3.E: Uso de Derivados (Ejercicios)

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

3.1: Uso de Derivados para Identificar Valores Extremos

1. Encontrar puntos críticos y puntos de inflexión

2. Encontrar puntos de inflexión

3. Gráficas coincidentes de$f,f',f''$

4.

Este problema se refiere a una función sobre la cual se conoce la siguiente información:

$f$es una función diferenciable definida en cada número real$x$
$\displaystyle f(0) = -1/2$
$y = f'(x)$tiene su gráfica en el centro en la Figura 3.1.17

Figura 3.1.17. En el centro, una gráfica de$y = f'(x)\text{;}$ a la izquierda, ejes para trazar$y = f(x)\text{;}$ a la derecha, ejes para trazar$y = f''(x)\text{.}$

Construir un primer gráfico de signos derivados para Identificar$f\text{.}$ claramente todos los números críticos de$f\text{,}$ dónde$f$ está aumentando y disminuyendo, y donde$f$ tiene extremos locales.
En los ejes de la derecha, dibuja una gráfica aproximada de$y = f''(x)\text{.}$
Construir un segundo gráfico de signo derivado para Identificar$f\text{.}$ claramente dónde$f$ es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, así como todos los puntos de inflexión.
En los ejes de la izquierda, dibuja una posible gráfica de$y = f(x)\text{.}$

5.

Supongamos que$g$ es una función diferenciable y$g'(2) = 0\text{.}$ además, supongamos que on$1 \lt x\lt 2$ y$2 \lt x \lt 3$ se sabe que$g'(x)$ es positivo.

$g$Tiene un máximo local, mínimo local, o ninguno en$x = 2\text{?}$ ¿Por qué?
Supongamos que$g''(x)$ existe para cada$x$ tal que$1 \lt x \lt 3\text{.}$ Razonando gráficamente, describa el comportamiento de$g''(x)$ for$x$ -values near$2\text{.}$
Además de ser un número crítico de$g\text{,}$ lo que tiene de especial el valor$x = 2$ en cuanto al comportamiento de la gráfica de$g\text{?}$

6.

Supongamos que$h$ es una función diferenciable cuya primera derivada viene dada por la gráfica de la Figura 3.1.18.

¿Cuántas soluciones de números reales puede$h(x) = 0$ tener la ecuación? ¿Por qué?
Si$h(x) = 0$ tiene dos soluciones reales distintas, ¿qué se puede decir sobre los signos de las dos soluciones? ¿Por qué?
Supongamos que$\lim_{x \to \infty} h'(x) = 3\text{,}$ como parece indicarse en la Figura 3.1.18. ¿Cómo$y = h(x)$ aparecerá la gráfica de como$x \to \infty\text{?}$ Por qué?
Describa la concavidad de la forma más completa$y = h(x)$ posible a partir de la información proporcionada.

Figura 3.1.18. La gráfica de$y = h'(x)\text{.}$

7.

Dejar$p$ ser una función cuya segunda derivada es$p''(x) = (x+1)(x-2)e^{-x}\text{.}$

Construir un segundo gráfico de signo derivado para$p$ y determinar todos los puntos de inflexión de$p\text{.}$
Supongamos que también sabe que$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ es un número crítico de$p\text{.}$$p$ Tiene un mínimo local, máximo local, o ninguno en$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\text{?}$ ¿Por qué?
Si el punto$(2, \frac{12}{e^2})$ se encuentra en la gráfica de$y = p(x)$ y$p'(2) = -\frac{5}{e^2}\text{,}$ encuentra la ecuación de la línea tangente a$y = p(x)$ en el punto donde$x = 2\text{.}$ ¿La línea tangente se encuentra por encima de la curva, por debajo de la curva, o tampoco a este valor? ¿Por qué?

3.2: Uso de Derivadas para Describir Familias de Funciones

1. Dosificación del medicamento con un parámetro

2. Usando la gráfica de$g'$

3

Considere la familia de funciones de un parámetro dada por$p(x) = x^3-ax^2\text{,}$ donde$a \gt 0\text{.}$

Dibuje una gráfica de un miembro típico de la familia, utilizando el hecho de que cada uno es un polinomio cúbico con un cero repetido en$x = 0$ y otro cero en$x = a\text{.}$
Encuentra todos los números críticos de$p\text{.}$
Calcular$p''$ y encontrar todos los valores para los cuales$p''(x) = 0\text{.}$ Por lo tanto, construir un segundo gráfico de signo derivado para$p\text{.}$
Describir como cambia la ubicación de los números críticos y el punto de inflexión de$p$$a$ cambio. Es decir, si$a$ se incrementa el valor de, ¿qué pasa con los números críticos y el punto de inflexión?

