6.7: Integrales, funciones exponenciales y logaritmos

Objetivos de aprendizaje

• Escribir la definición del logaritmo natural como integral.
• Reconocer la derivada del logaritmo natural.
• Integrar funciones que involucran la función logarítmica natural.
• Definir el número$e$ a través de una integral.
• Reconocer la derivada e integral de la función exponencial.
• Demostrar propiedades de logaritmos y funciones exponenciales usando integrales.
• Expresar funciones logarítmicas y exponenciales generales en términos de logaritmos naturales y exponenciales.

Ya examinamos funciones exponenciales y logaritmos en capítulos anteriores. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en las discusiones anteriores. Por ejemplo, no estudiamos cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes que son irracionales. La definición del número e es otra área donde el desarrollo anterior fue algo incompleto. Ahora tenemos las herramientas para tratar estos conceptos de una manera matemáticamente más rigurosa, y lo hacemos en esta sección.

Para efectos de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número$e$, o alguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección, habremos estudiado estos conceptos de una manera matemáticamente rigurosa (y veremos que son consistentes con los conceptos que aprendimos anteriormente). Comenzamos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición forma la base de la sección. De esta definición, derivamos fórmulas de diferenciación, definimos el número$e$ y expandimos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base.

El logaritmo natural como integral

Recordemos la regla de potencia para integrales:

$$∫ x^n \,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C , \quad n≠−1. \nonumber$$

Claramente, esto no funciona cuando$n=−1,$ ya que nos obligaría a dividirnos por cero. Entonces, ¿con qué hacemos$\displaystyle ∫\dfrac{1}{x}\,dx$? Recordemos del Teorema Fundamental del Cálculo que$\displaystyle ∫^x_1\dfrac{1}{t}dt$ es un antiderivado de$\dfrac{1}{x}.$ Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición.

Definición: El logaritmo natural

Para$x>0$, definir la función de logaritmo natural por

$$\ln x=∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt. \nonumber$$

Porque$x>1$, esta es solo el área bajo la curva$y=\dfrac{1}{t}$ de$1$ a$x$. Para$x<1$, tenemos

$$∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt=−∫^1_x\dfrac{1}{t}\,dt, \nonumber$$

por lo que en este caso es el negativo del área bajo la curva de$x$ a$1$ (ver la siguiente figura).

Figura$\PageIndex{1}$: (a) Cuando$x>1$, el logaritmo natural es el área bajo la curva$y=1/t$ de$1$ a$x$. (b) Cuando$x<1$, el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva de$x$ a$1$.

Observe eso$\ln 1=0$. Además, la función$y=\dfrac{1}{t}>0$ para$x>0$. Por lo tanto, por las propiedades de las integrales, es claro que$\ln x$ va en aumento para$x>0$.

Propiedades del logaritmo natural

Por la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación cae inmediatamente como resultado del Teorema Fundamental del Cálculo.

Definición: Derivada del Logaritmo Natural

Para$x>0$, la derivada del logaritmo natural viene dada por

$$\dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big) = \dfrac{1}{x}. \nonumber$$

Corolario a la Derivada del Logaritmo Natural

La función$\ln x$ es diferenciable; por lo tanto, es continua.

Una gráfica de$\ln x$ se muestra en la Figura. Observe que es continuo en todo su dominio de$(0,∞)$.

Figura$\PageIndex{2}$: La gráfica de$f(x)=\ln x$ muestra que es una función continua.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Calculating Derivatives of Natural Logarithms

Calcular las siguientes derivadas:

1. $\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (5x^3−2)\Big)$
2. $\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (3x))^2\Big)$

Solución

Tenemos que aplicar la regla de la cadena en ambos casos.

1. $\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (5x^3−2)\Big)=\dfrac{15x^2}{5x^3−2}$
2. $\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (3x))^2\Big)=\dfrac{2(\ln (3x))⋅3}{3x}=\dfrac{2(\ln (3x))}{x}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Calcular las siguientes derivadas:

1. $\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (2x^2+x)\Big)$
2. $\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (x^3))^2\Big)$

Pista

Aplicar la fórmula de diferenciación que se acaba de proporcionar y utilizar la regla de cadena según sea necesario.

