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LibreTexts Español

6.7: Integrales, funciones exponenciales y logaritmos

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Escribir la definición del logaritmo natural como integral.
  • Reconocer la derivada del logaritmo natural.
  • Integrar funciones que involucran la función logarítmica natural.
  • Definir el númeroe a través de una integral.
  • Reconocer la derivada e integral de la función exponencial.
  • Demostrar propiedades de logaritmos y funciones exponenciales usando integrales.
  • Expresar funciones logarítmicas y exponenciales generales en términos de logaritmos naturales y exponenciales.

Ya examinamos funciones exponenciales y logaritmos en capítulos anteriores. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en las discusiones anteriores. Por ejemplo, no estudiamos cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes que son irracionales. La definición del número e es otra área donde el desarrollo anterior fue algo incompleto. Ahora tenemos las herramientas para tratar estos conceptos de una manera matemáticamente más rigurosa, y lo hacemos en esta sección.

Para efectos de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el númeroe, o alguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección, habremos estudiado estos conceptos de una manera matemáticamente rigurosa (y veremos que son consistentes con los conceptos que aprendimos anteriormente). Comenzamos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición forma la base de la sección. De esta definición, derivamos fórmulas de diferenciación, definimos el númeroe y expandimos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base.

El logaritmo natural como integral

Recordemos la regla de potencia para integrales:

xndx=xn+1n+1+C,n1.

Claramente, esto no funciona cuandon=1, ya que nos obligaría a dividirnos por cero. Entonces, ¿con qué hacemos1xdx? Recordemos del Teorema Fundamental del Cálculo quex11tdt es un antiderivado de1x. Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición.

Definición: El logaritmo natural

Parax>0, definir la función de logaritmo natural por

lnx=x11tdt.

Porquex>1, esta es solo el área bajo la curvay=1t de1 ax. Parax<1, tenemos

x11tdt=1x1tdt,

por lo que en este caso es el negativo del área bajo la curva dex a1 (ver la siguiente figura).

Esta figura tiene dos gráficas. La primera es la curva y=1/t, decreciente y en el primer cuadrante. Bajo la curva hay un área sombreada. El área está delimitada a la izquierda en x=1. El área está etiquetada como “area=lnx”. La segunda gráfica es la misma curva y=1/t, tiene área sombreada bajo la curva delimitada a la derecha por x=1. Está etiquetado como “area=-lnx”.
Figura6.7.1: (a) Cuandox>1, el logaritmo natural es el área bajo la curvay=1/t de1 ax. (b) Cuandox<1, el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva dex a1.

Observe esoln1=0. Además, la funcióny=1t>0 parax>0. Por lo tanto, por las propiedades de las integrales, es claro quelnx va en aumento parax>0.

Propiedades del logaritmo natural

Por la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación cae inmediatamente como resultado del Teorema Fundamental del Cálculo.

Definición: Derivada del Logaritmo Natural

Parax>0, la derivada del logaritmo natural viene dada por

ddx(lnx)=1x.

Corolario a la Derivada del Logaritmo Natural

La funciónlnx es diferenciable; por lo tanto, es continua.

Una gráfica delnx se muestra en la Figura. Observe que es continuo en todo su dominio de(0,).

Esta figura es una gráfica. Se trata de una curva creciente etiquetada f (x) =lnx. La curva aumenta con el eje y como asíntota. La curva cruza el eje x en x=1.
Figura6.7.2: La gráfica def(x)=lnx muestra que es una función continua.
Ejemplo6.7.1: Calculating Derivatives of Natural Logarithms

Calcular las siguientes derivadas:

  1. ddx(ln(5x32))
  2. ddx((ln(3x))2)

Solución

Tenemos que aplicar la regla de la cadena en ambos casos.

  1. ddx(ln(5x32))=15x25x32
  2. ddx((ln(3x))2)=2(ln(3x))33x=2(ln(3x))x
Ejercicio6.7.1

Calcular las siguientes derivadas:

  1. ddx(ln(2x2+x))
  2. ddx((ln(x3))2)
Pista

Aplicar la fórmula de diferenciación que se acaba de proporcionar y utilizar la regla de cadena según sea necesario.

