3.5: Tarifas Relacionadas

Preguntas Motivadoras

• Si dos cantidades que están relacionadas, como el radio y el volumen de un globo esférico, están cambiando ambas como funciones implícitas del tiempo, ¿cómo se relacionan sus tasas de cambio? Es decir, ¿cómo afecta la relación entre los valores de las cantidades a la relación entre sus respectivos derivados con respecto al tiempo?

En la mayoría de nuestras aplicaciones de la derivada hasta el momento, nos ha interesado la tasa instantánea a la que una variable, digamos\(y\), cambia con respecto a otra, digamos\(x\), llevándonos a computar e interpretar\(\frac{dy}{dx}\). A continuación consideramos situaciones donde se relacionan varias cantidades variables, pero donde cada cantidad es implícitamente una función del tiempo, que será representada por la variable\(t\). A través de conocer cómo se relacionan las cantidades, nos interesará determinar cómo se relacionan sus respectivas tasas de cambio con respecto al tiempo.

Por ejemplo, supongamos que se está bombeando aire a un globo esférico para que su volumen aumente a una velocidad constante de 20 pulgadas cúbicas por segundo. Dado que el volumen y el radio del globo están relacionados, al saber qué tan rápido está cambiando el volumen, deberíamos poder descubrir qué tan rápido está cambiando el radio. Nos interesan preguntas como: ¿podemos determinar qué tan rápido está aumentando el radio del globo en el momento en que el diámetro del globo es de 12 pulgadas?

Vista previa de la actividad 3.5.1

Un globo esférico está siendo inflado a una velocidad constante de 20 pulgadas cúbicas por segundo. ¿Qué tan rápido cambia el radio del globo en el instante en que el diámetro del globo es de 12 pulgadas? ¿El radio cambia más rápidamente cuándo\(d = 12\) o cuándo?\(d = 16\text{?}\) ¿Por qué?

1. Dibuja varias esferas con diferentes radios y observa que a medida que cambia el volumen, el radio, el diámetro y la superficie del globo también cambian.
2. Recordemos que el volumen de una esfera de radio\(r\) es\(V = \frac{4}{3} \pi r^3\text{.}\) Tenga en cuenta bien que en la configuración de este problema, ambos\(V\) y\(r\) están cambiando a medida que\(t\) cambia el tiempo,\(V\) y así ambos y\(r\) pueden verse como funciones implícitas de\(t\text{,}\) con respectivas derivadas\(\frac{dV}{dt}\) y\(\frac{dr}{dt}\text{.}\) Diferenciar ambos lados de la ecuación\(V = \frac{4}{3} \pi r^3\) con respecto a\(t\) (usando la regla de cadena a la derecha) para encontrar una fórmula para\(\frac{dV}{dt}\) eso depende de ambos\(r\) y\(\frac{dr}{dt}\text{.}\)
3. En este punto del problema, al diferenciar hemos “relacionado las tasas” de cambio de\(V\) y\(r\text{.}\) Recordemos que nos dan en el problema de que el globo se está inflando a una tasa constante de 20 pulgadas cúbicas por segundo. ¿Esta tasa es el valor de\(\frac{dr}{dt}\) o\(\frac{dV}{dt}\text{?}\) por qué?
4. De la parte (c), conocemos el valor de\(\frac{dV}{dt}\) a cada valor de\(t\text{.}\) Next, observamos que cuando el diámetro del globo es 12, conocemos el valor del radio. En la ecuación\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\text{,}\) sustituya estos valores por las cantidades relevantes y resuelva por la cantidad desconocida restante, que es\(\frac{dr}{dt}\text{.}\) qué tan rápido cambia el radio en el instante\(d = 12\text{?}\)
5. ¿En qué se diferencia la situación\(d = 16\text{?}\) cuando el radio cambia más rápidamente, cuándo\(d = 12\) o cuándo\(d = 16\text{?}\)

3.5.1 Problemas relacionados con las tarifas

En problemas donde dos o más cantidades pueden relacionarse entre sí, y todas las variables involucradas son implícitamente funciones del tiempo, a menudo\(t\text{,}\) nos interesa cómo se relacionan sus tarifas; a estos los llamamos problemas de tarifas relacionadas. Una vez que tenemos una ecuación que establece la relación entre las variables, diferenciamos implícitamente con respecto al tiempo para encontrar conexiones entre las tasas de cambio.