Responder

a.$\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (2x^2+x)\Big)=\dfrac{4x+1}{2x^2+x}$

b.$\dfrac{d}{dx}\Big((\ln (x^3))^2\Big)=\dfrac{6\ln (x^3)}{x}$

Tenga en cuenta que si usamos la función de valor absoluto y creamos una nueva función$\ln |x|$, podemos extender el dominio del logaritmo natural para incluir$x<0$. Entonces$\dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big)=\dfrac{1}{x}$. Esto da lugar a la fórmula de integración familiar.

Integral de$\frac{1}{u} \, du$

El logaritmo natural es el antiderivado de la función$f(u)=\dfrac{1}{u}$:

$$∫\dfrac{1}{u}\,du=\ln |u|+C. \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Calculating Integrals Involving Natural Logarithms

Calcular la integral$\displaystyle ∫\dfrac{x}{x^2+4}\,dx.$

Solución

Usando$u$ -sustitución, let$u=x^2+4$. Entonces$du=2x\,dx$ y tenemos

$\displaystyle ∫\dfrac{x}{x^2+4}\,dx=\dfrac{1}{2}∫\dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{1}{2}\ln |u|+C=\dfrac{1}{2}\ln |x^2+4|+C=\dfrac{1}{2}\ln (x^2+4)+C.$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Calcular la integral$\displaystyle ∫\dfrac{x^2}{x^3+6}\,dx.$

Pista

Aplica la fórmula de integración proporcionada anteriormente y usa u-substitución según sea necesario.

Responder

$\displaystyle ∫\dfrac{x^2}{x^3+6}\,dx=\dfrac{1}{3}\ln ∣x^3+6∣+C$

Aunque hemos llamado a nuestra función un “logaritmo”, en realidad no hemos probado que ninguna de las propiedades de logaritmos tenga para esta función. Lo hacemos aquí.

Propiedades del logaritmo natural

Si$a,\, b>0$ y$r$ es un número racional, entonces

1. $\ln 1=0$
2. $\ln (ab)=\ln a+\ln b$
3. $\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a−\ln b$
4. $\ln \left(a^r\right)=r\ln a$

Prueba

i. Por definición,$\displaystyle \ln 1=∫^1_1\dfrac{1}{t}\,dt=0.$

ii. Tenemos

$\displaystyle \ln (ab)=∫^{ab}_1\dfrac{1}{t}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_a\dfrac{1}{t}\,dt.$

Utilizar$u-substitution$ en la última integral en esta expresión. Vamos$u=t/a$. Entonces$du=(1/a)dt.$ Además, cuando$t=a,\, u=1$, y cuando$t=ab,\, u=b.$ Así que obtenemos

$\displaystyle \ln (ab)=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_a\dfrac{1}{t}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^{ab}_1\dfrac{a}{t}⋅\dfrac{1}{a}\,dt=∫^a_1\dfrac{1}{t}\,dt+∫^b_1\dfrac{1}{u}\,du=\ln a+\ln b.$

iii. Tenga en cuenta que

$\dfrac{d}{dx}\Big(\ln (x^r)\Big)=\dfrac{rx^{r−1}}{x^r}=\dfrac{r}{x}$.

Además,

$\dfrac{d}{dx}\Big((r\ln x)\Big)=\dfrac{r}{x}.$

Dado que las derivadas de estas dos funciones son las mismas, por el Teorema Fundamental del Cálculo, deben diferir por una constante. Así que tenemos

$\ln (x^r)=r\ln x+C$

para alguna constante$C$. Tomando$x=1$, obtenemos

$\ln (1^r)=r\ln (1)+C$

$0=r(0)+C$

$C=0.$

Así$\ln (x^r)=r\ln x$ y la prueba está completa. Tenga en cuenta que podemos extender esta propiedad a valores irracionales de$r$ más adelante en esta sección.

La parte iii. se desprende de las partes ii. y iv. y se le deja la prueba.