Responder

a.ddx(ln(2x2+x))=4x+12x2+x

b.ddx((ln(x3))2)=6ln(x3)x

Tenga en cuenta que si usamos la función de valor absoluto y creamos una nueva funciónln|x|, podemos extender el dominio del logaritmo natural para incluirx<0. Entoncesddx(lnx)=1x. Esto da lugar a la fórmula de integración familiar.

Integral de1udu

El logaritmo natural es el antiderivado de la funciónf(u)=1u:

1udu=ln|u|+C.

Ejemplo6.7.2: Calculating Integrals Involving Natural Logarithms

Calcular la integralxx2+4dx.

Solución

Usandou -sustitución, letu=x2+4. Entoncesdu=2xdx y tenemos

xx2+4dx=121udu=12ln|u|+C=12ln|x2+4|+C=12ln(x2+4)+C.

Ejercicio6.7.2

Calcular la integralx2x3+6dx.

Pista

Aplica la fórmula de integración proporcionada anteriormente y usa u-substitución según sea necesario.

Responder

x2x3+6dx=13lnx3+6+C

Aunque hemos llamado a nuestra función un “logaritmo”, en realidad no hemos probado que ninguna de las propiedades de logaritmos tenga para esta función. Lo hacemos aquí.

Propiedades del logaritmo natural

Sia,b>0 yr es un número racional, entonces

  1. ln1=0
  2. ln(ab)=lna+lnb
  3. ln(ab)=lnalnb
  4. ln(ar)=rlna
Prueba

i. Por definición,ln1=111tdt=0.

ii. Tenemos

ln(ab)=ab11tdt=a11tdt+aba1tdt.

Utilizarusubstitution en la última integral en esta expresión. Vamosu=t/a. Entoncesdu=(1/a)dt. Además, cuandot=a,u=1, y cuandot=ab,u=b. Así que obtenemos

ln(ab)=a11tdt+aba1tdt=a11tdt+ab1at1adt=a11tdt+b11udu=lna+lnb.

iii. Tenga en cuenta que

ddx(ln(xr))=rxr1xr=rx.

Además,

ddx((rlnx))=rx.

Dado que las derivadas de estas dos funciones son las mismas, por el Teorema Fundamental del Cálculo, deben diferir por una constante. Así que tenemos

ln(xr)=rlnx+C

para alguna constanteC. Tomandox=1, obtenemos

ln(1r)=rln(1)+C

0=r(0)+C

C=0.

Asíln(xr)=rlnx y la prueba está completa. Tenga en cuenta que podemos extender esta propiedad a valores irracionales der más adelante en esta sección.

La parte iii. se desprende de las partes ii. y iv. y se le deja la prueba.

Ejemplo6.7.3: Using Properties of Logarithms

Utilice las propiedades de logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln92ln3+ln(13).

Solución

Tenemos

ln92ln3+ln(13)=ln(32)2ln3+ln(31)=2ln32ln3ln3=ln3.

Ejercicio6.7.3

Utilice las propiedades de logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln8ln2ln(14)

Pista

Aplicar las propiedades de logaritmos.

Responder

4ln2

Definición del número e

Ahora que tenemos definido el logaritmo natural, podemos usar esa función para definir el númeroe.

Definición:e

El númeroe se define como el número real de tal manera que

lne=1

Para decirlo de otra manera, el área bajo la curvay=1/t entret=1 yt=e es1 (Figura). Te queda la prueba de que tal número existe y es único. (Pista: Utilizar el Teorema del Valor Intermedio para probar la existencia y el hecho de quelnx va en aumento para demostrar la singularidad.)

Esta figura es una gráfica. Es la curva y=1/t, decreciente y en el primer cuadrante. Bajo la curva hay un área sombreada. El área está delimitada a la izquierda en x=1 y a la derecha en x=e. El área está etiquetada como “area=1”.
Figura:El6.7.3 área bajo la curva de a1 ese igual a uno.

eSe puede demostrar que el número es irracional, aunque no lo haremos aquí (ver el Proyecto Estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin). Su valor aproximado viene dado por

e2.71828182846.