Ejemplo 3.5.1

La arena está siendo volcada por una cinta transportadora sobre una pila para que la arena forme un cono circular derecho, como se muestra en la Figura 3.5.2. ¿Cómo se relacionan entre sí las tasas instantáneas de cambio del volumen, la altura y el radio de la arena?

Figura 3.5.2. Un montón cónico de arena.

Responder

A medida que la arena cae de la cinta transportadora, variarán varias características de la pila de arena: el volumen de la pila crecerá, la altura aumentará y el radio también se hará más grande. Todas estas cantidades están relacionadas entre sí, y la velocidad a la que cada una está cambiando está relacionada con la velocidad a la que cae la arena del transportador.

Comenzamos por identificar qué variables están cambiando y cómo se relacionan. En este problema, observamos que el radio y la altura del pilote están relacionados con su volumen por la ecuación estándar para el volumen de un cono,

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\text{.} \nonumber \]

Viendo cada uno de\(V\text{,}\)\(r\text{,}\) y\(h\) como funciones de\(t\text{,}\) diferenciamos implícitamente para llegar a una ecuación que relaciona sus respectivas tasas de cambio. Tomando la derivada de cada lado de la ecuación con respecto a la\(t\text{,}\) que encontramos

\[ \frac{d}{dt}[V] = \frac{d}{dt}\left[\frac{1}{3} \pi r^2 h\right]\text{.} \nonumber \]

A la izquierda,\(\frac{d}{dt}[V]\) es simplemente A\(\frac{dV}{dt}\text{.}\) la derecha, la situación es más complicada, ya que ambas\(r\) y\(h\) son funciones implícitas de\(t\text{.}\) De ahí necesitamos las reglas del producto y de la cadena. Encontramos que

\ begin {alinear*}\ frac {dV} {dt} &=\ frac {d} {dt}\ izquierda [\ frac {1} {3}\ pi r^2 h\ derecha]\\ [4pt] &=\ frac {1} {3}\ pi r^2\ frac {d} {dt} [h] +\ frac {1} {3}\ pi\ frac {d} {dt} [r^2]\\ [4pt] &=\ frac {1} {3}\ pi r^2\ frac {dh} {dt} {dt} +\ frac {1} {3}\ pi h 2r\ frac {dr} {dt}\ end {align*}

(Obsérvese particularmente cómo estamos utilizando las ideas de la Sección 2.7 sobre diferenciación implícita. Ahí encontramos que cuando\(y\) es una función implícita de\(x\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[y^2] = 2y \frac{dy}{dx}\text{.}\) Los mismos principios se aplican aquí cuando calculamos\(\frac{d}{dt}[r^2] = 2r \frac{dr}{dt}\text{.}\))

La ecuación

\[ \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi r^2 \frac{dh}{dt} + \frac{2}{3} \pi rh \frac{dr}{dt}\text{,} \nonumber \]

relaciona las tasas de cambio de\(V\text{,}\)\(h\text{,}\) y\(r\text{.}\)

Si se nos da suficiente información adicional, entonces podemos encontrar el valor de una o más de estas tasas de cambio en un punto específico en el tiempo.

Ejemplo 3.5.3

En el ajuste del Ejemplo 3.5.1, supongamos que también conocemos lo siguiente: (a) la arena cae del transportador de tal manera que la altura del pilote es siempre la mitad del radio, y (b) la arena cae de la cinta transportadora a una velocidad constante de 10 pies cúbicos por minuto. ¿Qué tan rápido cambia la altura de la pila de arena en el momento en que el radio es de 4 pies?

Responder

La información de que la altura es siempre la mitad del radio nos dice que para todos los valores de\(t\text{,}\)\(h = \frac{1}{2}r\text{.}\) Diferenciar con respecto a\(t\text{,}\) ello se deduce que\(\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dr}{dt}\text{.}\) Estas relaciones nos permiten\(\frac{dV}{dt}\) relacionarnos con solo una de\(r\) o\(h\text{.}\) Sustituyendo las expresiones involucrando\(r\)\(h\) y\(\frac{dr}{dt}\) para y ahora\(\frac{dh}{dt}\text{,}\) tenemos que

\[ \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} \frac{dr}{dt} + \frac{2}{3} \pi r \cdot \frac{1}{2}r \cdot \frac{dr}{dt}\text{.}\label{vCG}\tag{3.5.1} \]