□

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Using Properties of Logarithms

Utilice las propiedades de logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

$\ln 9−2 \ln 3+\ln \left(\tfrac{1}{3}\right).$

Solución

Tenemos

$\ln 9−2 \ln 3+\ln \left(\tfrac{1}{3}\right)=\ln (3^2)−2 \ln 3+\ln (3^{−1})=2\ln 3−2\ln 3−\ln 3=−\ln 3.$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Utilice las propiedades de logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

$\ln 8−\ln 2−\ln \left(\tfrac{1}{4}\right)$

Pista

Aplicar las propiedades de logaritmos.

Responder

$4\ln 2$

Definición del número e

Ahora que tenemos definido el logaritmo natural, podemos usar esa función para definir el número$e$.

Definición:$e$

El número$e$ se define como el número real de tal manera que

$$\ln e=1\nonumber$$

Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva$y=1/t$ entre$t=1$ y$t=e$ es$1$ (Figura). Te queda la prueba de que tal número existe y es único. (Pista: Utilizar el Teorema del Valor Intermedio para probar la existencia y el hecho de que$\ln x$ va en aumento para demostrar la singularidad.)

Figura:El$\PageIndex{3}$ área bajo la curva de a$1$ es$e$ igual a uno.

$e$Se puede demostrar que el número es irracional, aunque no lo haremos aquí (ver el Proyecto Estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin). Su valor aproximado viene dado por

$e≈2.71828182846.$

La función exponencial

Ahora volvemos nuestra atención a la función$e^x$. Tenga en cuenta que el logaritmo natural es uno a uno y por lo tanto tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por$\exp x$. Entonces,

$$\exp(\ln x)=x \nonumber$$

para$x>0$ y

$$\ln (\exp x)=x \nonumber$$

para todos$x$.

La siguiente figura muestra las gráficas de$\exp x$ y$\ln x$.

Figura$\PageIndex{4}$: Las gráficas de$\ln x$ y$\exp x$.

Eso planteamos la hipótesis$\exp x=e^x$. Para valores racionales de$x$, esto es fácil de mostrar. Si$x$ es racional, entonces tenemos$\ln (e^x)=x\ln e=x$. Así, cuando$x$ es racional,$e^x=\exp x$. Para valores irracionales de$x$, simplemente definimos$e^x$ como la función inversa de$\ln x$.

Definición

Para cualquier número real$x$, defina$y=e^x$ que sea el número para el cual

$$\ln y=\ln (e^x)=x. \nonumber$$

Entonces tenemos$e^x=\exp x$ para todos$x$, y así

$e^{\ln x}=x$para$x>0$ y$\ln (e^x)=x$

para todos$x$.

Propiedades de la Función Exponencial

Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de un poder de$e$ debemos verificar que las leyes habituales de los exponentes sostienen para la función$e^x$.

Propiedades de la Función Exponencial

Si$p$ y$q$ son números reales y$r$ es un número racional, entonces

1. $e^pe^q=e^{p+q}$
2. $\dfrac{e^p}{e^q}=e^{p−q}$
3. $(e^p)^r=e^{pr}$

Prueba

Tenga en cuenta que si$p$ y$q$ son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, si$p$ o$q$ son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa$e^x$ y verificar las propiedades. Aquí solo se verifica la primera propiedad; las otras dos te quedan a ti. Tenemos

$$\ln (e^pe^q)=\ln (e^p)+\ln (eq)=p+q=\ln (e^{p+q}).\nonumber$$

Dado que$\ln x$ es uno a uno, entonces

$$e^pe^q=e^{p+q}.\nonumber$$

□

Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a valores irracionales de$r$, y lo hacemos al final de la sección.

