4.2: Sumas de Riemann

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo podemos usar una suma de Riemann para estimar el área entre una curva dada y el eje horizontal en un intervalo determinado?
• ¿Cuáles son las diferencias entre las sumas de Riemann izquierda, derecha, media y aleatoria?
• ¿Cómo podemos escribir sumas de Riemann en forma abreviada?

En la Sección 4.1, aprendimos que si un objeto se mueve con velocidad positiva,\(v\text{,}\) el área entre\(y = v(t)\) y el\(t\) eje en un intervalo de tiempo dado nos indica la distancia recorrida por el objeto durante ese período de tiempo. Si a veces\(v(t)\) es negativo y vemos que el área de cualquier región debajo del\(t\) eje -eje tiene un signo negativo asociado, entonces la suma de estas áreas firmadas nos indica el cambio de posición del objeto en movimiento durante un intervalo de tiempo determinado.

Por ejemplo, para la función de velocidad dada en la Figura 4.2.1, si las áreas de las regiones sombreadas son\(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\) y\(A_3\) como están etiquetadas, entonces la distancia total\(D\) recorrida por el objeto en movimiento\([a,b]\) es

\[ D = A_1 + A_2 + A_3\text{,} \nonumber \]

mientras que el cambio total en la posición del objeto\([a,b]\) es

\[ s(b) - s(a) = A_1 - A_2 + A_3\text{.} \nonumber \]

Figura 4.2.1. Una función de velocidad que a veces es negativa.

Porque el movimiento está en la dirección negativa en el intervalo donde\(v(t) \lt 0\text{,}\) restamos\(A_2\) para determinar el cambio total de posición del objeto.

Por supuesto, encontrar\(D\) y\(s(b)-s(a)\) para la gráfica en la Figura 4.2.1 presume que realmente podemos encontrar las áreas\(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\) y hasta\(A_3\text{.}\) ahora, hemos trabajado con funciones de velocidad que eran constantes o lineales, de modo que el área delimitada por la función de velocidad y la horizontal axis es una combinación de rectángulos y triángulos, y podemos encontrar el área exactamente. Pero cuando la curva delimita una región que no es una forma geométrica familiar, no podemos encontrar su área exactamente. En efecto, este es uno de nuestros mayores objetivos en el Capítulo 4: aprender a encontrar el área exacta delimitada entre una curva y el eje horizontal para tantos tipos diferentes de funciones como sea posible.

En la Actividad 4.1.2, aproximamos el área bajo una función de velocidad no lineal usando rectángulos. En la siguiente actividad de vista previa, consideramos tres opciones diferentes para las alturas de los rectángulos que usaremos.

Vista previa de la actividad 4.2.1

Una persona que camina por un camino recto tiene su velocidad en millas por hora en el tiempo\(t\) dado por la función\(v(t) = 0.25t^3-1.5t^2+3t+0.25\text{,}\) para los tiempos en el intervalo\(0 \le t \le 2\text{.}\) La gráfica de esta función también se da en cada uno de los tres diagramas de la Figura 4.2.2.

Figura 4.2.2. Tres enfoques para estimar el área bajo\(y = v(t)\) en el intervalo\([0,2]\text{.}\)

Tenga en cuenta que en cada diagrama, utilizamos cuatro rectángulos para estimar el área bajo\(y = v(t)\) en el intervalo,\([0,2]\text{,}\) pero el método por el cual se deciden las alturas respectivas de los cuatro rectángulos varía entre las tres gráficas individuales.

