13.E: Aplicaciones de Integración Múltiple (Ejercicios)

13.1: Integrales iteradas y Área

Términos y Conceptos

1. Al integrar$f_x(x,y)$ con respecto a x, la constante de integración C es realmente cual:$C(x)\text{ or }C(y)$? ¿Qué significa esto?

2. Integrar una integral se llama _________ __________.

3. Al evaluar una integral iterada, integramos de _______ a ________, luego de _________ a __________.

4. Una comprensión de una integral iterada es que$\displaystyle \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\,dy\,dx$ da el _______ de una región plana.

Problemas

En los Ejercicios 5-10, evaluar la integral y la integral iterada posterior.

5.
a)$\displaystyle \int_2^5 (6x^2+4xy-3y^2)\,dy$
b)$\displaystyle \int_{-3}^2 \int_2^5 (6x^2+4xy-3y^2)\,dy\,dx$

6.
a)$\displaystyle \int_0^\pi (2x\cos y +\sin x)\,dx$
b)$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \int_0^\pi (2x\cos y +\sin x)\,dx\,dy$

7.
a)$\displaystyle \int_1^x (x^2y-y+2)\,dy$
b)$\displaystyle \int_0^2 \int_1^x (x^2y-y+2)\,dy\,dx$

8.
a)$\displaystyle \int_y^{y^2} (x-y)\,dx$
b)$\displaystyle \int_{-1}^1 \int_y^{y^2} (x-y)\,dx\,dy$

9.
a)$\displaystyle \int_0^{y} (\cos x \sin y)\,dx$
b)$\displaystyle \int_0^\pi \int_0^{y} (\cos x \sin y)\,dx\,dy$

10.
a)$\displaystyle \int_0^{x} \left (\frac{1}{1+x^2}\right )\,dy$
b)$\displaystyle \int_1^2 \int_0^{x} \left (\frac{1}{1+x^2}\right )\,dy\,dx$

En los Ejercicios 11-16, se da una gráfica de$R$ una región plana. Dar las integrales iteradas, con ambos órdenes de integración$dy\,dx$ y$dx\,dy$, que dan el área de$R$. Evaluar una de las integrales iteradas para encontrar el área.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

En los Ejercicios 17-22, se dan integrales iteradas que calculan el área de una región R en el$xy$ plano -. Esbozar la región R, y dar la (s) integral (s) iterada (s) que dan el área de R con el orden opuesto de integración.

17. $\displaystyle \int_{-2}^2 \int_0^{4-x^2}\,dy\,dx$

18. $\displaystyle \int_{0}^1 \int_{5-5x}^{5-5x^2}\,dy\,dx$

19. $\displaystyle \int_{-2}^2 \int_0^{2\sqrt{4-y^2}}\,dx\,dy$

20. $\displaystyle \int_{-3}^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}}\,dy\,dx$

21. $\displaystyle \int_{0}^1 \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\,dx\,dy +\int_1^4 \int_{y-2}^{\sqrt{y}}\,dx\,dy$

22. $\displaystyle \int_{-1}^1 \int_{(x-1)/2}^{(1-x)/2}\,dy\,dx$

13.2: Doble Integración y Volumen

Términos y Conceptos

1. Una integral puede interpretarse como que da el área firmada a lo largo de un intervalo; una integral doble puede interpretarse como dar el ________ firmado sobre una región.

2. Explique por qué la siguiente afirmación es falsa: “El teorema de Fubini lo afirma”$\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx = \int_a^b \int_{g_1(y)}^{g_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy$.

3. Explique por qué si$f(x,y)>0$ sobre una región R, entonces$\int\int_R f(x,y)\,dA >0$.

4. Si$\int\int_R f(x,y)dA= \int\int_R g(x,y)\,dA$, ¿implica esto$f(x,y)=g(x,y)$?

Problemas

En los Ejercicios 5-10,
(a) Evaluar la integral iterada dada, y
(b) reescribir la integral usando el otro orden de integración.

