ subregiones como lo hemos hecho en el pasado. La$i^{\text{th}}$ subregión tiene área$\Delta A_i$.
Una propiedad fundamental de la masa es esa “$\times$masa=área de densidad”. Si la lámina tiene una densidad constante$\delta$, entonces la masa de esta$i^{\,\text{th}}$ subregión es$\Delta m_i=\delta\Delta A_i$. Es decir, podemos calcular una pequeña cantidad de masa multiplicando una pequeña cantidad de área por la densidad.

Si la densidad es variable, con función de densidad$\delta= \delta(x,y)$, entonces podemos aproximar la masa de la$i^{\text{th}}$ subregión de$R$ multiplicando$\Delta A_i$ por$\delta(x_i,y_i)$, donde$(x_i,y_i)$ hay un punto en esa subregión. Es decir, para una subregión lo suficientemente pequeña de$R$, la densidad a través de esa región es casi constante.

Nota: La masa y el peso son medidas diferentes. Dado que son múltiplos escalares entre sí, a menudo es fácil tratarlos como la misma medida. En esta sección los tratamos efectivamente como iguales, ya que nuestra técnica para encontrar masa es la misma que para encontrar peso. Las funciones de densidad utilizadas simplemente tendrán diferentes unidades.

La masa total$M$ de la lámina es aproximadamente la suma de masas aproximadas de subregiones:
\[M \approx \sum_{i=1}^n \Delta m_i = \sum_{i=1}^n \delta(x_i,y_i)\,\Delta A_i.\nonumber\]

Tomar el límite a medida que el tamaño de las subregiones se reduce a 0 nos da la masa real; es decir, integrando$\delta(x,y)$ sobre$R$ da la masa de la lámina.

Definición 103 Masa de una Lámina con Densidad Variable

Dejar$\delta(x,y)$ ser una función de densidad continua de una lámina correspondiente a una región plana$R$. La masa$M$ de la lámina es

\[\text{mass } M = \iint_R\ dm = \iint_R \delta(x,y) \,dA.\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding the mass of a lamina with constant density

Encuentra la masa de una lámina cuadrada, con longitud lateral 1, con una densidad de$\delta = 3$ gm/cm$^2$.

Solución

Representamos la lámina con una región cuadrada en el plano como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$. Como la densidad es constante, no importa dónde coloquemos la plaza.

13.25.PNG — Figura$\PageIndex{2}$: Una región R que representa una lámina en el Ejemplo$\PageIndex{1}$.

Siguiendo la Definición 103, la masa$M$ de la lámina es
\[M = \iint_R 3 \,dA = \int_0^1\int_0^1 3\, dx \, dy = 3\int_0^1\int_0^1 \, dx \, dy=3\text{ gm}.\nonumber\]

Todo esto es muy sencillo; tenga en cuenta que todo lo que realmente hicimos fue encontrar el área de la lámina y multiplicarla por la densidad constante de$3$ gm/cm$^2$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Finding the mass of a lamina with variable density

Encuentra la masa de una lámina cuadrada, representada por el cuadrado unitario con esquina inferior izquierda en el origen (ver Figura$\PageIndex{2}$), con densidad variable$\delta(x,y) = (x+y+2)$ gm/cm$^2$.

Solución

La densidad variable$\delta$, en este ejemplo, es muy uniforme, dando una densidad de$3$ en el centro del cuadrado y cambiando linealmente. Una gráfica de se$\delta(x,y)$ puede ver en la Figura$\PageIndex{3}$; observe cómo “misma cantidad” de densidad está arriba$z=3$ como abajo. Vamos a comentar el significado de esto momentáneamente.

La masa$M$ se encuentra integrándose$\delta(x,y)$ sobre$R$. El orden de integración no es importante; elegimos$dx \,dy$ arbitrariamente. Así:
\ [\ begin {align*}
M =\ iint_r (x+y+2) dA &=\ int_0^1\ int_0^1 (x+y+2)\ dx\, dy\
&=\ int_0^1\ left. \ izquierda (\ frac 12x^2+x (y+2)\ derecha)\ derecha|_0^1\, dy\\
&=\ int_0^1\ izquierda (\ frac52+y\ derecha)\, dy\\
&=\ izquierda. \ izquierda (\ frac52y+\ frac12y^2\ derecha)\ derecha|_0^1\\
&= 3\ texto {gm}.
\ end {alinear*}\]

13.26.PNG — Figura$\PageIndex{3}$: Graficando las funciones de densidad en Ejemplos$\PageIndex{1}$ y$\PageIndex{2}$.

