9: Secuencias y series
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- 9.0: Preludio a Secuencia y Serie
- El copo de nieve de Koch se construye a partir de un número infinito de triángulos equiláteros no superpuestos. En consecuencia, podemos expresar su área como una suma de infinitamente muchos términos. ¿Cómo agregamos un número infinito de términos? ¿Puede ser finita una suma de un número infinito de términos? Para responder a estas preguntas, necesitamos introducir el concepto de una serie infinita, una suma con infinitamente muchos términos. Habiendo definido las herramientas necesarias, podremos calcular el área del copo de nieve de Koch.
- 9.1: Secuencias
- En esta sección, introducimos secuencias y definimos lo que significa que una secuencia converja o diverja. Mostramos cómo encontrar límites de secuencias que convergen, a menudo mediante el uso de las propiedades de límites para funciones discutidas anteriormente. Cerramos esta sección con el Teorema de Convergencia Monótona, una herramienta que podemos utilizar para demostrar que ciertos tipos de secuencias convergen.
- 9.2: Serie Infinita
- En esta sección definimos una serie infinita y mostramos cómo las series se relacionan con las secuencias. También definimos lo que significa que una serie converja o diverja. Presentamos uno de los tipos de series más importantes: la serie geométrica. Utilizaremos series geométricas en el siguiente capítulo para escribir ciertas funciones como polinomios con un número infinito de términos. Este proceso es importante porque nos permite evaluar, diferenciar e integrar funciones complicadas mediante el uso de polinomios.
- 9.3: La divergencia y las pruebas integrales
- La convergencia o divergencia de varias series se determina calculando explícitamente el límite de la secuencia de sumas parciales. En la práctica, calcular explícitamente este límite puede ser difícil o imposible. Existen varias pruebas que nos permiten determinar la convergencia o divergencia para muchos tipos de series.Aquí, discutimos dos de estas pruebas: la prueba de divergencia y la prueba integral. Examinaremos varias otras pruebas en el resto de este capítulo y luego resumiremos cómo y cuándo usarlas.
- 9.4: Pruebas de comparación
- Hemos visto que la prueba integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, se muestra cómo utilizar pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia es conocida. Normalmente estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de series que son similares a series geométricas o series p.
- 9.5: Serie alterna
- En esta sección presentamos series alternas, aquellas series cuyos términos se alternan en signo. Mostraremos en un capítulo posterior que estas series suelen surgir al estudiar series de poder. Después de definir series alternas, introducimos la prueba de series alternas para determinar si dicha serie converge.
- 9.6: Pruebas de Ratio y Raíz
- En esta sección, probamos las dos últimas pruebas de convergencia de series: la prueba de relación y la prueba raíz. Estas pruebas son agradables porque no requieren que encontremos una serie comparable. La prueba de ratio será especialmente útil en la discusión de series de poder en el siguiente capítulo. A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia única funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia usar para una serie determinada.
Miniaturas: Para las series armónicas alternas, los términos impares\(S_{2k+1}\) en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y acotados a continuación. Los términos parejos\(S_{2k}\) van en aumento y acotados por encima.