5. $\int_1^2 \int_{-1}^1 \left ( \frac{x}{y}+3\right )\,dx\,dy$

6. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^\pi (\sin x \cos y$\, dy\, dx\)

7. $\int_0^4 \int_{0}^{-x/2+2} \left ( 3x^2-y+2\right )\,dy\,dx$

8. $\int_1^3 \int_{y}^3 \left ( x^2y-xy^2\right )\,dx\,dy$

9. $\int_0^21\int_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}( x+y+2 )\,dx\,dy$

10. $\int_0^9 \int_{y/3}^{\sqrt{3}} \left ( xy^2\right )\,dx\,dy$

En Ejercicios 11-18: a
) Esbozar la región R dada por el problema.
(b) Establecer las integrales iteradas, en ambos órdenes, que evalúen la doble integral dada para la región descrita R.
(c) Evaluar una de las integrales iteradas para encontrar el volumen firmado bajo la superficie$z=f(x,y)$ sobre la región R.

11. $\int\int_R x^2y\,dA$, donde R está delimitada por$y=\sqrt{x}\text{ and }y=x^2$.

12. $\int\int_R x^2y\,dA$, donde R está delimitada por$y=\sqrt[3]{x}\text{ and }y=x^3$.

13. $\int\int_R x^2-y^2\,dA$, donde R es el rectángulo con esquinas$(-1,-1),(1,-1),(1,1)\text{ and }(-1,1)$.

14. $\int\int_R ye^x\,dA$, donde R está delimitada por$x=0,\,x=y^2\text{ and }y=1$.

15. $\int\int_R (6-3x-2y)\,dA$, donde R está delimitada por$x=0,y=0\text{ and }3x+2y=6$.

16. $\int\int_R e^y\,dA$, donde R está delimitada por$y=\ln x \text{ and }y=\frac{1}{e-1}(x-1)$.

17. $\int\int_R (x^3y-x)\,dA$, donde R es la mitad del círculo$x^2+y^2=9$ en el primer y segundo cuadrantes.

18. $\int\int_R (4-sy)\,dA$, donde R está delimitada por$y=0,y=x/e\text{ and }y=\ln x$.

En los Ejercicios 19-22, exponer por qué es difícil/imposible integrar la integral iterada en el orden de integración dado. Cambiar el orden de integración y evaluar la nueva integral iterada.

19. $\int_0^4 \int_{y/2}^2 e^{x^2}\,dx\,dy$

20. $\int_0^{\sqrt{\pi/2}} \int_{x}^{\sqrt{\pi/2}} \cos (y^2)\,dy\,dx$

21. $\int_0^1 \int_{y}^1 \frac{2y}{x^2+y^2}\,dx\,dy$

22. $\int_{-1}^1 \int_{1}^2 \frac{x\tan^2 y}{1+\ln y}\,dy\,dx$

En Ejercicios 23-26, encuentra el valor promedio de f sobre la región R. Observe cómo estas funciones y regiones están relacionadas con las integrales iteradas dadas en los Ejercicios 5-8.

23. $f(x,y)=\frac{x}{y}+3$; R es el rectángulo con esquinas opuestas$(-1,1)\text{ and }(1,2)$.

24. $f(x,y)=\sin x \cos y$; R está delimitado por$x=0,x=\pi,y=-\pi/2\text{ and }y=\pi/2$.

25. $f(x,y)=3x^2-y+2$; R está delimitada por las líneas$y=0,y=2-x/2\text{ and }x=0$.

26. $f(x,y)=x^2y-xy^2$; R está delimitado por$y=x,y=1\text{ and }x=3$.

13.3: Doble integración con coordenadas polares

Términos y Conceptos

1. Al evaluar$\int\int_R f(x,y)\,dA$ usando coordenadas polares,$f(x,y)$ se reemplaza por _______ y$dA$ se reemplaza por _______.

2. ¿Por qué uno estaría interesado en evaluar una doble integral con coordenadas polares?

Problemas

En los Ejercicios 3-10$f(x,y)$ se da una función y se describe una región R del plano x-y. Configurar y evaluar$\int\int_R f(x,y)\,dA$.

3. $f(x,y)=3x-y+4$; R es la región encerrada por el círculo$x^2+y^2=1$.

4. $f(x,y)=4x+4y$; R es la región encerrada por el círculo$x^2+y^2=4$.