4

Dejar$q(x) = \frac{e^{-x}}{x-c}$ ser una familia de funciones de un parámetro donde$c \gt 0\text{.}$

Explicar por qué$q$ tiene una asíntota vertical en$x = c\text{.}$
Determinar$\lim_{x \to \infty} q(x)$ y$\lim_{x \to -\infty} q(x)\text{.}$
Calcular$q'(x)$ y encontrar todos los números críticos de$q\text{.}$
Construir un primer gráfico de signos derivados para$q$ y determinar si cada número crítico conduce a un mínimo local, máximo local, o ninguno para la función$q\text{.}$
Dibuje un miembro típico de esta familia de funciones con comportamientos importantes claramente etiquetados.

5

Vamos$E(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}}\text{,}$ donde$m$ está cualquier número real y$s$ es un número real positivo.

Calcular$E'(x)$ y por lo tanto encontrar todos los números críticos de$E\text{.}$
Construya una primera gráfica de signos derivada para$E$ y clasifique cada número crítico de la función como mínimo local, máximo local, o ninguno de los dos.
Se puede demostrar que$E''(x)$ viene dada por la fórmula
\[ E''(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}} \left(\frac{(x-m)^2 - s^2}{s^4} \right)\text{.} \nonumber \]
Encuentra todos los valores$x$ para los cuales$E''(x) = 0\text{.}$
Determinar$\lim_{x \to \infty} E(x)$ y$\lim_{x \to -\infty} E(x)\text{.}$
Construir una gráfica etiquetada de una función típica$E$ que muestre claramente cuán importantes puntos en la gráfica$y = E(x)$ dependen de$m$ y$s\text{.}$

3.3: Optimización global

1

Con base en la información dada sobre cada función, decidir si la función tiene máximo global, un mínimo global, ninguno, ambos, o que no es posible decir sin más información. Supongamos que cada función es dos veces diferenciable y definida para todos los números reales, a menos que se indique lo contrario. En cada caso, escribe una frase para explicar tu conclusión.

$f$es una función tal que$f''(x) \lt 0$ para cada$x\text{.}$
$g$es una función con dos números críticos$a$ y$b$ (dónde$a \lt b$), y$g'(x) \lt 0$$x \lt a\text{,}$$g'(x) \lt 0$ para$a \lt x \lt b\text{,}$ y$g'(x) \gt 0$ para$x \gt b\text{.}$
$h$es una función con dos números críticos$a$ y$b$ (dónde$a \lt b$), y$h'(x) \lt 0$$x \lt a\text{,}$$h'(x) \gt 0$ para$a \lt x \lt b\text{,}$ y$h'(x) \lt 0$ para$x \gt b\text{.}$ Además,$\lim_{x \to \infty} h(x) = 0$ y$\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0\text{.}$
$p$es una función diferenciable en todas partes excepto en$x = a$ y$p''(x) \gt 0$ para$x \lt a$ y$p''(x) \lt 0$ para$x \gt a\text{.}$

2

Para cada familia de funciones que dependa de uno o más parámetros, determine el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función en el intervalo dado.

$p(x) = x^3 - a^2x\text{,}$$[0,a]$($a \gt 0$)
$r(x) = axe^{-bx}\text{,}$$[\frac{1}{2b}, \frac{2}{b}]$($a \gt 0, b \gt 1$)
$w(x) = a(1-e^{-bx})\text{,}$$[b, 3b]$($a, b \gt 0$)
$s(x) = \sin(kx)\text{,}$$\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$($k \gt 0$)

3

Para cada una de las funciones que se describen a continuación (cada continua encendida$[a,b]$), indique la ubicación del máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función en el intervalo$[a,b]\text{,}$ o diga que no se proporciona suficiente información para llegar a una conclusión. Supongamos que cualquier número crítico mencionado en la declaración del problema representa todos los números críticos que tiene la función$[a,b]\text{.}$ en cada caso, escriba una oración para explicar su respuesta.