La función exponencial

Ahora volvemos nuestra atención a la funciónex. Tenga en cuenta que el logaritmo natural es uno a uno y por lo tanto tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa porexpx. Entonces,

exp(lnx)=x

parax>0 y

ln(expx)=x

para todosx.

La siguiente figura muestra las gráficas deexpx ylnx.

Esta figura es una gráfica. Tiene tres curvas. La primera curva está etiquetada exp x, es una curva creciente con el eje x como asíntota horizontal. Interseca el eje y en y=1. La segunda curva es una línea diagonal a través del origen. La tercera curva está etiquetada como lnx. Es una curva creciente con el eje y como eje vertical. Interseca el eje x en x=1.
Figura6.7.4: Las gráficas delnx yexpx.

Eso planteamos la hipótesisexpx=ex. Para valores racionales dex, esto es fácil de mostrar. Six es racional, entonces tenemosln(ex)=xlne=x. Así, cuandox es racional,ex=expx. Para valores irracionales dex, simplemente definimosex como la función inversa delnx.

Definición

Para cualquier número realx, definay=ex que sea el número para el cual

lny=ln(ex)=x.

Entonces tenemosex=expx para todosx, y así

elnx=xparax>0 yln(ex)=x

para todosx.

Propiedades de la Función Exponencial

Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de un poder dee debemos verificar que las leyes habituales de los exponentes sostienen para la funciónex.

Propiedades de la Función Exponencial

Sip yq son números reales yr es un número racional, entonces

  1. epeq=ep+q
  2. epeq=epq
  3. (ep)r=epr
Prueba

Tenga en cuenta que sip yq son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, sip oq son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversaex y verificar las propiedades. Aquí solo se verifica la primera propiedad; las otras dos te quedan a ti. Tenemos

ln(epeq)=ln(ep)+ln(eq)=p+q=ln(ep+q).

Dado quelnx es uno a uno, entonces

epeq=ep+q.

Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a valores irracionales der, y lo hacemos al final de la sección.

También queremos verificar la fórmula de diferenciación para la funcióny=ex. Para ello, necesitamos utilizar la diferenciación implícita. Vamosy=ex. Entonces

lny=xddx(lny)=ddx(x)1ydydx=1dydx=y.

Así, vemos

ddx(ex)=ex

según se desee, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración

exdx=ex+C.

Aplicamos estas fórmulas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo6.7.4: Using Properties of Exponential Functions

Evaluar los siguientes derivados:

  1. ddt(e3tet2)
  2. ddx(e3x2)

Solución

Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario.

  1. ddt(e3tet2)=ddt(e3t+t2)=e3t+t2(3+2t)
  2. ddx(e3x2)=e3x26x
Ejercicio6.7.4

Evaluar los siguientes derivados:

  1. ddx(ex2e5x)
  2. ddt((e2t)3)
Pista

Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y la regla de cadena según sea necesario.

Responder

a.ddx(ex2e5x)=ex25x(2x5)

b.ddt((e2t)3)=6e6t

Ejemplo6.7.5: Using Properties of Exponential Functions

Evaluar la siguiente integral:2xex2dx.

Solución

Usandou -sustitución, letu=x2. Entoncesdu=2xdx, y tenemos

2xex2dx=eudu=eu+C=ex2+C.

Ejercicio6.7.5

Evaluar la siguiente integral:4e3xdx.

Pista

Utilizar las propiedades de las funciones exponenciales yusubstitution según sea necesario.

Responder

4e3xdx=43e3x+C

Funciones Logarítmicas y Exponenciales Generales

Cerramos esta sección observando las funciones exponenciales y logaritmos con bases distintas ae. Las funciones exponenciales son funciones de la formaf(x)=ax. Tenga en cuenta que a menos quea=e, todavía no tengamos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para exponentes irracionales. Rectificemos eso aquí definiendo la funciónf(x)=ax en términos de la función exponencialex. Luego examinamos logaritmos con bases distintas a e como funciones inversas de funciones exponenciales.

Definición: Función exponencial

Para cualquieraa>0, y para cualquier número realx, defina de lay=ax siguiente manera:

y=ax=exlna.