5. $f(x,y)=8-y$; R es la región encerrada por los círculos con ecuaciones polares$r=\cos \theta \text{ and }r=3\cos \theta$.

6. $f(x,y)=4$; R es la región encerrada por el pétalo de la curva de rosa$r=\sin (2\theta)$ en el primer cuadrante.

7. $f(x,y)=\ln (x^2+y^2)$; R es el anillo encerrado por los círculos\ (x^2+y^2=1\ text {y} x^2+y^2=4.

8. $f(x,y)=1-x^2-y^2$; R es la región encerrada por el círculo$x^2+y^2=1$.

9. $f(x,y)=x^2-y^2$; R es la región encerrada por el círculo$x^2+y^2=36$ en los cuadrantes primero y cuarto.

10. $f(x,y)=(x-y)/(x+y)$; R es la región encerrada por las líneas$y=x,y=0$ y el círculo$x^2+y^2=1$ en el primer cuadrante.

En los Ejercicios 11-14, se da una integral iterada en coordenadas rectangulares. Reescribe la integral usando coordenadas polares y evalúa la nueva doble integral.

11. $\int_0^5 \int_{-\sqrt{25-x^2}}^{\sqrt{25-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dy\,dx$

12. $\int_{-4}^4 \int_{-\sqrt{16-y^2}}^{0}(2y-x)dx\,dy$

13. $\int_0^2 \int_{y}^{\sqrt{8-y^2}}(x+y)\,dx\,dy$

14. $\int_{-2}^{-1} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}(x+5)dy\,dx+\int_{-1}^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}(x+5)\,dy\,dx+\int_1^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}(x+5)\,dy\,dx$

En los Ejercicios 15-16 se presentan dobles integrales especiales que son especialmente adecuadas para la evaluación en coordenadas polares.

15. Considerar$\int\int_R e^{-(x^2+y^2)}dA.$
(a) ¿Por qué esta integral es difícil de evaluar en coordenadas rectangulares, independientemente de la región R?
(b) Que R sea la región delimitada por el círculo de radio a centrada en el origen. Evaluar la doble integral usando coordenadas polares.
(c) Tomar el límite de su respuesta de (b), como$a\to \infty$. ¿Qué implica esto sobre el volumen bajo la superficie de$e^{-(x^2+y^2)}$ todo el plano x-y?

16. La superficie de un cono circular derecho con altura h y radio base a se puede describir mediante la ecuación$f(x,y)=h-h\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}}$, donde se encuentra la punta del cono$(0,0,h)$ y la base circular se encuentra en el plano x-y, centrada en el origen.
Confirmar que el volumen de un cono circular derecho con altura h y radio base a es$V=\frac{1}{3}\pi a^2h$ evaluando$\int\int_R f(x,y)\,dA$ en coordenadas polares.

13.4: Centro de Masa

Términos y Conceptos

1. ¿Por qué es fácil usar “masa” y “peso” indistintamente, a pesar de que son medidas diferentes?

2. Dado un punto$(x,y)$, el valor de x es una medida de la distancia desde el eje _________-eje.

3. Podemos pensar$\int\int_R dm$ que significa “resumir muchos ________”.

4. ¿Qué es un “sistema plano discreto”?

5. ¿Por qué$M_x$ usa$\int\int_R y\delta (x,y)\,dA$ en lugar de$\int\int_R x\delta (x,y)\,dA$; es decir, por qué usamos “y” y no “x”?

6. Describir una situación en la que el centro de masa de una lámina no se encuentra dentro de la región de la lámina misma.

Problemas

En los Ejercicios 7-10, las masas puntuales se dan a lo largo de una línea o en el plano. Encontrar el centro de masa$\overline{x}$ o$(\overline{x},\overline{y})$, según corresponda. (Todas las masas están en gramos y las distancias en cm.)

