9.7: Ejercicios de revisión del Capítulo 9
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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.
1) Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0,\) entonces\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.
- Contestar
- false
2) Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0,\) entonces\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) diverge.
3) Si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) converge, entonces\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.
- Contestar
- true
4) Si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^na_n\) converge, entonces\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−2)^na_n\) converge.
¿La secuencia es limitada, monótona y convergente o divergente? Si es convergente, encuentra el límite.
5)\(a_n=\dfrac{3+n^2}{1−n}\)
- Contestar
- sin límites, no monótona, divergente
6)\(a_n=\ln\left(\frac{1}{n}\right)\)
7)\(a_n=\dfrac{\ln(n+1)}{\sqrt{n+1}}\)
- Contestar
- acotado, monótona, convergente,\(0\)
8)\(a_n=\dfrac{2^{n+1}}{5^n}\)
9)\(a_n=\dfrac{\ln(\cos n)}{n}\)
- Contestar
- sin límites, no monótona, divergente
¿La serie es convergente o divergente?
10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2+5n+4}\)
11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\)
- Contestar
- diverge
12)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^n}{n^4}\)
13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{e^n}{n!}\)
- Contestar
- converge
14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n^{−(n+1/n)}\)
¿La serie es convergente o divergente? Si convergente, ¿es absolutamente convergente?
15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{\sqrt{n}}\)
- Contestar
- converge, pero no absolutamente
16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{3^n}\)
17)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{n^n}\)
- Contestar
- converge absolutamente
18)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin\left(\frac{nπ}{2}\right)\)
19)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos(πn)e^{−n}\)
- Contestar
- converge absolutamente
Evaluar.
20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{n+4}}{7^n}\)
21)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)
- Contestar
- \(\frac{1}{2}\)
22) Cuenta una leyenda de la India que un matemático inventó el ajedrez para un rey. El rey disfrutó tanto del juego que permitió al matemático exigir cualquier pago. El matemático pidió un grano de arroz para la primera plaza en el tablero de ajedrez, dos granos de arroz para la segunda plaza en el tablero de ajedrez, y así sucesivamente. Encontrar una expresión exacta para el pago total (en granos de arroz) solicitado por el matemático. Suponiendo que hay\(30,000\) granos de arroz en\(1\) libras, y\(2000\) libras en\(1\) tonelada, ¿cuántas toneladas de arroz intentó recibir el matemático?
Los siguientes problemas consideran un modelo poblacional simple de la mosca doméstica, que puede ser exhibido por la fórmula recursiva\(x_{n+1}=bx_n\), donde\(x_n\) está la población de moscas domésticas en generación\(n\), y\(b\) es el número promedio de crías por mosca doméstica que sobreviven a la siguiente generación. Asumir una población inicial\(x_0\).
23) Averiguar\(\displaystyle \lim_{n→∞}x_n\) si\(b>1, \;b<1\), y\(b=1.\)
- Contestar
- \(∞, \; 0, \; x_0\)
24) Encontrar una expresión para\(\displaystyle S_n=\sum_{i=0}^nx_i\) en términos de\(b\) y\(x_0\). ¿Qué representa físicamente?
25) Si\(b=\frac{3}{4}\) y\(x_0=100\), encontrar\(S_{10}\) y\(\displaystyle \lim_{n→∞}S_n\)
- Contestar
- \(\displaystyle S_{10}≈383, \quad \lim_{n→∞}S_n=400\)
26) ¿Para qué valores de\(b\) convergerán y divergirán las series? ¿A qué converge la serie?