También queremos verificar la fórmula de diferenciación para la función$y=e^x$. Para ello, necesitamos utilizar la diferenciación implícita. Vamos$y=e^x$. Entonces

$$\begin{align*} \ln y &=x \\[5pt] \dfrac{d}{dx}\Big(\ln y\Big) &=\dfrac{d}{dx}\Big(x\Big) \\[5pt] \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &=1 \\[5pt] \dfrac{dy}{dx} &=y. \end{align*}$$

Así, vemos

$$\dfrac{d}{dx}\Big(e^x\Big)=e^x \nonumber$$

según se desee, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración

$$∫e^x \,dx=e^x+C. \nonumber$$

Aplicamos estas fórmulas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Using Properties of Exponential Functions

Evaluar los siguientes derivados:

1. $\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t}e^{t^2}\Big)$
2. $\dfrac{d}{dx}\Big(e^{3x^2}\Big)$

Solución

Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario.

1. $\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t}e^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(e^{3t+t^2}\Big)=e^{3t+t^2}(3+2t)$
2. $\dfrac{d}{dx}\Big(e^{3x^2}\Big)=e^{3x^2}6x$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Evaluar los siguientes derivados:

1. $\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{e^{x^2}}{e^{5x}}\Big)$
2. $\dfrac{d}{dt}\Big((e^{2t})^3\Big)$

Pista

Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y la regla de cadena según sea necesario.

Responder

a.$\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{e^{x^2}}{e^{5x}}\Big)=e^{x^{2−5x}}(2x−5)$

b.$\dfrac{d}{dt}\Big((e^{2t})^3\Big)=6e^{6t}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Using Properties of Exponential Functions

Evaluar la siguiente integral:$\displaystyle ∫2xe^{−x^2}\,dx.$

Solución

Usando$u$ -sustitución, let$u=−x^2$. Entonces$du=−2x\,dx,$ y tenemos

$\displaystyle ∫2xe^{−x^2}\,dx=−∫e^u\,du=−e^u+C=−e^{−x^2}+C.$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Evaluar la siguiente integral:$\displaystyle ∫\dfrac{4}{e^{3x}}\,dx.$

Pista

Utilizar las propiedades de las funciones exponenciales y$u-substitution$ según sea necesario.

Responder

$\displaystyle ∫\dfrac{4}{e^{3x}}\,dx=−\dfrac{4}{3}e^{−3x}+C$

Funciones Logarítmicas y Exponenciales Generales

Cerramos esta sección observando las funciones exponenciales y logaritmos con bases distintas a$e$. Las funciones exponenciales son funciones de la forma$f(x)=a^x$. Tenga en cuenta que a menos que$a=e$, todavía no tengamos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para exponentes irracionales. Rectificemos eso aquí definiendo la función$f(x)=a^x$ en términos de la función exponencial$e^x$. Luego examinamos logaritmos con bases distintas a e como funciones inversas de funciones exponenciales.

Definición: Función exponencial

Para cualquiera$a>0,$ y para cualquier número real$x$, defina de la$y=a^x$ siguiente manera:

$$y=a^x=e^{x \ln a}. \nonumber$$

Ahora$a^x$ se define rigurosamente para todos los valores de$x$. Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de logaritmos y la propiedad iii. de funciones exponenciales para aplicar tanto a valores racionales como irracionales de$r$. Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera.

Ahora apliquemos esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para$a^x$. Tenemos

$\dfrac{d}{dx}\Big(a^x\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(e^{x\ln a}\Big)=e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a.$

La fórmula de integración correspondiente sigue inmediatamente.

Derivadas e Integrales que involucran Funciones Exponenciales Generales

Vamos$a>0.$ Entonces,

$$\dfrac{d}{dx}\Big(a^x\Big)=a^x \ln a \nonumber$$

y

$$∫a^x\,dx=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C. \nonumber$$

Si$a≠1$, entonces la función$a^x$ es uno a uno y tiene una inversa bien definida. Su inverso se denota por$\log_a x$. Entonces,

$y=\log_a x$si y solo si$x=a^y.$

Tenga en cuenta que las funciones generales de logaritmo pueden escribirse en términos del logaritmo natural. Vamos$y=\log_a x.$ Entonces,$x=a^y$. Tomando el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos

\ [\ begin {align*}\ ln x &=\ ln (a^y)\\ [5pt]
\ ln x&=y\ ln a\\ [5pt]
y&=\ dfrac {\ ln x} {\ ln a}\\ [5pt]
\ log_a x&=\ dfrac {\ ln x} {\ ln a}. \ end {alinear*}\]