7. $m_1 =4 \text{ at }x=1;\quad m_2=3\text{ at }x=3;\quad m_3 = 5\text{ at }x=10$

8. $m_1 =2 \text{ at }x=-3;\quad m_2=2\text{ at }x=-1;\quad m_3 = 3\text{ at }x=0;\quad m_4=3 \text{ at }x=7$

9. $m_1 =2 \text{ at }(-2,2);\quad m_2=2\text{ at }(2,-2);\quad m_3 = 20\text{ at }(0,4)$

10. $m_1 =1 \text{ at }(-1,1);\quad m_2=2\text{ at }(-1,1);\quad m_3 = 2\text{ at }(1,1);\quad m_4 =1\text{ at }(1,-1)$

En los Ejercicios 11-18, encuentra la masa/peso de la lámina descrita por la región R en el plano y su función de densidad$\delta (x,y)$.

11. R es el rectángulo con esquinas$(1,-3),(1,2),(7,2)\text{ and }(7,-3);\delta (x,y)=5$ gm/cm$^2$

12. R es el rectángulo con esquinas$(1,-3),(1,2),(7,2)\text{ and }(7,-3);\delta (x,y)=(x+y^2)$ gm/cm$^2$

13. R es el triángulo con esquinas$(-1,0),(1,0),\text{ and }(0,1);\delta (x,y)=2$ lb/in$^2$

14. R es el triángulo con esquinas$(0,0),(1,0),\text{ and }(0,1);\delta (x,y)=(x^2+y^2+1)$ lb/in$^2$

15. R es el círculo centrado en el origen con radio 2;$\delta (x,y)=(x+y+4)$ kg/m$^2$

16. R es el sector circular delimitado por$x^2+y^2=25$ en el primer cuadrante;$\delta (x,y) =(\sqrt{x^2+y^2}+1)$ kg/m$^2$

17. R es el anillo en el primer y segundo cuadrantes delimitados por$x^2+y^2=9\text{ and }x^2+y^2=36;\delta (x,y)=4$ lb/ft$^2$

18. R es el anillo en el primer y segundo cuadrantes delimitados por$x^2+y^2=9\text{ and }x^+y^2=36;\delta (x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ lb/ft$^2$

En los Ejercicios 19-26, encuentra el centro de masa de la lámina descrita por la región R en el plano y su función de densidad$\delta (x,y)$.

Nota: estas son la misma lámina que en los Ejercicios 11-18.

19. R es el rectángulo con esquinas$(1,-3),(1,2),(7,2)\text{ and }(7,-3);\delta (x,y)=5$ gm/cm$^2$

20. R es el rectángulo con esquinas$(1,-3),(1,2),(7,2)\text{ and }(7,-3);\delta (x,y)=(x+y^2)$ gm/cm$^2$

21. R es el triángulo con esquinas$(-1,0),(1,0),\text{ and }(0,1);\delta (x,y)=2$ lb/in$^2$

22. R es el triángulo con esquinas$(0,0),(1,0),\text{ and }(0,1);\delta (x,y)=(x^2+y^2+1)$ lb/in$^2$

23. R es el círculo centrado en el origen con radio 2;$\delta (x,y)=(x+y+4)$ kg/m$^2$

24. R es el sector circular delimitado por$x^2+y^2=25$ en el primer cuadrante;$\delta (x,y) =(\sqrt{x^2+y^2}+1)$ kg/m$^2$

25. R es el anillo en el primer y segundo cuadrantes delimitados por$x^2+y^2=9\text{ and }x^2+y^2=36;\delta (x,y)=4$ lb/ft$^2$

26. R es el anillo en el primer y segundo cuadrantes delimitados por$x^2+y^2=9\text{ and }x^+y^2=36;\delta (x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ lb/ft$^2$

El momento de inercia$i$ es una medida de la tendencia de la lámina a resistir la rotación alrededor de un eje o continuar girando alrededor de un eje. $i_x$es el momento de inercia alrededor del eje x,$i_x$ es el momento de inercia alrededor del eje x, y$i_o$ es el momento de inercia sobre el origen.Estos se calculan de la siguiente manera:

• $i_x = \int\int_R y^2\,dm$
• $i_y = \int\int_R x^2\,dm$
• $i_o = \int\int_R (x^2+y^2)\,dm$

En los Ejercicios 27-30, se da una lámina correspondiente a una región plana R con una masa de 16 unidades. Para cada uno, computar$i_x$,$i_y$ y$i_o$.

