4.1: Determinación de la distancia recorrida desde la velocidad

Preguntas Motivadoras

• Si conocemos la velocidad de un cuerpo en movimiento en cada punto de un intervalo dado, ¿podemos determinar la distancia que ha recorrido el objeto en el intervalo de tiempo?
• ¿Cómo se relaciona el problema de encontrar la distancia recorrida con encontrar el área bajo cierta curva?
• ¿Qué significa antidiferenciar una función y por qué este proceso es relevante para encontrar la distancia recorrida?
• Si la velocidad es negativa, ¿cómo afecta esto al problema de encontrar la distancia recorrida?

En la primera sección del texto, consideramos un objeto en movimiento con posición conocida en el momento\(t\text{,}\) a saber, una pelota de tenis lanzada al aire con altura\(s\) (en pies) en el tiempo\(t\) (en segundos) dada por\(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{.}\) Investigamos la velocidad promedio de la pelota en un intervalo\([a,b]\text{,}\) calculado por el cociente de diferencia\(\frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) Encontramos que podíamos determinar la velocidad instantánea de la pelota en el momento\(t\) tomando la derivada de la función de posición,

\[ s'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h)-s(t)}{h}\text{.} \nonumber \]

Así, si su función de posición es diferenciable, podemos encontrar la velocidad de un objeto en movimiento en cualquier momento.

De este estudio de posición y velocidad hemos aprendido mucho. Podemos usar la derivada para encontrar la tasa instantánea de cambio de una función en cualquier punto del dominio, para encontrar dónde está aumentando o disminuyendo la función, donde es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, y para ubicar los extremos relativos. La gran mayoría de los problemas y aplicaciones que hemos considerado han involucrado la situación en la que se conoce una función en particular y buscamos información que se base en conocer la tasa de cambio instantánea de la función. Para todas estas tareas, pasamos de una función\(f\) a su derivada,\(f'\text{,}\) y utilizamos el significado de la derivada para ayudarnos a responder preguntas importantes.

También nos hemos encontrado con la situación inversa, donde conocemos la derivada de una función,\(f'\text{,}\) e\(f\text{.}\) intentamos deducir información sobre Vamos a centrar nuestra atención en el Capítulo 4 en este problema: si conocemos la tasa instantánea de cambio de una función, ¿podemos encontrar la función en sí? Comenzamos con una pregunta más específica: si conocemos la velocidad instantánea de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta, ¿podemos encontrar su función de posición correspondiente?

Vista previa de la actividad 4.1.1

Supongamos que una persona está dando un paseo por un largo camino recto y camina a un ritmo constante de 3 millas por hora.

1. En los ejes de la izquierda proporcionados en la Figura 4.1.1, esbozar un gráfico etiquetado de la función de velocidad\(v(t) = 3\text{.}\)

1. 

   Figura 4.1.1. A la izquierda, ejes para trazar\(y = v(t)\text{;}\) a la derecha, para trazar\(y = s(t)\text{.}\)

   Tenga en cuenta que si bien la escala en los dos conjuntos de ejes es la misma, las unidades en los ejes de la derecha difieren de las de la izquierda. Se utilizarán los ejes de la derecha en la pregunta d).

2. ¿Hasta dónde viajó la persona durante las dos horas? ¿Cómo se relaciona esta distancia con el área de una determinada región bajo la gráfica de\(y = v(t)\text{?}\)
3. Encuentra una fórmula algebraica,\(s(t)\text{,}\) para la posición de la persona en el momento\(t\text{,}\) asumiendo que\(s(0) = 0\text{.}\) Explica tu pensamiento.
4. En los ejes de la derecha proporcionados en la Figura 4.1.1, esbozar una gráfica etiquetada de la función de posición\(y = s(t)\text{.}\)
5. ¿Para qué valores de\(t\) está\(s\) aumentando la función de posición? Explique por qué este es el caso usando información relevante sobre la función de velocidad\(v\text{.}\)

4.1.1 Área bajo la gráfica de la función de velocidad

En Preview Activity 4.1.1, aprendimos que cuando la velocidad de un objeto en movimiento es constante (y positiva), el área bajo la curva de velocidad a lo largo de un intervalo de tiempo nos indica la distancia que recorrió el objeto.