Resulta que dado que dado que la densidad de la lámina se distribuye de manera tan uniforme “por encima y por debajo”$z=3$ que la masa de la lámina es la misma que si tuviera una densidad constante de 3. La densidad funciona en Ejemplos$\PageIndex{1}$ y$\PageIndex{2}$ se grafican en la Figura$\PageIndex{3}$, lo que ilustra este concepto.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Finding the weight of a lamina with variable density

Encuentra el peso de la lámina representada por el círculo con radio$2$ ft, centrado en el origen, con función de densidad$\delta(x,y) = (x^2+y^2+1)$ lb/ft$^2$. Compárelo con el peso de la misma lámina con densidad$\delta(x,y) = (2\sqrt{x^2+y^2}+1)$ lb/ft$^2$.

Solución
Una aplicación directa de la Definición 103 establece que el peso de la lámina es$\displaystyle \iint_R\delta(x,y) \,dA$. Dado que nuestra lámina tiene la forma de un círculo, tiene sentido acercarse a la doble integral usando coordenadas polares.

La función de densidad$\delta(x,y) = x^2+y^2+1$ se convierte$\delta(r,\theta) = (r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2+1 = r^2+1$. El círculo está delimitado por$0\leq r\leq 2$ y$0\leq\theta\leq2\pi$. Así el peso$W$ es:

\ [\ begin {align*}
W &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (r^2+1) r\ dr\ d\ theta\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ izquierda. \ izquierda (\ frac14r^4+\ frac12r^2\ derecha)\ derecha|_0^2\, d\ theta\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ izquierda (6\ derecha)\, d\ theta\\
&= 12\ pi\ aprox 37.70\ texto {lb}.
\ end {alinear*}\]

Ahora compara esto con la función de densidad$\delta(x,y) = 2\sqrt{x^2+y^2}+1$. Convertir esto a coordenadas polares da$\delta(r,\theta) = 2\sqrt{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2}+1 = 2r+1$. Así el peso$W$ es:

\ [\ begin {align*}
W &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (2r+1) r\ dr\ d\ theta\\
&=\ int_0^ {2\ pi} (\ frac23r^3+\ frac12r^2)\ Big|_0^2\, d\ theta\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ izquierda (\ frac {22} 3\ derecha)\ d\ theta\\
&=\ frac {44} 3\ pi\ aprox 46.08\ texto {lb}.
\ end {align*}\]
Uno esperaría que diferentes funciones de densidad devolvieran diferentes pesos, como tenemos aquí. Las funciones de densidad se eligieron, sin embargo, para ser similares: cada una da una densidad de 1 en el origen y una densidad de 5 en el borde exterior del círculo, como se ve en la Figura$\PageIndex{4}$.

13.27.PNG — Figura$\PageIndex{4}$: Graficando las funciones de densidad en$\PageIndex{3}$. En (a) es la función de densidad$\delta (x,y)=x^2+y^2+1$; en (b) es$\delta (x,y)=2\sqrt{x^2+y^2}+1$.

Observe cómo$x^2+y^2+1 \leq 2\sqrt{x^2+y^2}+1$ sobre el círculo; esto resulta en menos peso.

Trazar las funciones de densidad puede ser útil ya que nuestra comprensión de la masa puede estar relacionada con nuestra comprensión del “volumen bajo una superficie”. Interpretamos$\displaystyle \iint_R f(x,y) \,dA$ como dar el volumen bajo$f$ sobre$R$; podemos entender$\displaystyle \iint_R\delta(x,y) \,dA$ de la misma manera. El “volumen” bajo$\delta$ sobre$R$ es realmente masa; al comprimir el “volumen” bajo$\delta$ sobre el$xy$ plano, obtenemos “más masa” en algunas áreas que en otras, es decir, áreas de mayor densidad.

Conocer la masa de una lámina es una de varias medidas importantes. Otro es el centro de masas, que discutimos a continuación.