1. ¿Cómo se eligen las alturas de los rectángulos en el diagrama más a la izquierda? Explicar, y por lo tanto determinar el valor de
   \[ S = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \nonumber \]

   evaluando la función\(y = v(t)\) a valores apropiadamente elegidos y observando el ancho de cada rectángulo. Obsérvese, por ejemplo, que

   \[ A_3 = v(1) \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\text{.} \nonumber \]
2. Explica cómo se eligen las alturas de los rectángulos en el diagrama medio y encuentra el valor de
   \[ T = B_1 + B_2 + B_3 + B_4\text{.} \nonumber \]
3. Asimismo, determinar el patrón de cómo se eligen las alturas de los rectángulos en el diagrama más a la derecha y determinar
   \[ U = C_1 + C_2 + C_3 + C_4\text{.} \nonumber \]
4. De las estimaciones\(S\text{,}\)\(T\text{,}\) y\(U\text{,}\) cuál crees que es la mejor aproximación de la distancia total en\(D\text{,}\) la que viajó la persona\([0,2]\text{?}\) ¿Por qué?

4.2.1 Notación Sigma

Hemos utilizado sumas de áreas de rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Intuitivamente, esperamos que el uso de un mayor número de rectángulos más delgados proporcione una mejor estimación para el área. En consecuencia, anticipamos tratar con sumas de un gran número de términos. Para ello, introducimos la notación sigma, llamada así por la letra griega\(\Sigma\text{,}\) que es la letra mayúscula\(S\) en el alfabeto griego.

Por ejemplo, digamos que nos interesa la suma

\[ 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\text{,} \nonumber \]

la suma de los primeros 100 números naturales. En notación sigma escribimos

\[ \sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\text{.} \nonumber \]

Leemos el símbolo\(\sum_{k=1}^{100} k\) como “la suma de\(k\) igual a 1 a 100 de\(k\text{.}\)” La variable\(k\) se llama el índice de suma, y cualquier letra puede ser utilizada para esta variable. El patrón en los términos de la suma se denota por una función del índice; por ejemplo,

\[ \sum_{k=1}^{10} (k^2 + 2k) = (1^2 + 2\cdot 1) + (2^2 + 2\cdot 2) + (3^2 + 2\cdot 3) + \cdots + (10^2 + 2\cdot 10)\text{,} \nonumber \]

y de manera más general,

\[ \sum_{k=1}^n f(k) = f(1) + f(2) + \cdots + f(n)\text{.} \nonumber \]

La notación sigma nos permite variar fácilmente la función que se está utilizando para describir los términos en la suma, y ajustar el número de términos en la suma simplemente cambiando el valor de\(n\text{.}\) Probamos nuestra comprensión de esta nueva notación en la siguiente actividad.

Actividad 4.2.2

Por cada suma escrita en notación sigma, escriba la suma long-hand y evalúe la suma para encontrar su valor. Por cada suma escrita en forma expandida, escriba la suma en notación sigma.

1. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (k^2 + 2)\)
2. \(\displaystyle \sum_{i=3}^{6} (2i-1)\)
3. \(\displaystyle 3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 27\)
4. \(\displaystyle 4 + 8 + 16 + 32 + \cdots + 256\)
5. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{6} \frac{1}{2^i}\)

4.2.2 Sumas de Riemann

Cuando un cuerpo en movimiento tiene una función de velocidad positiva\(y = v(t)\) en un intervalo dado\([a,b]\text{,}\) el área bajo la curva sobre el intervalo da la distancia total en la que viaja el cuerpo También\([a,b]\text{.}\) estamos interesados en encontrar el área exacta delimitada por\(y = f(x)\) en un intervalo\([a,b]\text{,}\) independientemente de la significado o contexto de la función\(f\text{.}\) Por ahora, seguimos enfocándonos en encontrar una estimación precisa de esta área mediante el uso de una suma de las áreas de rectángulos. A menos que se indique lo contrario, asumimos que\(f\) es continuo y no negativo en\([a,b]\text{.}\)

La primera elección que hacemos en tal aproximación es el número de rectángulos.

Figura 4.2.3. Subdividir el intervalo\([a,b]\) en\(n\) subintervalos de igual longitud\(\Delta x\text{.}\)

Si deseamos\(n\) rectángulos de igual ancho para subdividir el intervalo\([a,b]\text{,}\) entonces cada rectángulo debe tener ancho\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}\) Dejamos\(x_0 = a\text{,}\)\(x_n = b\text{,}\) y definimos de\(x_{i} = a + i\Delta x\text{,}\) manera que\(x_1 = x_0 + \Delta x\text{,}\)\(x_2 = x_0 + 2 \Delta x\text{,}\) y así sucesivamente, como se muestra en la Figura 4.2.3.