Figura 4.1.2. A la izquierda, una función de velocidad constante; a la derecha, una función de velocidad no constante.

El gráfico de la izquierda de la Figura 4.1.2 muestra la velocidad de un objeto que se mueve a 2 millas por hora durante el intervalo de tiempo\([1,1.5]\text{.}\) El área\(A_1\) de la región sombreada debajo de\(y = v(t)\) on\([1,1.5]\) es

\[ A_1= 2 \, \frac{\text{miles} }{\text{hour} } \cdot \frac{1}{2} \, \text{hours} = 1 \, \text{mile}\text{.} \nonumber \]

Este resultado es simplemente el hecho de que la distancia equivale a tasa por tiempo, siempre que la velocidad sea constante. Así, si\(v(t)\) es constante en el intervalo\([a,b]\text{,}\) la distancia recorrida\([a,b]\) es igual al área\(A\) dada por

\[ A = v(a) (b-a) = v(a) \Delta t\text{,} \nonumber \]

donde\(\Delta t\) es el cambio en el\(t\) intervalo. (Dado que la velocidad es constante, podemos usar cualquier valor de\(v(t)\) en el intervalo\([a,b]\text{,}\) simplemente elegimos\(v(a)\text{,}\) el valor en el punto final izquierdo del intervalo). Para ver varios ejemplos en los que la función de velocidad es constante por partes, consulte http://gvsu.edu/s/9T. ¹

Marc Renault, applets de cálculo.

La situación es más complicada cuando la función de velocidad no es constante. Pero en intervalos relativamente pequeños donde\(v(t)\) no varía mucho, podemos usar el principio de área para estimar la distancia recorrida. El gráfico de la derecha en la Figura 4.1.2 muestra una función de velocidad no constante. En el intervalo\([1,1.5]\text{,}\) la velocidad varía de\(v(1) = 2.5\) abajo a\(v(1.5) \approx 2.1\text{.}\) Una estimación para la distancia recorrida es el área del rectángulo representado,

\[ A_2 = v(1) \Delta t = 2.5 \, \frac{\text{miles} }{\text{hour} } \cdot \frac{1}{2} \, \text{hours} = 1.25 \, \text{miles}\text{.} \nonumber \]

Tenga en cuenta que debido a que\(v\)\([1,1.5]\text{,}\)\(A_2 = 1.25\) está disminuyendo es una sobreestimación de la distancia real recorrida.

Para estimar el área bajo esta función de velocidad no constante en un intervalo más amplio, digamos que\([0,3]\text{,}\) un rectángulo no dará una buena aproximación. En su lugar, podríamos usar los seis rectángulos que se muestran en la Figura 4.1.3, encontrar el área de cada rectángulo y sumar el total. Obviamente hay opciones que tomar y cuestiones que entender: ¿Cuántos rectángulos debemos usar? ¿Dónde debemos evaluar la función para decidir la altura del rectángulo? ¿Qué pasa si la velocidad a veces es negativa? ¿Podemos encontrar el área exacta bajo alguna curva no constante?

Figura 4.1.3. Usando seis rectángulos para estimar el área bajo\(y = v(t)\) on\([0,3]\text{.}\)

Estudiaremos estas preguntas y más en lo que sigue; por ahora basta observar que la simple idea del área de un rectángulo nos da una poderosa herramienta para estimar la distancia recorrida desde una función de velocidad, así como para estimar el área bajo una curva arbitraria. Para explorar el uso de múltiples rectángulos para aproximar el área bajo una función de velocidad no constante, consulte el applet que se encuentra en http://gvsu.edu/s/9U. ²

Actividad 4.1.2

Supongamos que una persona está caminando de tal manera que su velocidad varíe ligeramente de acuerdo con la información dada en la Tabla 4.1.4 y la gráfica dada en la Figura 4.1.5.

Cuadro 4.1.4. Datos de velocidad para la persona que camina.