27. R es el cuadrado de 4 x 4 con esquinas$(-2,-2) \text{ and }(2,2)$ con densidad$\delta (x,y)=1$.

28. R es el rectángulo de 8 x 2 con esquinas$(-4,-1) \text{ and }(4,1)$ con densidad$\delta (x,y)=1$.

29. R es el rectángulo de 4 x 2 con esquinas$(-2,-1) \text{ and }(2,1)$ con densidad$\delta (x,y)=2$.

30. R es el círculo con radio 2 centrado en el origen con densidad$\delta (x,y)=4/\pi$.

13.5: Superficie

Términos y Conceptos

1. ¿"Superficie"” es análoga a lo que antes se había estudiado concepto?

2. Para aproximar el área de una pequeña porción de una superficie, calculamos el área de su plano ______.

3. Interpretamos$\int\int_R \,dS$ como “resumir muchos pequeños _______ ________”.

4. ¿Por qué es importante saber cómo configurar una doble integral para calcular el área de superficie, incluso si la integral resultante es difícil de evaluar?

5. ¿Por qué$z=f(x,y)$ y$z=g(x,y)=f(x,y)+h$, para algún número real h, tienen la misma superficie sobre una región R?

6. Dejar$z=f(x,y)$ y$z=g(x,y)=2f(x,y)$. ¿Por qué el área superficial de g sobre una región R no es el doble de la superficie de$f$ más$R$?

Problemas

En los Ejercicios 7-10, configura la integral iterada que calcula el área de superficies de la superficie dada sobre la región R.

7. $f(x,y)=\sin x \cos y;\quad R$es el rectángulo con límites$0\le x\le 2\pi$,$0\le y \le 2\pi$.

8. $f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1};\quad R$es el círculo$x^2+y^2=9$.

9. $f(x,y)=x^2-y^2;\quad R$es el rectángulo con esquinas opuestas$(-1,-1)$ y$1,1)$.

10. $f(x,y)=\frac{1}{e^{x^2}+1};\quad R$es el rectángulo delimitado por$-5\le x \le 5$ y$0\le y \le 1$.

En los Ejercicios 11-19, encuentra el área de la superficie dada sobre la región R.

11. $f(x,y)=3x-7y+2;\quad R$es el rectángulo con esquinas opuestas$(-1,0)\text{ and }(1,3)$.

12. $f(x,y)=2x+2y+2;\quad R$es el triángulo con esquinas$(0,0),(1,0)\text{ and }(0,1)$.

13. $f(x,y)=x^2+y^2+10;\quad R$es el círculo$x^2+y^2=16$.

14. $f(x,y)=-2x+4y^2+7\text{ over } R$, el triángulo delimitado por$y=-x,y=x,0\le y \le 1$.

15. $f(x,y)=x^2+y$sobre R, el triángulo delimitado por$y=2x,y=0 \text{ and }x=2$.

16. $f(x,y)=\frac{2}{3}x^{3/2}$sobre R, el rectángulo con esquinas opuestas$(0,0)\text{ and }(1,1)$.

17. $f(x,y)=10-2\sqrt{x^2+y^2}$sobre R, el círculo$x^2+y^2=25$. (Este es el cono con altura 10 y radio base 5; asegúrese de comparar su resultado con la fórmula conocida).

18. Encuentra el área de superficie de la esfera con radio 5 duplicando la superficie de$f(x,y)=\sqrt{25-x^2-y^2}$ más de R, el círculo$x^2+y^2=25$. (Asegúrese de comparar su resultado con la fórmula conocida.)

19. Encuentra el área de superficie de la elipse formada restringiendo el plano$f(x,y)=cx+dy+h$ a la región R, el círculo$x^2+y^2=1$, donde c, d y h son algunas constantes. Tu respuesta debe ser dada en términos de c y d; ¿por qué no importa el valor de h?

13.6: Volumen entre Superficies y Triple Integración

Términos y Conceptos

1. La estrategia para establecer límites para las integrales triples es “________ a ________, _________ y __________ a _______”.