$f'(x) \le 0$para todos$x$ en$[a,b]$
$g$tiene un número crítico en$c$ tal que$a \lt c\lt b$ y$g'(x) \gt 0$ para$x \lt c$ y$g'(x) \lt 0$ para$x \gt c$
$h(a) = h(b)$y$h''(x) \lt 0$ para todos$x$ en$[a,b]$
$p(a) \gt 0\text{,}$$p(b) \lt 0\text{,}$y para el número crítico$c$ tal que$a \lt c \lt b\text{,}$$p'(x) \lt 0$ para$x \lt c$ y$p'(x) \gt 0$ para$x \gt c$

4

Deje$s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5\text{.}$ Encontrar el máximo absoluto exacto y mínimo de$s$ en los intervalos proporcionados probando los puntos finales y encontrando y evaluando todos los números críticos relevantes de$s\text{.}$

$\displaystyle [\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$
$\displaystyle [0, \frac{\pi}{2}]$
$\displaystyle [0, 2\pi]$
$\displaystyle [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$

3.4: Optimización Aplicada

1. Maximizar el volumen de una caja

2. Minimizar el costo de un contenedor

3. Maximizar el área contenida por una barda

4. Minimizar el área de un póster

5. Maximizar el área de un rectángulo

6

Una caja rectangular con fondo cuadrado y parte superior cerrada debe estar hecha de dos materiales. El material para el lado cuesta $1.50 por pie cuadrado y el material para la parte superior e inferior cuesta $3.00 por pie cuadrado. Si estás dispuesto a gastar $15 en la caja, ¿cuál es el mayor volumen que puede contener? Justifica tu respuesta completamente usando cálculo.

7

Un agricultor quiere comenzar a criar vacas, caballos, cabras y ovejas, y desea tener un pasto rectangular para que los animales pasten. Sin embargo, no hay dos tipos diferentes de animales que puedan pastar juntos. Para minimizar la cantidad de cercas que necesitará, ha decidido encerrar una gran área rectangular y luego dividirla en cuatro corrales de igual tamaño agregando tres segmentos de barda dentro del rectángulo grande que son paralelos a dos lados existentes. Ella ha decidido comprar 7500 pies de esgrima. ¿Cuál es el área máxima posible que encerrará cada una de las cuatro plumas?

8

Dos postes verticales de alturas de 60 pies y 80 pies se encuentran en un terreno nivelado, con sus bases a 100 pies de distancia. Un cable que se estira desde la parte superior de un poste hasta algún punto del suelo entre los polos, y luego hasta la parte superior del otro poste. ¿Cuál es la longitud mínima posible de cable requerida? Justifica tu respuesta completamente usando cálculo.

9

Una empresa está diseñando tanques de propano que son cilíndricos con extremos hemisféricos. Supongamos que la compañía quiere tanques que alberguen 1000 pies cúbicos de gas, y que los extremos son más caros de fabricar, con un costo de 5 dólares por pie cuadrado, mientras que el barril cilíndrico entre los extremos cuesta $2 por pie cuadrado. Utilice el cálculo para determinar el costo mínimo para construir dicho tanque.

3.5: Tarifas Relacionadas

1. Altura de una pila cónica de grava

2. Movimiento de una sombra

3. Un tanque cónico con fugas

4

Un velero está sentado en reposo cerca de su muelle. Una cuerda unida a la proa de la embarcación es arrastrada sobre una polea que se encuentra sobre un poste en el extremo del muelle que es 5 pies más alto que la proa. Si se tira de la cuerda a razón de 2 pies por segundo, ¿qué tan rápido se acerca el bote al muelle cuando la longitud de la cuerda de proa a polea es de 13 pies?

5

Una piscina mide$60$ pies de largo y$25$ pies de ancho. Su profundidad varía uniformemente desde$3$ pies en el extremo poco profundo hasta$15$ pies en el extremo profundo, como se muestra en la Figura 3.5.5.

Figura 3.5.5. La piscina.

Supongamos que la alberca se ha vaciado y ahora se está llenando de agua a razón de pies$800$ cúbicos por minuto. ¿A qué velocidad aumenta la profundidad del agua (medida en el punto más profundo de la piscina) cuando está a$5$ pies de profundidad en ese extremo? Con el tiempo, describa cómo aumentará la profundidad del agua: a un ritmo creciente, a un ritmo decreciente o a un ritmo constante. Explique.

6

Un diamante de béisbol es un cuadrado con lados$90$ pies de largo. Supongamos que un beisbolista avanza de segunda a tercera base a razón de$24$ pies por segundo, y un árbitro está parado en el plato de casa. Dejar$\theta$ ser el ángulo entre la tercera línea de base y la línea de visión desde el árbitro hasta el corredor. ¿Qué tan rápido está$\theta$ cambiando cuando el corredor está a$30$ pies de la tercera base?

7

La arena se está arrojando de una cinta transportadora sobre una pila de tal manera que la pila se forma en forma de cono cuyo radio siempre es igual a su altura. Asumiendo que la arena se está arrojando a razón de pies$10$ cúbicos por minuto, ¿qué tan rápido cambia la altura del pilote cuando hay pies$1000$ cúbicos en el pilote?

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