\(t\)	\(v(t)\)
\(0.00\)	\(1.500\)
\(0.25\)	\(1.789\)
\(0.50\)	\(1.938\)
\(0.75\)	\(1.992\)
\(1.00\)	\(2.000\)
\(1.25\)	\(2.008\)
\(1.50\)	\(2.063\)
\(1.75\)	\(2.211\)
\(2.00\)	\(2.500\)

Figura 4.1.5. La gráfica de\(y = v(t)\text{.}\)

1. Usando la cuadrícula, gráfico, y datos dados apropiadamente, estimar la distancia recorrida por el andador durante el intervalo de dos horas desde\(t = 0\) hasta\(t = 2\text{.}\) Debe usar intervalos de tiempo de ancho\(\Delta t = 0.5\text{,}\) eligiendo una forma de usar la función consistentemente para determinar la altura de cada rectángulo con el fin de distancia aproximada recorrida.
2. ¿Cómo podrías obtener una mejor aproximación de la distancia recorrida en\([0,2]\text{?}\) Explique, y luego encontrar esta nueva estimación?
3. Ahora suponga que sabe que\(v\) está dado por\(v(t) = 0.5t^3-1.5t^2+1.5t+1.5\text{.}\) Recuerda que\(v\) es la derivada de la función de posición del andador,\(s\text{.}\) Encuentra una fórmula para\(s\) que\(s' = v\text{.}\)
4. Con base en su trabajo en (c), ¿cuál es el valor de\(s(2) - s(0)\text{?}\) ¿Cuál es el significado de esta cantidad?

4.1.2 Dos enfoques: área y antidiferenciación

Cuando la velocidad de un objeto en movimiento es positiva, la posición del objeto siempre va en aumento. (Pronto consideraremos situaciones donde la velocidad es negativa; por ahora, nos enfocamos en la situación en la que la velocidad siempre es positiva). Hemos establecido que siempre que\(v\) sea constante en un intervalo, la distancia exacta recorrida es el área bajo la curva de velocidad. Cuando no\(v\) es constante, podemos estimar la distancia total recorrida encontrando las áreas de rectángulos que se aproximan al área bajo la curva de velocidad.

Así, vemos que encontrar el área entre una curva y el eje horizontal es un ejercicio importante: además de ser una pregunta geométrica interesante, si la curva da la velocidad de un objeto en movimiento, el área bajo la curva nos dice la distancia exacta recorrida en un intervalo. Podemos estimar esta área si tenemos una gráfica o una tabla de valores para la función de velocidad.

En la Actividad 4.1.2, encontramos un enfoque alternativo para encontrar la distancia recorrida. Si\(y = v(t)\) es una fórmula para la velocidad instantánea de un objeto en movimiento, entonces\(v\) debe ser la derivada de la función de posición del objeto,\(s\text{.}\) Si podemos encontrar una fórmula para\(s(t)\) a partir de la fórmula para\(v(t)\text{,}\) conoceremos la posición del objeto en el momento\(t\text{,}\) y el cambio en posición durante un intervalo de tiempo determinado nos indica la distancia recorrida en ese intervalo.

Para un ejemplo sencillo, considere la situación de la Actividad Previa 4.1.1, donde una persona camina por una línea recta con función de velocidad\(v(t) = 3\) mph.

Figura 4.1.6. La función de velocidad\(v(t) = 3\) y la función de posición correspondiente\(s(t) = 3t\text{.}\)

En el gráfico de la izquierda de la función de velocidad en la Figura 4.1.6, vemos la relación entre el área y la distancia recorrida,

\[ A= 3 \, \frac{\text{miles} }{\text{hour} } \cdot 1.25 \, \text{hours} = 3.75 \, \text{miles}\text{.} \nonumber \]

Además, observamos ³ que si\(s(t) = 3t\text{,}\) entonces\(s'(t) = 3\text{,}\) así\(s(t) = 3t\) es la función de posición cuya derivada es la función de velocidad dada,\(v(t) = 3\text{.}\) Las respectivas ubicaciones de la persona a veces\(t = 0.25\) y\(t = 1.5\) son y\(s(1.5) = 4.5\)\(s(0.25) = 0.75\text{,}\) y por lo tanto

\[ s(1.5) - s(0.25) = 4.5 - 0.75 = 3.75 \ \text{miles}\text{.} \nonumber \]

Aquí estamos haciendo la suposición implícita de que\(s(0) = 0\text{;}\) discutiremos diferentes posibilidades de valores de\(s(0)\) en estudio posterior.