Dado que la arena cae del transportador a una velocidad constante de 10 pies cúbicos por minuto, el valor de\(\frac{dV}{dt}\text{,}\) la velocidad a la que cambia el volumen de la pila de arena es\(\frac{dV}{dt} = 10\) ft\(^3\) /min. Nos interesa saber qué tan rápido está cambiando la altura de la pila en el instante en\(r = 4\text{,}\) que así lo sustituimos\(r = 4\) y\(\frac{dV}{dt} = 10\) en la Ecuación (3.5.1), para encontrar

\[ 10 = \frac{1}{3} \pi 4^2 \cdot \frac{1}{2} \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} + \frac{2}{3} \pi 4 \cdot \frac{1}{2}4 \cdot \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} = \frac{8}{3}\pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} + \frac{16}{3} \pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.} \nonumber \]

Sólo se desconoce el\(\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\) valor de. Combinamos términos similares en el lado derecho de la ecuación anterior para obtener\(10 = 8 \pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{,}\) y resolver\(\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\) para encontrar

\[ \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} = \frac{10}{8\pi} \approx 0.39789 \nonumber \]

pies por segundo. Debido a que nos interesaba lo rápido que cambiaba la altura de la pila en este instante, queremos saber\(\frac{dh}{dt}\) cuándo\(r = 4\text{.}\) Desde\(\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dr}{dt}\) para todos los valores de la\(t\text{,}\) misma sigue

\[ \left. \frac{dh}{dt} \right|_{r=4} = \frac{5}{8\pi} \approx 0.19894 \ \text{ft/min}\text{.} \nonumber \]

Obsérvese la diferencia entre las notaciones\(\frac{dr}{dt}\) y\(\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.}\) La primera representa la tasa de cambio de\(r\) con respecto\(t\) a a un valor arbitrario de\(t\text{,}\) mientras que la segunda es la tasa de cambio de\(r\) con respecto a\(t\) en un momento determinado, el momento en que \(r = 4\text{.}\)

Si hubiéramos sabido que\(h = \frac{1}{2}r\) al inicio del Ejemplo 3.5.1, podríamos haber simplificado inmediatamente nuestro trabajo escribiendo\(V\) únicamente en términos de\(r\) tener

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{1}{2}h\right) = \frac{1}{6} \pi r^3\text{.} \nonumber \]

A partir de esta última ecuación, diferenciar con respecto a\(t\) implica

\[ \frac{dV}{dt} = \frac{1}{2} \pi r^2 \frac{dr}{dt}\text{,} \nonumber \]

a partir de las cuales se pueden sacar las mismas conclusiones.

Nuestro trabajo con el problema de la pila de arena anterior es similar en muchos aspectos a nuestro enfoque en Vista previa de la Actividad 3.5.1, y estos pasos son típicos de la mayoría de los problemas de tarifas relacionados. En ciertas formas, también se asemejan al trabajo que hacemos en problemas de optimización aplicada, y aquí resumimos el enfoque principal para su consideración en problemas posteriores.

Nota 3.5.4

• Identifique las cantidades en el problema que están cambiando y elija nombres de variables claramente definidos para ellas. Dibuja una o más figuras que representen claramente la situación.
• Determinar todas las tasas de cambio que se conozcan o se den e identifique la (s) tasa (s) de cambio a encontrar.
• Encontrar una ecuación que relacione las variables cuyas tasas de cambio son conocidas con aquellas variables cuyas tasas de cambio se encuentran.
• Diferenciar implícitamente con respecto\(t\) a relacionar las tasas de cambio de las cantidades involucradas.
• Evaluar las derivadas y variables en la información relevante al instante en el que se busca una cierta tasa de cambio. Use la notación adecuada para identificar cuándo se está evaluando una derivada en un instante determinado, como\(\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.}\)

Al identificar variables y dibujar una imagen, es importante pensar en las formas dinámicas en que cambian las cantidades. A veces una secuencia de imágenes puede ser útil; para algunas imágenes que se pueden modificar fácilmente como applets construidos en Geogebra, ver los siguientes enlaces, ¹ que representan

• cómo crece el área de una mancha de petróleo circular a medida que aumenta su radio http://gvsu.edu/s/9n;
• cómo la ubicación de la base de una escalera y su altura a lo largo de una pared cambian a medida que la escalera se desliza http://gvsu.edu/s/9o;
• cómo cambia el nivel del agua en un tanque cónico a medida que se llena de agua a una velocidad constante http://gvsu.edu/s/9p (compare el problema en la Actividad 3.5.2);
• cómo cambia la sombra de un skater a medida que pasa por encima de una farola http://gvsu.edu/s/9q.

