Saltar al contenido principal

# 6.6E: Ejercicios para la Sección 6.6

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 6, calcular el centro de masa para la recolección de masas dadas.

1)$$m_1=2$$ en$$x_1=1$$ y$$m_2=4$$ en$$x_2=2$$

2)$$m_1=1$$ en$$x_1=−1$$ y$$m_2=3$$ en$$x_2=2$$

Contestar
$$x = \frac{5}{4}$$

3)$$m=3$$ en$$x=0,1,2,6$$

4) Masas unitarias en$$(x,y)=(1,0),(0,1),(1,1)$$

Contestar
$$\left(\frac{2}{3},\, \frac{2}{3}\right)$$

5)$$m_1=1$$ en$$(1,0)$$ y$$m_2=4$$ en$$(0,1)$$

6)$$m_1=1$$ en$$(1,0)$$ y$$m_2=3$$ en$$(2,2)$$

Contestar
$$\left(\frac{7}{4},\,\frac{3}{2}\right)$$

En los ejercicios 7 - 16, computar el centro de masa$$\bar x.$$

7)$$ρ=1$$ para$$x∈(−1,3)$$

8)$$ρ=x^2$$ para$$x∈(0,L)$$

Contestar
$$\dfrac{3L}{4}$$

9)$$ρ=1$$ para$$x∈(0,1)$$ y$$ρ=2$$ para$$x∈(1,2)$$

10)$$ρ=\sin x$$ para$$x∈(0,π)$$

Contestar
$$\frac{π}{2}$$

11)$$ρ=\cos x$$ para$$x∈\left(0,\frac{π}{2}\right)$$

12)$$ρ=e^x$$ para$$x∈(0,2)$$

Contestar
$$\dfrac{e^2+1}{e^2−1}$$

13)$$ρ=x^3+xe^{−x}$$ para$$x∈(0,1)$$

14)$$ρ=x\sin x$$ para$$x∈(0,π)$$

Contestar
$$\dfrac{π^2−4}{π}$$

15)$$ρ=\sqrt{x}$$ para$$x∈(1,4)$$

16)$$ρ=\ln x$$ para$$x∈(1,e)$$

Contestar
$$\frac{1}{4}(1+e^2)$$

En los ejercicios 17 - 19, computar el centro de masa$$(\bar{x},\bar{y}).$$ Usa la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible.

17)$$ρ=7$$ en la plaza$$0≤x≤1, \; 0≤y≤1$$

18)$$ρ=3$$ en el triángulo con vértices$$(0,0), \, (a,0)$$, y$$(0,b)$$

Contestar
$$\left(\frac{a}{3},\, \frac{b}{3}\right)$$

19)$$ρ=2$$ para la región delimitada por$$y=\cos(x), \; y=−\cos(x), \; x=−\frac{π}{2}$$, y$$x=\frac{π}{2}$$

En los ejercicios 20 - 26, usa una calculadora para dibujar la región, luego computar el centro de masa$$(\bar{x},\bar{y}).$$ Usa la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible.

20) [T] La región delimitada por$$y=\cos(2x), \; x=−\frac{π}{4}$$, y$$x=\frac{π}{4}$$

Contestar
$$\left(0,\frac{π}{8}\right)$$

21) [T] La región entre$$y=2x^2, \; y=0, \; x=0,$$ y$$x=1$$

22) [T] La región entre$$y=\frac{5}{4}x^2$$ y$$y=5$$

Contestar
$$(0,3)$$

23) [T] Región entre$$y=\sqrt{x}, \; y=\ln x, \; x=1,$$ y$$x=4$$

24) [T] La región delimitada por$$y=0$$ y$$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$$

Contestar
$$\left(0,\frac{4}{π}\right)$$

25) [T] La región delimitada por$$y=0, \; x=0,$$ y$$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$$

26) [T] La región delimitada por$$y=x^2$$ y$$y=x^4$$ en el primer cuadrante

Contestar
$$\left(\frac{5}{8},\, \frac{1}{3}\right)$$

En los ejercicios 27 - 31, utilizar el teorema de Pappus para determinar el volumen de la forma.

27) Girando$$y=mx$$ alrededor del$$x$$ eje entre$$x=0$$ y$$x=1$$

28) Rotación$$y=mx$$ alrededor del$$y$$ eje entre$$x=0$$ y$$x=1$$

Contestar
$$V = \frac{mπ}{3}$$unidades³

29) Un cono general creado al girar un triángulo con vértices$$(0,0), \, (a,0),$$ y$$(0,b)$$ alrededor del$$y$$ eje. ¿Tu respuesta concuerda con el volumen de un cono?

30) Un cilindro general creado al girar un rectángulo con vértices$$(0,0), \, (a,0), \, (0,b),$$ y$$(a,b)$$ alrededor del$$y$$ eje. ¿Su respuesta concuerda con el volumen de un cilindro?

Contestar
$$V = πa^2b$$unidades³

31) Una esfera creada al girar un semicírculo con radio$$a$$ alrededor del$$y$$ eje. ¿Su respuesta concuerda con el volumen de una esfera?

En los ejercicios 32 - 36, utilice una calculadora para dibujar la región encerrada por la curva. Encuentra el área$$M$$ y el centroide$$(\bar{x},\bar{y})$$ para las formas dadas. Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible.

32) [T] Cuarto de círculo:$$y=\sqrt{1−x^2}, \; y=0$$, y$$x=0$$

Contestar
$$\left(\frac{4}{3π},\, \frac{4}{3π}\right)$$

33) [T] Triángulo:$$y=x, \; y=2−x$$, y$$y=0$$

34) [T] Lente:$$y=x^2$$ y$$y=x$$

Contestar
$$\left(\frac{1}{2},\, \frac{2}{5}\right)$$

35) [T] Anillo:$$y^2+x^2=1$$ y$$y^2+x^2=4$$

36) [T] Medio anillo:$$y^2+x^2=1, \; y^2+x^2=4,$$ y$$y=0$$

Contestar
$$\left(0,\, \frac{28}{9π}\right)$$

37) Encontrar el centro de masa generalizado en la astillas entre$$y=x^a$$ y$$y=x^b$$ con$$a>b$$. Luego, usa el teorema de Pappus para encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del$$y$$ eje -eje.

38) Encontrar el centro generalizado de masa entre$$y=a^2−x^2, \; x=0$$, y$$y=0$$. Luego, usa el teorema de Pappus para encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del$$y$$ eje -eje.

Contestar
Centro de masa:$$\left(\frac{a}{6},\,\frac{4a^2}{5}\right),$$
Volumen:$$\dfrac{2πa^4}{9}$$ unidades³

39) Encuentra el centro de masa generalizado entre$$y=b\sin(ax),\; x=0,$$ y$$x=\dfrac{π}{a}.$$ Entonces, usa el teorema de Pappus para encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del$$y$$ eje -eje.

40) Usa el teorema de Pappus para encontrar el volumen de un toro (en la foto aquí). Supongamos que un disco de radio$$a$$ se posiciona con el extremo izquierdo del círculo en$$x=b, \, b>0,$$ y se gira alrededor del$$y$$ eje.

Contestar
Volumen:$$V = 2\pi^2a^2(b+a)$$

41) Encuentra el centro de masa$$(\bar{x},\bar{y})$$ para un cable delgado a lo largo del semicírculo$$y=\sqrt{1−x^2}$$ con masa unitaria. (Pista: Usa el teorema de Pappus.)