Este es el cambio de posición de la persona sobre el\([0.25,1.5]\text{,}\) cual es precisamente la distancia recorrida. En este ejemplo hay ideas profundas y conexiones que estudiaremos a lo largo del Capítulo 4.

Por ahora, observar que si conocemos una fórmula para una función de velocidad puede\(v\text{,}\) ser muy útil encontrar una función\(s\) que satisfaga\(s' = v\text{.}\) Decimos que\(s\) es un antiderivado de\(v\text{.}\) Más en general, tenemos la siguiente definición formal.

Definición 4.1.7

Si\(g\) y\(G\) son funciones tales que\(G' = g\text{,}\) decimos que\(G\) es un antiderivado de\(g\text{.}\)

Por ejemplo, si\(g(x) = 3x^2 + 2x\text{,}\)\(G(x) = x^3 + x^2\) es un antiderivado de\(g\text{,}\) porque\(G'(x) = g(x)\text{.}\) Tenga en cuenta que decimos “una” antiderivada de\(g\) en lugar de “la” antiderivada de\(g\text{,}\) porque también\(H(x) = x^3 + x^2 + 5\) es una función cuya derivada es\(g\text{,}\) y por lo tanto\(H\) es otra antiderivada de\(g\text{.}\)

Actividad 4.1.3

Una bola se lanza verticalmente de tal manera que su función de velocidad viene dada por\(v(t) = 32 - 32t\text{,}\) donde\(t\) se mide en segundos y\(v\) en pies por segundo. Supongamos que esta función es válida para\(0 \le t \le 2\text{.}\)

a.- ¿Para qué valores de la velocidad de la pelota\(t\) es positiva? ¿Qué te dice esto sobre el movimiento de la pelota en este intervalo de valores de tiempo?

b. Encontrar un antiderivado,\(s\text{,}\) de\(v\) que satisfaga\(s(0) = 0\text{.}\)

c. Calcular el valor de\(s(1) - s(\frac{1}{2})\text{.}\) ¿Cuál es el significado del valor que encuentras?

d. usando la gráfica de\(y = v(t)\) proporcionada en la Figura 4.1.8, encuentre el área exacta de la región bajo la curva de velocidad entre\(t = \frac{1}{2}\) y\(t = 1\text{.}\) ¿Cuál es el significado del valor que encuentra?

Figura 4.1.8. La gráfica de\(y = v(t)\text{.}\)

e. Contestar las mismas preguntas que en (c) y (d) pero en su lugar usando el intervalo\([0,1]\text{.}\)

f. cuál es el valor de\(s(2) - s(0)\text{?}\) ¿Qué te dice este resultado sobre el vuelo de la pelota? Cómo se conecta este valor a la gráfica proporcionada de\(y = v(t)\text{?}\) Explique.

4.1.3 Cuando la velocidad es negativa

La suposición de que su velocidad es positiva en un intervalo dado garantiza que el movimiento de un objeto esté siempre en una sola dirección, y por lo tanto asegura que su cambio de posición sea el mismo que la distancia que recorre. Como vimos en la Actividad 4.1.3, hay escenarios naturales en los que la velocidad de un objeto es negativa, y nos gustaría entender este escenario también.

Considera un ejemplo sencillo donde una mujer va a dar un paseo por la playa a lo largo de un tramo de costa muy recta que corre de este-oeste. Asumimos que su posición inicial es\(s(0) = 0\text{,}\) y que su función de posición aumenta a medida que se mueve hacia el este desde su ubicación inicial. Por ejemplo,\(s = 1\) milla representa una milla al este de la ubicación de inicio, mientras que nos\(s = -1\) dice que está a una milla al oeste de donde comenzó a caminar en la playa.