Centro de Masa

Considera un disco de radio 1 con densidad uniforme. Es de conocimiento común que el disco se equilibrará en un punto si el punto se coloca en el centro del disco. ¿Y si el disco no tiene una densidad uniforme? A través de prueba y error, aún deberíamos poder encontrar un lugar en el disco en el que el disco se balanceará en un punto. Este punto de equilibrio se conoce como el centro de masa, o centro de gravedad. Es aunque toda la masa está “centrada” ahí. De hecho, si el disco tiene una masa de$3$ kg, el disco se comportará físicamente como si se tratara de una masa puntual de$3$ kg ubicada en su centro de masa. Por ejemplo, el disco girará naturalmente con un eje a través de su centro de masa (razón por la cual es importante “equilibrar” las llantas de tu auto: si están “desbalanceadas”, su centro de masa estará fuera del eje y temblará terriblemente).

Encontramos el centro de masa basado en el principio de un promedio ponderado. Considera una clase universitaria en la que el promedio de tus tareas es de 90%, tu promedio de exámenes es de 73% y tu calificación de examen final es de 85%. La experiencia nos dice que nuestra nota final no es el promedio de estas tres calificaciones: es decir, no lo es: Es
\[\frac{0.9+0.73+0.85}{3} \approx 0.837 = 83.7%.\nonumber\]
decir, probablemente no estés sacando una B en el curso. Más bien, tus calificaciones están ponderadas. Digamos que la tarea vale el 10% de la nota, las pruebas son 60% y el examen es 30%. Entonces tu nota final es:
\[(0.1)(0.9) + (0.6)(0.73)+(0.3)(0.85) = 0.783 = 78.3%.\nonumber\]
Cada nota se multiplica por un peso.

En general, dados los valores$x_1,x_2,\ldots,x_n$ y pesos$w_1,w_2,\ldots,w_n$, el promedio ponderado de los$n$ valores es
\[\sum_{i=1}^n w_ix_i\Bigg/\sum_{i=1}^n w_i.\nonumber\]

En el ejemplo de calificación anterior, la suma de los pesos 0.1, 0.6 y 0.3 es 1, así que no vemos la división por la suma de pesos en esa instancia.

Cómo se relaciona esto con el centro de masa se da en el siguiente teorema.

TEOREMA 121 Centro de Masa del Sistema Lineal Discreto

Deje que las masas de puntos$m_1,m_2,\ldots,m_n$ se distribuyan a lo largo del$x$ eje en ubicaciones$x_1,x_2,\ldots,x_n$, respectivamente. El centro de masa$\overline{x}$ del sistema se encuentra en

\[\overline{x} = \sum_{i=1}^nm_ix_i\Bigg/\sum_{i=1}^n m_i.\]

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Finding the center of mass of a discrete linear system

Las masas puntuales de$2$ gm se encuentran en$x=-1$,$x=2$ y$x=3$ están conectadas por una varilla delgada de peso insignificante. Encuentra el centro de masa del sistema.
Las masas puntuales de$10$$2$ gm,$1$ gm y gm se localizan en$x=-1$$x=3$,$x=2$ y, respectivamente, están conectadas por una varilla delgada de peso insignificante. Encuentra el centro de masa del sistema.

Solución

Siguiendo el Teorema 121, calculamos el centro de masa como:
\[\overline{x}=\frac{2(-1) + 2(2)+2(3)}{2+2+2} = \frac43 = 1.\overline{3}.\]
Así el sistema se equilibraría sobre un punto colocado en$x=4/3$, como se ilustra en la Figura$\PageIndex{5a}$.
Nuevamente siguiendo el Teorema 121, encontramos:
\[\overline{x} = \frac{10(-1)+2(2)+1(3)}{10+2+1} = \frac{-3}{13} \approx -0.23.\]
Colocar un peso grande en el lado izquierdo del sistema mueve el centro de masa a la izquierda, como se muestra en la Figura$\PageIndex{5b}$.

13.28.PNG — Figura$\PageIndex{5}$: Ilustrando masas puntuales a lo largo de una varilla delgada y el centro de masa.