Nuevamente nos referimos a la obra del Prof. Marc Renault de la Universidad de Shippensburg, que se encuentra en http://gvsu.edu/s/5p.

Dibujar diagramas bien etiquetados e imaginar cómo cambian las diferentes partes de la figura es una parte clave para comprender los problemas relacionados con las tasas y tener éxito en resolverlos.

Actividad 3.5.2

Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido (punto hacia abajo) con una base de radio de 6 pies y una profundidad de 8 pies. Supongamos que se está bombeando agua al tanque a una velocidad instantánea constante de 4 pies cúbicos por minuto.

1. Dibuje una imagen del tanque cónico, incluyendo un boceto del nivel del agua en un momento en el que el tanque aún no está lleno. Introduce variables que midan el radio de la superficie del agua y la profundidad del agua en el tanque, y etiquétalas en tu figura.
2. Digamos que\(r\) es el radio y\(h\) la profundidad del agua en un momento dado,\(t\text{.}\) ¿Qué ecuación relaciona el radio y la altura del agua, y por qué?
3. Determinar una ecuación que relacione el volumen de agua en el tanque en el momento\(t\) con la profundidad\(h\) del agua en ese momento.
4. A través de la diferenciación, encontrar una ecuación que relacione la tasa instantánea de cambio del volumen de agua con respecto al tiempo con la tasa instantánea de cambio de la profundidad del agua en el tiempo\(t\text{.}\)
5. Encuentre la velocidad instantánea a la que el nivel del agua está aumentando cuando el agua en el tanque tiene 3 pies de profundidad.
6. Cuando el agua está subiendo más rápidamente: en\(h = 3\text{,}\)\(h = 4\text{,}\) o\(h = 5\text{?}\)

Reconocer qué relaciones geométricas son relevantes en un problema dado suele ser la clave para encontrar la función a optimizar. Por ejemplo, aunque el problema en la Actividad 3.5.2 es sobre un tanque cónico, lo más importante es que hay dos triángulos rectos similares involucrados. En otro escenario, podríamos usar el Teorema de Pitágoras para relacionar las patas del triángulo. Pero en el tanque cónico, el hecho de que el agua llene el tanque para que la relación de radio a profundidad sea constante resulta ser la relación importante. En otras situaciones en las que se involucra un ángulo cambiante, las funciones trigonométricas pueden proporcionar los medios para encontrar relaciones entre diversas partes del triángulo.

Actividad 3.5.3

Una cámara de televisión se coloca a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar a la velocidad correcta para mantener el cohete a la vista. Además, el enfoque automático de la cámara tiene que tener en cuenta la distancia creciente entre la cámara y el cohete. Suponemos que el cohete se eleva verticalmente. (Un problema similar se discute y se muestra dinámicamente en http://gvsu.edu/s/9t. Explorar el applet en el enlace te será útil para responder a las preguntas que siguen.)

1. Dibuja una figura que resuma la situación dada. ¿Qué partes de la imagen están cambiando? ¿Qué partes son constantes? Introducir variables apropiadas para representar las cantidades que están cambiando.
2. Encuentre una ecuación que relacione el ángulo de elevación de la cámara con la altura del cohete, y luego encuentre una ecuación que relacione la velocidad instantánea de cambio del ángulo de elevación de la cámara con la velocidad instantánea de cambio de la altura del cohete (donde todas las tasas de cambio son con respecto al tiempo).
3. Encuentre una ecuación que relacione la distancia entre la cámara y el cohete con la altura del cohete, así como una ecuación que relacione la velocidad instantánea de cambio de la distancia desde la cámara al cohete con la velocidad instantánea de cambio de la altura del cohete (donde todas las tasas de cambio son con respecto a tiempo).
4. Supongamos que la velocidad del cohete es de 600 pies/seg en el instante en que ha subido 3000 pies. ¿Qué tan rápido cambia en ese momento la distancia de la cámara de televisión al cohete? Si la cámara está siguiendo el cohete, ¿qué tan rápido cambia el ángulo de elevación de la cámara en ese mismo momento?
5. Si a partir de una elevación de 3000 pies en adelante el cohete continúa elevándose a 600 pies/seg, ¿la velocidad de cambio de distancia con respecto al tiempo será mayor cuando la elevación sea de 4000 pies que a 3000 pies, o menos? ¿Por qué?