Ahora supongamos que camina de la siguiente manera. Desde el principio\(t = 0\text{,}\) camina hacia el este a un ritmo constante de\(3\) mph durante 1.5 horas. Después de 1.5 horas, se detiene abruptamente y comienza a caminar hacia el oeste a un ritmo constante de\(4\) mph y lo hace por 0.5 horas. Entonces, después de otra abrupta parada y arranque, vuelve a caminar a un ritmo constante de\(3\) mph hacia el este por una hora más. ¿Cuál es la distancia total que recorrió en el intervalo de tiempo desde\(t = 0\) hasta\(t = 3\text{?}\) Cuál es el cambio total en su posición a lo largo de ese tiempo?

Estas preguntas son posibles de responder sin cálculo porque la velocidad es constante en cada intervalo. De\(t = 0\) a\(t = 1.5\text{,}\) ella viajó

\[ D_{[0,1.5]} = 3 \ \text{miles per hour} \cdot 1.5 \ \text{hours} = 4.5 \ \text{miles}\text{.} \nonumber \]

\(t = 1.5\)A\(t = 2\text{,}\) la distancia recorrida es

\[ D_{[1.5,2]} = 4 \ \text{miles per hour} \cdot 0.5 \ \text{hours} = 2 \ \text{miles}\text{.} \nonumber \]

Por último, en la última hora caminó

\[ D_{[2,3]} = 3 \ \text{miles per hour} \cdot 1 \ \text{hours} = 3 \ \text{miles}\text{,} \nonumber \]

así que la distancia total que recorrió es

\[ D = D_{[0,1.5]} + D_{[1.5,2]} + D_{[2,3]} = 4.5 + 2 + 3 = 9.5 \ \text{miles}\text{.} \nonumber \]

Dado que la velocidad para\(1.5 \lt t \lt 2\)\(v = -4\text{,}\) indica movimiento en dirección oeste, la mujer primero caminó 4.5 millas al este, luego 2 millas al oeste, seguida de 3 millas más al este. Así, el cambio total en su posición es

\[ \text{change in position} = 4.5 - 2 + 3 = 5.5 \ \text{miles}\text{.} \nonumber \]

Hemos podido responder a estas preguntas con bastante facilidad, y si pensamos en el problema gráficamente, podemos generalizar nuestra solución al ajuste más complicado cuando la velocidad no es constante, y posiblemente negativa.

Figura 4.1.9. A la izquierda, la función de velocidad de la persona que camina; a la derecha, la función de posición correspondiente.

En la Figura 4.1.9, vemos cómo las distancias que calculamos pueden verse como áreas:\(A_1 = 4.5\) proviene de multiplyimg rate times time (\(3 \cdot 1.5\)), como do\(A_2\) y\(A_3\text{.}\) Pero mientras\(A_2\) es un área (y por lo tanto es positiva), debido a que la función de velocidad es negativa para\(1.5 \lt t \lt 2\text{,}\) esta área tiene una signo negativo asociado a él. El área negativa distingue entre la distancia recorrida y el cambio de posición.

La distancia recorrida es la suma de las áreas,

\[ D = A_1 + A_2 + A_3 = 4.5 + 2 + 3 = 9.5 \ \text{miles}\text{.} \nonumber \]

Pero el cambio de posición tiene que dar cuenta de los viajes en la dirección negativa. Un área por encima del\(t\) eje se considera positiva porque representa la distancia recorrida en la dirección positiva, mientras que una por debajo del\(t\) eje se ve como negativa porque representa el recorrido en la dirección negativa. Así, el cambio en la posición de la mujer es

\[ s(3) - s(0) = (+4.5) + (-2) + (+3) = 5.5 \ \text{miles}\text{.} \nonumber \]

En otras palabras, la mujer camina 4.5 millas en la dirección positiva, seguida de dos millas en la dirección negativa, y luego 3 millas más en la dirección positiva.