Ahoraax se define rigurosamente para todos los valores dex. Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de logaritmos y la propiedad iii. de funciones exponenciales para aplicar tanto a valores racionales como irracionales der. Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera.

Ahora apliquemos esta definición para calcular una fórmula de diferenciación paraax. Tenemos

ddx(ax)=ddx(exlna)=exlnalna=axlna.

La fórmula de integración correspondiente sigue inmediatamente.

Derivadas e Integrales que involucran Funciones Exponenciales Generales

Vamosa>0. Entonces,

ddx(ax)=axlna

y

axdx=1lnaax+C.

Sia1, entonces la funciónax es uno a uno y tiene una inversa bien definida. Su inverso se denota porlogax. Entonces,

y=logaxsi y solo six=ay.

Tenga en cuenta que las funciones generales de logaritmo pueden escribirse en términos del logaritmo natural. Vamosy=logax. Entonces,x=ay. Tomando el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos

\ [\ begin {align*}\ ln x &=\ ln (a^y)\\ [5pt]
\ ln x&=y\ ln a\\ [5pt]
y&=\ dfrac {\ ln x} {\ ln a}\\ [5pt]
\ log_a x&=\ dfrac {\ ln x} {\ ln a}. \ end {alinear*}\]

Así, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes entre sí. A continuación, utilizamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con basea. Nuevamente, vamosy=logax. Entonces,

\ [\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {d} {dx}\ Grande (\ log_a x\ Grande)\\ [5pt]
&=\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (\ dfrac {\ ln x} {\ ln a}\ derecha)\\ [5pt]
& =(\ dfrac {1} {\ ln a})\ dfrac {d} {dx}\ Grande (\ ln x\ Grande)\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {\ ln a} ⋅\ dfrac {1} {x} =\ dfrac {1} {x\ ln a}\ end {align*}\]

Derivadas de funciones de logaritmo general

Vamosa>0. Entonces,

ddx(logax)=1xlna.

Ejemplo6.7.6: Calculating Derivatives of General Exponential and Logarithm Functions

Evaluar los siguientes derivados:

  1. ddt(4t2t2)
  2. ddx(log8(7x2+4))

Solución: Necesitamos aplicar la regla de la cadena según sea necesario.

  1. ddt(4t2t2)=ddt(22t2t2)=ddt(22t+t2)=22t+t2ln(2)(2+2t)
  2. ddx(log8(7x2+4))=1(7x2+4)(ln8)(14x)
Ejercicio6.7.6

Evaluar los siguientes derivados:

  1. ddt(4t4)
  2. ddx(log3(x2+1))
Pista

Utilice las fórmulas y aplique la regla de la cadena según sea necesario.

Responder

a.ddt(4t4)=4t4(ln4)(4t3)

b.ddx(log3(x2+1))=x(ln3)(x2+1)

Ejemplo6.7.7: Integrating General Exponential Functions

Evaluar la siguiente integral:323xdx.

Solución

Usarusubstitution y dejaru=3x. Entoncesdu=3dx y tenemos

323xdx=323xdx=2udu=1ln22u+C=1ln223x+C.

Ejercicio6.7.7

Evaluar la siguiente integral:x22x3dx.

Pista

Usar las propiedades de las funciones exponenciales y la sustitución en U

Responder

x22x3dx=13ln22x3+C

Conceptos clave

  • El tratamiento anterior de logaritmos y funciones exponenciales no definía las funciones de manera precisa y formal. Esta sección desarrolla los conceptos de una manera matemáticamente rigurosa.
  • La piedra angular del desarrollo es la definición del logaritmo natural en términos de una integral.
  • La funciónex se define entonces como la inversa del logaritmo natural. Las funciones exponenciales generales se definen en términos deex, y las funciones inversas correspondientes son logaritmos generales.
  • Las propiedades familiares de logaritmos y exponentes aún se mantienen en este contexto más riguroso.

Ecuaciones Clave

  • Función de logaritmo natural
  • lnx=x11tdt
  • Función exponencialy=ex
  • lny=ln(ex)=x

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