En un sistema discreto (es decir, la masa se ubica en puntos individuales, no a lo largo de un continuo) encontramos el centro de masa dividiendo la masa en un momento del sistema. En general, un momento es una medida ponderada de la distancia desde un punto o línea en particular. En el caso descrito por el Teorema 121, estamos encontrando una medida ponderada de distancias desde el$y$ eje -eje, por lo que nos referimos a esto como el momento alrededor del eje$y$ -, representado por$M_y$. Dejando$M$ ser la masa total del sistema, tenemos$\overline{x} = M_y/M$.

Podemos extender el concepto del centro de masa de puntos discretos a lo largo de una línea hasta el centro de masa de puntos discretos en el plano con bastante facilidad. Para ello, definimos algunos términos luego damos un teorema.

Definición 104 Momentos sobre el$x$- and $y$- Axes.

Dejar que las masas puntuales$m_1$,$m_2,\ldots,m_n$ se ubiquen en puntos$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)\ldots,(x_n,y_n)$, respectivamente, en el$xy$ plano -.

El momento sobre el$y$ -eje,$M_y$, es$\displaystyle M_y = \sum_{i=1}^n m_ix_i.$
El momento sobre el$x$ -eje},$M_x$, es$\displaystyle M_x = \sum_{i=1}^n m_iy_i.$

Se puede pensar que estas definiciones son “al revés” como$M_y$ resume "$x$" distancias. Pero recuerden, las distancias$x$ "" son medidas de distancia desde el$y$ eje, definiendo de ahí el momento alrededor$y$ del eje.

Ahora definimos el centro de masa de los puntos discretos en el plano.

TEOREMA 122 Centro de Masa del Sistema Plano Discreto

Dejar que las masas puntuales$m_1$,$m_2,\ldots,m_n$ se$(x_1,y_1)$ ubiquen en puntos$(x_2,y_2)\ldots,(x_n,y_n)$, respectivamente, en el$xy$ plano -y dejar$\displaystyle M = \sum_{i=1}^n m_i$.
El centro de masa del sistema está en$(\overline{x},\,\overline{y})$, donde
\[\overline{x}= \frac{M_y}{M}\quad \text{and}\quad \overline{y} = \frac{M_x}{M}.\]

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Finding the center of mass of a discrete planar system

Dejar que las masas puntuales de$1$$2$ kg,$5$ kg y kg se localicen en puntos$(2,0)$$(3,1)$,$(1,1)$ y, respectivamente, y están conectados por varillas delgadas de peso insignificante. Encuentra el centro de masa del sistema.

Solución

Seguimos el Teorema 122 y la Definición 104 para encontrar$M$,$M_x$ y$M_y$:

$M = 1+2+5 = 8$kg.
\ [\ begin {align*}
m_x &=\ suma_ {i=1} ^n m_iy_i\\
&= 1 (0) + 2 (1) + 5 (1)\\
&= 7.
\ end {align*}\]

\ [\ begin {align*}
m_y &=\ suma_ {i=1} ^n m_ix_i\\
&= 1 (2) + 2 (1) + 5 (3)\\
&= 19.
\ end {alinear*}\]

13.29.PNG — Figura$\PageIndex{6}$: Ilustrando el centro de masa de un sistema plano discreto en Ejemplo$\PageIndex{5}$.

Así, el centro de masa se$ (\overline{x},\,\overline{y}) = \left(\frac{M_y}{M},\frac{M_x}M\right) = \left(\frac198,\frac78\right) =(2.375,0.875),$ ilustra en la Figura$\PageIndex{6}$.

Finalmente llegamos a nuestro verdadero objetivo de esta sección: encontrar el centro de masa de una lámina con densidad variable. Si bien la medición anterior del centro de masa es interesante, no responde directamente a situaciones más realistas donde necesitamos encontrar el centro de masa de una región contigua. Sin embargo, entender el caso discreto nos permite aproximar el centro de masa de una lámina plana; usando cálculo, podemos refinar la aproximación a un valor exacto.