Además de encontrar tasas de cambio instantáneas en determinados momentos, a menudo podemos hacer observaciones más generales sobre cómo cambiarán las tasas particulares con el tiempo. Por ejemplo, cuando un tanque cónico se está llenando de agua a un ritmo constante, parece obvio que la profundidad del agua debería aumentar más lentamente con el tiempo. Observe con qué cuidado debemos formular la relación: queremos decir que mientras la profundidad,\(h\text{,}\) del agua va en aumento, su tasa de cambio,\(\frac{dh}{dt}\text{,}\) disminuye (tanto en función como en función de\(h\)).\(t\) Hacemos esta observación resolviendo la ecuación que relaciona las diversas tasas para una tasa en particular, sin sustituir ningún valor particular por variables o tasas conocidas. Por ejemplo, en el problema del tanque cónico en la Actividad 3.5.2, establecimos que

\[ \frac{dV}{dt} = \frac{1}{16} \pi h^2 \frac{dh}{dt}\text{,} \nonumber \]

y por lo tanto

\[ \frac{dh}{dt} = \frac{16}{\pi h^2} \frac{dV}{dt}\text{.} \nonumber \]

Siempre que\(\frac{dV}{dt}\) sea constante, es inmediatamente evidente que a medida que\(h\) se hace más grande,\(\frac{dh}{dt}\) se hará más pequeño pero se mantendrá positivo. De ahí que la profundidad del agua esté aumentando a un ritmo decreciente.

Actividad 3.5.4

Como se muestra en el applet en http://gvsu.edu/s/9q, un skater que mide 6 pies de altura cabalga bajo una farola de 15 pies de altura a una velocidad constante de 3 pies por segundo. Nos interesa entender qué tan rápido está cambiando su sombra en varios momentos del tiempo.

1. Dibuja un triángulo rectángulo apropiado que represente una instantánea en el tiempo del skater, farola y su sombra. Dejar\(x\) denotar la distancia horizontal desde la base de la farola hasta el skater y\(s\) representar la longitud de su sombra. Etiquete estas cantidades, así como la altura del skater y la altura de la farola en el diagrama.
2. Observe que el skater y la farola representan segmentos de línea paralelos en el diagrama, y por lo tanto están presentes triángulos similares. Use triángulos similares para establecer una ecuación que relacione\(x\) y\(s\text{.}\)
3. Usa tu trabajo en (b) para encontrar una ecuación que relacione\(\frac{dx}{dt}\) y\(\frac{ds}{dt}\text{.}\)
4. ¿A qué ritmo aumenta la longitud de la sombra del skater en el instante en que el skater está a 8 pies de la farola?
5. A medida que aumenta la distancia del skater a la farola, ¿aumenta la longitud de su sombra a un ritmo creciente, aumenta a un ritmo decreciente o aumenta a un ritmo constante?
6. ¿Cuál se mueve más rápido: el skater o la punta de su sombra? Explique y justifique su respuesta.

En las tres primeras actividades de esta sección, brindamos instrucción guiada para construir una solución paso a paso. Para la actividad de cierre y los siguientes ejercicios, la mayor parte del trabajo detallado se deja al lector.

Actividad 3.5.5

Un diamante de beisbol es\(90'\) cuadrado. Un bateador golpea una pelota a lo largo de la tercera línea de base y corre a primera base. ¿A qué ritmo cambia la distancia entre la pelota y la primera base cuando la pelota está a mitad de camino a la tercera base, si en ese instante la pelota está viajando\(100\) pies/seg? ¿A qué ritmo cambia la distancia entre la pelota y el corredor en el mismo instante, si en el mismo instante el corredor está\(1/8\) de camino a la primera base corriendo a\(30\) pies/seg?

3.5.2 Resumen

• Cuando dos o más cantidades relacionadas están cambiando como funciones implícitas del tiempo, sus tasas de cambio pueden relacionarse diferenciando implícitamente la ecuación que relaciona las cantidades mismas. Por ejemplo, si todos los lados de un triángulo rectángulo están cambiando como funciones del tiempo, digamos que tienen longitudes\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\text{,}\) luego estas cantidades están relacionadas por el Teorema de Pitágoras:\(x^2 + y^2 = z^2\text{.}\) Se sigue diferenciando implícitamente con respecto a\(t\) que sus tasas son relacionados por la ecuación
  \[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z \frac{dz}{dt}\text{,} \nonumber \]

  para que si conocemos los valores de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\) en un momento determinado, así como dos de las tres tasas, podamos deducir el valor de la tercera.