Así, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes entre sí. A continuación, utilizamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con base$a$. Nuevamente, vamos$y=\log_a x$. Entonces,

\ [\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {d} {dx}\ Grande (\ log_a x\ Grande)\\ [5pt]
&=\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (\ dfrac {\ ln x} {\ ln a}\ derecha)\\ [5pt]
& =(\ dfrac {1} {\ ln a})\ dfrac {d} {dx}\ Grande (\ ln x\ Grande)\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {\ ln a} ⋅\ dfrac {1} {x} =\ dfrac {1} {x\ ln a}\ end {align*}\]

Derivadas de funciones de logaritmo general

Vamos$a>0.$ Entonces,

$$\dfrac{d}{dx}\Big(\log_a x\Big)=\dfrac{1}{x\ln a}. \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Calculating Derivatives of General Exponential and Logarithm Functions

Evaluar los siguientes derivados:

1. $\dfrac{d}{dt}\Big(4^t⋅2^{t^2}\Big)$
2. $\dfrac{d}{dx}\Big(\log_8(7x^2+4)\Big)$

Solución: Necesitamos aplicar la regla de la cadena según sea necesario.

1. $\dfrac{d}{dt}\Big(4^t⋅2^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(2^{2t}⋅2^{t^2}\Big)=\dfrac{d}{dt}\Big(2^{2t+t^2}\Big)=2^{2t+t^2}\ln (2)(2+2t)$
2. $\dfrac{d}{dx}\Big(\log_8(7x^2+4)\Big)=\dfrac{1}{(7x^2+4)(\ln 8)}(14x)$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Evaluar los siguientes derivados:

1. $\dfrac{d}{dt}\Big(4^{t^4}\Big)$
2. $\dfrac{d}{dx}\Big(\log_3(\sqrt{x^2+1})\Big)$

Pista

Utilice las fórmulas y aplique la regla de la cadena según sea necesario.

Responder

a.$\dfrac{d}{dt}\Big(4^{t^4}\Big)=4^{t^4}(\ln 4)(4t^3)$

b.$\dfrac{d}{dx}\Big(\log_3(\sqrt{x^2+1})\Big)=\dfrac{x}{(\ln 3)(x^2+1)}$

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Integrating General Exponential Functions

Evaluar la siguiente integral:$\displaystyle ∫\dfrac{3}{2^{3x}}\,dx.$

Solución

Usar$u-substitution$ y dejar$u=−3x$. Entonces$du=−3\,dx$ y tenemos

$$∫\dfrac{3}{2^{3x}}\,dx=∫3⋅2^{−3x}\,dx=−∫2^u\,du=−\dfrac{1}{\ln 2}2^u+C=−\dfrac{1}{\ln 2}2^{−3x}+C.\nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Evaluar la siguiente integral:$\displaystyle ∫x^2 2^{x^3}\,dx.$

Pista

Usar las propiedades de las funciones exponenciales y la sustitución en U

Responder

$\displaystyle ∫x^2 2^{x^3}\,dx=\dfrac{1}{3\ln 2}2^{x^3}+C$

Conceptos clave

• El tratamiento anterior de logaritmos y funciones exponenciales no definía las funciones de manera precisa y formal. Esta sección desarrolla los conceptos de una manera matemáticamente rigurosa.
• La piedra angular del desarrollo es la definición del logaritmo natural en términos de una integral.
• La función$e^x$ se define entonces como la inversa del logaritmo natural. Las funciones exponenciales generales se definen en términos de$e^x$, y las funciones inversas correspondientes son logaritmos generales.
• Las propiedades familiares de logaritmos y exponentes aún se mantienen en este contexto más riguroso.

Ecuaciones Clave

• Función de logaritmo natural
• $\displaystyle \ln x=∫^x_1\dfrac{1}{t}\,dt$
• Función exponencial$y=e^x$
• $\ln y=\ln (e^x)=x$