Comenzamos representando una lámina plana con una región$R$ en el$xy$ plano -con función de densidad$\delta(x,y)$. Partición$R$ en$n$ subdivisiones, cada una con área$\Delta A_i$. Como se hizo antes, podemos aproximar la masa de la$i^{\text{th}}$ subregión con$\delta(x_i,\,y_i)\,\Delta A_i$, donde$(x_i,\,y_i)$ hay un punto dentro de la$i^{\text{th}}$ subregión. Podemos aproximar el momento de esta subregión alrededor del$y$ eje con$x_i\,\delta(x_i,y_i)\,\Delta A_i$ — es decir, multiplicando la masa aproximada de la región por su distancia aproximada del$y$ eje -eje. De igual manera, podemos aproximar el momento alrededor del$x$ eje -con$y_i\,\delta(x_i,y_i)\,\Delta A_i$. Al sumar todas las subregiones, tenemos:

\ [\ begin {align*}
\ text {masa:} M &\ approx\ suma_ {i=1} ^n\ delta (x_i, y_i)\,\ Delta a_i\ quad\ text {(como se vio antes)}\\
\ text {momento sobre el$x$ eje -:} m_x &\ approx\ suma_ {i=1} ^n y_i\ delta (x_i, y_i)\,\ Delta a_i\\
\ texto {momento sobre el$y$ eje -:} M_ y &\ approx\ suma_ {i=1} ^n x_i\ delta (x_i, y_i)\,\ Delta a_i\\
\ final {alinear*}\]

Al tomar límites, donde el tamaño de cada subregión se reduce a 0 tanto en la$x$$y$ dirección como, llegamos a las dobles integrales dadas en el siguiente teorema.

Teorema 123: Centro de Masa de una Lamina Plana, Momentos

Deje que una lámina plana sea representada por una región$R$ en el$xy$ plano -con función de densidad$\delta(x,y)$.

$\displaystyle \text{mass: } M = \iint_R\delta(x,y) \,dA$
$\displaystyle \text{moment about the \(x$-eje:} M_x =\ Iint_ry\ delta (x, y)\, dA\)
$\displaystyle \text{moment about the \(y$-eje:} M_y =\ iint_rx\ delta (x, y)\, dA\)
El centro de masa de la lámina es
\[(\overline{x},\,\overline{y}) = \left(\frac{M_y}{M},\frac{M_x}M\right).\nonumber\]

Comenzamos nuestra práctica de encontrar centros de masa revisitando algunas de las láminas utilizadas anteriormente en esta sección al momento de encontrar masa. Simplemente configuraremos las integrales necesarias para calcular$M$,$M_x$$M_y$ y dejaremos los detalles de la integración al lector.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Finding the center of mass of a lamina

Encuentra la masa central de una lámina cuadrada, con longitud lateral 1, con una densidad de$\delta = 3$ gm/cm$^2$. (Nota: esta es la lámina del Ejemplo$\PageIndex{1}$.)

Solución
Representamos la lámina con una región cuadrada en el plano como se muestra en la Figura$\PageIndex{7}$ como se hizo anteriormente.

13.30.PNG — Figura$\PageIndex{7}$: Una región R que representa una lámina en el Ejemplo$\PageIndex{6}$.

Siguiendo el Teorema 123, encontramos$M$,$M_x$ y$M_y$:

\ [\ begin {align*}
M &=\ iint_r 3\, dA =\ int_0^1\ int_0^1 3\ dx\, dy =3\ texto {gm}. \\
m_x &=\ iint_r 3y\, dA =\ int_0^1\ int_0^1 3y\ dx\, dy =3/2 = 1.5. \\
m_y &=\ iint_r 3x\, dA =\ int_0^1\ int_0^1 3x\ dx\, dy =3/2 = 1.5.
\ end {alinear*}\]

Así el centro de masa es$ (\overline{x},\,\overline{y}) = \left(\frac{M_y}M,\frac{M_x}M\right) = (1.5/3,1.5/3) = (0.5,0.5).$ Esto es lo que deberíamos haber esperado: el centro de masa de un cuadrado con densidad constante es el centro del cuadrado.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Finding the center of mass of a lamina

Encuentra el centro de masa de una lámina cuadrada, representada por el cuadrado unitario con esquina inferior izquierda en el origen (ver Figura$\PageIndex{7}$), con densidad variable$\delta(x,y) = (x+y+2)$ gm/cm$^2$. (Nota: esta es la lámina del Ejemplo$\PageIndex{2}$.)