2. Dar una interpretación informal de lo que$"\int\int\int_D \,dV$ "significa.

3. Dar dos usos de triple integración.

4. Si un objeto tiene una densidad constante$\delta$ y un volumen V, ¿cuál es su masa?

Problemas

En los Ejercicios 5-8, se dan dos superficies$f_1(x,y)$$f_2(x,y)$ y y una región$R$ en el$xy$ plano. Configura y evalúa la triple integral que representa el volumen entre estas superficies$R$.

5. $f_1(x,y) = 8-x^2-y^2,\,f_2(x,y) =2x+y;$
$R$es el cuadrado con esquinas$(-1,-1)\text{ and }(1,1)$.

6. $f_1(x,y) = x^2+y^2,\,f_2(x,y) =-x^2-y^2;$
$R$es el cuadrado con esquinas$(0,0)\text{ and }(2,3)$.

7. $f_1(x,y) = \sin x \cos y,\,f_2(x,y) =\cos x \sin y +2;$
$R$es el triángulo con esquinas$(0,0), (\pi , 0)\text{ and }(\pi,\pi)$.

8. $f_1(x,y) = 2x^2+2y^2+3,\,f_2(x,y) =6-x^2-y^2;$
$R$es el círculo$x^2+y^2=1$.

En los Ejercicios 9-16 se describe un dominio D por sus superficies delimitadoras, junto con una gráfica. Configura las triples integrales que dan el volumen de D en los 6 órdenes de integración, y encuentra el volumen de D evaluando la triple integral indicada.

9. D está delimitado por los planos de coordenadas y$z=2-2x/3-2y$.
Evaluar la triple integral con orden dz dy dx.

10. D está delimitada por los planos$y=0,y=2,x=1,z=0\text{ and }z=(2-x)/2$.
Evaluar la triple integral con orden dx dy dz.

11. D está delimitada por los planos$x=0,x=2,z=-y\text{ and by }z=y^2/2$.
Evaluar la triple integral con orden dy dz dx.

12. D está delimitada por los planos$z=0,y=9, x=0\text{ and by }z=\sqrt{y^2-9x^2}$.
No evaluar ninguna triple integral.

13. D está delimitada por los planos$x=2,y=1,z=0\text{ and }z=2x+4y-4$.
Evaluar la triple integral con orden dx dy dz.

14. D está delimitado por el avión$z=2y\text{ and by }y=4-x^2$.
Evaluar la triple integral con orden dz dy dx.

15. D está delimitado por los planos de coordenadas y$y=1-x^2\text{ and }y=1-z^2$.
No evaluar ninguna triple integral. ¿Qué orden es más fácil de evaluar: dz dy dx o dy dz dx? Explique por qué.

16. D está delimitada por los planos de coordenadas y por$z=1-y/3\text{ and }z=1-x$.
Evaluar la triple integral con orden dx dy dz.

En Ejercicios 17-20, evaluar la triple integral.

17. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} (\cos x \sin y \sin z )dz\,dy\,dx$

18. $\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y} (x+y+z )dz\,dy\,dx$

19. $\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z} (\sin (yz))dx\,dy\,dz$

20. $\int_{\pi}^{\pi^2}\int_{x}^{x^3}\int_{-y^2}^{y^2} (\cos x \sin y \sin z )dz\,dy\,dx$

En los Ejercicios 21-24, encuentra el centro de masa del sólido representado por la región espacial indicada D con función de densidad$\delta (x,y,z)$.

21. D está delimitada por los planos de coordenadas y$z=2-2x/3-2y$;$\delta (x,y,z)=10$ g/cm$^3$.
(Nota: esta es la misma región que se utilizó en el Ejercicio 9.)

22. D está delimitada por los planos$y=0,y=2,x=1,z=0 \text{ and }z=(3-x)/2$;$\delta (x,y,z)=2$ g/cm$^3$.
(Nota: esta es la misma región que se utilizó en el Ejercicio 10.)

23. D está delimitada por los planos$x=2,y=1,z=0\text{ and }z=2x+4y-4$;$\delta (x,y,z)=x^2$ lb/in$^3$.
(Nota: esta es la misma región que se utilizó en el Ejercicio 13.)

24. D está delimitada por los planos$z=2y\text{ and by }y=4-x^2$. $\delta (x,y,z)=y^2$lb/in$^3$.
(Nota: esta es la misma región que se utilizó en el Ejercicio 14.)