La velocidad negativa también se ve en la gráfica de la función de posición\(y=s(t)\text{.}\) Su pendiente es negativa (específicamente,\(-4\)) en el intervalo\(1.5\lt t\lt 2\) porque la velocidad está\(-4\) en ese intervalo. La pendiente negativa muestra que la función de posición está disminuyendo debido a que la mujer camina hacia el este, en lugar de al oeste.

Para resumir, vemos que si la velocidad es a veces negativa, un objeto en movimiento cambia de posición diferente a su distancia recorrida. Si calculamos por separado la distancia recorrida en cada intervalo donde la velocidad es positiva o negativa, podemos calcular ya sea la distancia total recorrida o el cambio total de posición. Asignamos un valor negativo a las distancias recorridas en la dirección negativa cuando calculamos el cambio de posición, pero un valor positivo cuando calculamos la distancia total recorrida.

Actividad 4.1.4

Supongamos que un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta tiene su velocidad\(v\) (en metros por segundo) en el tiempo\(t\) (en segundos) dada por la función lineal por tramos cuya gráfica se representa a la izquierda en la Figura 4.1.10. Consideramos que el movimiento hacia la derecha está en la dirección positiva (con velocidad positiva), mientras que el movimiento hacia la izquierda está en la dirección negativa.

Figura 4.1.10. La función de velocidad de un objeto en movimiento.

Supongamos además que la posición inicial del objeto en el momento\(t = 0\) es\(s(0) = 1\text{.}\)

1. Determinar la distancia total recorrida y el cambio total de posición en el intervalo de tiempo\(0 \le t \le 2\text{.}\) ¿Cuál es la posición del objeto en\(t = 2\text{?}\)
2. ¿En qué intervalos de tiempo aumenta la función de posición del objeto en movimiento? ¿Por qué? ¿En qué intervalos disminuye la posición del objeto? ¿Por qué?
3. ¿Cuál es la posición del objeto en\(t = 8\text{?}\) ¿Cuántos metros totales ha recorrido para llegar a este punto (incluyendo la distancia en ambos sentidos)? ¿Es esto diferente del cambio total de posición del objeto\(t = 0\) a\(t = 8\text{?}\)
4. Encuentre la posición exacta del objeto en\(t = 1, 2, 3, \ldots, 8\) y utilice estos datos para esbozar una gráfica precisa de\(y = s(t)\) los ejes proporcionados a la derecha en la Figura 4.1.10. ¿Cómo se puede utilizar la información proporcionada acerca de\(y = v(t)\) para determinar la concavidad de\(s\) en cada intervalo relevante?

4.1.4 Resumen

• Si conocemos la velocidad de un cuerpo en movimiento en cada punto de un intervalo dado y la velocidad es positiva en todo momento, podemos estimar la distancia recorrida del objeto y en algunas circunstancias determinar este valor exactamente.
• En particular, cuando la velocidad es positiva en un intervalo, podemos encontrar la distancia total recorrida al encontrar el área bajo la curva de velocidad y por encima del\(t\) eje en el intervalo de tiempo dado. Es posible que solo podamos estimar esta área, dependiendo de la forma de la curva de velocidad.
• Una antiderivada de una función\(f\) es una nueva función\(F\) cuya derivada es Es\(f\text{.}\) decir,\(F\) es una antiderivada de\(f\) siempre que\(F' = f\text{.}\) en el contexto de velocidad y posición, si conocemos una función de velocidad\(v\text{,}\) una antiderivada de\(v\) es una función de posición\(s\) que satisface\(s' = v\text{.}\) Si\(v\) es positivo en un intervalo dado, digamos\([a,b]\text{,}\) entonces el cambio de posición,\(s(b) - s(a)\text{,}\) mide la distancia en la que viajó el objeto en movimiento\([a,b]\text{.}\)
• Si su velocidad a veces es negativa, un objeto en movimiento a veces viaja en la dirección opuesta o retrocede. Para determinar la distancia recorrida, tenemos que calcular la distancia por separado en intervalos donde la velocidad es positiva o negativa, y tener en cuenta el cambio de posición en cada intervalo de este tipo.