Solución
Seguimos el Teorema 123, para encontrar$M$,$M_x$ y$M_y$:

\ [\ begin {align*}
M &=\ iint_r (x+y+2)\, dA =\ int_0^1\ int_0^1 (x+y+2)\ dx\, dy =3\ texto {gm}. \\
m_x &=\ iint_r y (x+y+2)\, dA =\ int_0^1\ int_0^1 y (x+y+2)\ dx\, dy =\ frac {19} {12}. \\
m_y &=\ iint_r x (x+y+2)\, dA =\ int_0^1\ int_0^1 x (x+y+2)\ dx\, dy =\ frac {19} {12}.
\ end {alinear*}\]

Así el centro de masa es$ (\overline{x},\overline{y}) = \left(\frac{M_y}M,\frac{M_x}M\right) = \left(\frac{19}{36},\frac{19}{36}\right) \approx (0.528,0.528).$ Mientras que la masa de esta lámina es la misma que la lámina en el ejemplo anterior, la mayor densidad se encuentra con mayores$x$ y$y$ valores tira del centro de masa desde el centro ligeramente hacia la esquina superior derecha.

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Finding the center of mass of a lamina

Encuentra el centro de masa de la lámina representado por el círculo con radio$2$ ft, centrado en el origen, con función de densidad$\delta(x,y) = (x^2+y^2+1)$ lb/ft$^2$. (Nota: esta es una de las láminas utilizadas en Ejemplo$\PageIndex{3}$.)

Solución

Como se hace en Ejemplo$\PageIndex{3}$, lo mejor es describir$R$ usando coordenadas polares.
Así, cuando calculamos$M_y$, no integraremos$x\delta(x,y) = x(x^2+y^2+1)$, sino más bien$\big(r\cos\theta\big)\delta(r\cos\theta,r\sin\theta) = \big(r\cos\theta\big)\big(r^2+1\big).$ Nosotros calculamos$M$,$M_x$ y$M_y$:

\ [\ begin {align*}
M &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (r^2+1) r\ dr\ d\ theta = 12\ pi\ aprox 37.7\ texto {lb}. \\
m_x &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (r\ sin\ theta) (r^2+1) r\ dr\ d\ theta = 0. \\
m_y &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (r\ cos\ theta) (r^2+1) r\ dr\ d\ theta = 0. \\
\ final {alinear*}\]

Dado que$R$ y la densidad de$R$ son ambos simétricos alrededor de$y$ los ejes$x$ y, no debería sorprender que los momentos alrededor de cada eje sea$0.$ Así es el centro de masa$(\overline{x},\,\overline{y})=(0,0)$.

Ejemplo$\PageIndex{9}$: Finding the center of mass of a lamina

Encuentra el centro de masa de la lámina representada por la región$R$ mostrada en la Figura$\PageIndex{8}$, medio anillo con radio exterior 6 y radio interior 5, con densidad constante$2$ lb/ft$^{2}$.

Solución

Una vez más será útil representar$R$ en coordenadas polares. Usando la descripción$R$ y/o la ilustración, vemos que$R$ está delimitada por$5\leq r\leq 6$ y$0\leq\theta\leq\pi$. Como la lámina es simétrica alrededor del$y$ eje, debemos esperar$M_y=0$. Calculamos$M$,$M_x$ y$M_y$:
\ [\ begin {align*}
M &=\ int_0^ {\ pi}\ int_5^6 (2) r\ dr\ d\ theta = 11\ pi\ text {lb}. \\
m_x &=\ int_0^ {\ pi}\ int_5^6 (r\ sin\ theta) (2) r\ dr\ d\ theta =\ frac {364} 3\ aprox 121.33. \\
m_y &=\ int_0^ {\ pi}\ int_5^6 (r\ cos\ theta) (2) r\ dr\ d\ theta = 0. \\
\ final {alinear*}\]

$13.31.PNG$
Figura$\PageIndex{8}$: Ilustrando la región$R$ en Ejemplo$\PageIndex{9}$.

Así el centro de masa es$(\overline{x},\,\overline{y}) = \left(0,\frac{364}{33\pi}\right) \approx (0,\,3.51).$ El centro de masa se indica en la Figura$\PageIndex{8}$; ¡fíjese cómo se encuentra fuera de$R$!

Esta sección nos ha mostrado otro uso para integrales iteradas más allá de encontrar área o volumen firmado bajo la curva. Si bien hay muchos usos para las integrales iteradas, damos una aplicación más en la siguiente sección: área de superficie computacional.