Usamos cada subintervalo\([x_i, x_{i+1}]\) como base de un rectángulo, y a continuación elegimos la altura del rectángulo en ese subintervalo. Hay tres opciones estándar: podemos usar el punto final izquierdo de cada subintervalo, el punto final derecho de cada subintervalo, o el punto medio de cada uno. Estas son precisamente las opciones que se encuentran en la Vista previa de la Actividad 4.2.1 y se ven en la Figura 4.2.2. A continuación exploramos cómo se pueden describir estas elecciones en notación sigma.

Considere una función positiva arbitraria\(f\) encendida\([a,b]\) con el intervalo subdividido como se muestra en la Figura 4.2.3, y elija usar extremos izquierdos. Luego en cada intervalo\([x_{i}, x_{i+1}]\text{,}\) el área del rectángulo formado viene dada por

\[ A_{i+1} = f(x_i) \cdot \Delta x\text{,} \nonumber \]

como se ve en la Figura 4.2.4.

Figura 4.2.4. Subdividiendo el intervalo\([a,b]\) en\(n\) subintervalos de igual longitud\(\Delta x\) y aproximando el área debajo\(y = f(x)\) sobre\([a,b]\) usando rectángulos izquierdos.

Si dejamos\(L_n\) denotar la suma de las áreas de estos rectángulos, vemos que

\ begin {align*} L_n =\ mathstrut & A_1 + A_2 +\ cdots + A_ {i+1} +\ cdots + a_n\\ [4pt] =\ mathstrut & f (x_0)\ cdot\ Delta x + f (x_1)\ cdot\ Delta x +\ cdots + f (x_i)\ cdot\ Delta x +\ cdots + f (x_ {n-1})\ cdot\ Delta x\ texto {.} \ end {alinear*}

En la notación sigma más compacta, tenemos

\[ L_n = \sum_{i = 0}^{n-1} f(x_i) \Delta x\text{.} \nonumber \]

Obsérvese que dado que el índice de suma comienza en\(0\) y termina en sí\(n-1\text{,}\) hay\(n\) términos en esta suma. Llamamos a\(L_n\) la suma de Riemann izquierda para la función\(f\) en el intervalo\([a,b]\text{.}\)

Para ver cómo se construyen las sumas de Riemann para los puntos finales y medios correctos, consideramos la Figura 4.2.5.

Figura 4.2.5. Riemann suma usando puntos finales y medios derechos.

Para la suma con extremos derechos, vemos que el área del rectángulo en un intervalo arbitrario\([x_i, x_{i+1}]\) viene dada por\(B_{i+1} = f(x_{i+1}) \cdot \Delta x\text{,}\) y que la suma de todas esas áreas de rectángulos viene dada por

\ begin {alinear*} R_n =\ mathstrut & B_1 + B_2 +\ cdots + B_ {i+1} +\ cdots + B_n\\ [4pt] =\ mathstrut & f (x_1)\ cdot\ Delta x + f (x_2)\ cdot\ Delta x +\ cdots + f (x_ {i+1})\ cdot\ Delta x +\ cdots + f (x_ {n})\ cdot\ Delta x\\ [4pt] =\ mathstrut &\ sum_ {i=1} ^ {n} f (x_i)\ Delta x\ texto {.} \ end {alinear*}

Llamamos a\(R_n\) la suma correcta de Riemann para la función\(f\) en el intervalo\([a,b]\text{.}\)

Para la suma que usa puntos medios, introducimos la notación

\[ \overline{x}_{i+1} = \frac{x_{i} + x_{i+1}}{2} \nonumber \]

así que ese\(\overline{x}_{i+1}\) es el punto medio del intervalo\([x_i, x_{i+1}]\text{.}\) Por ejemplo, para el rectángulo con área\(C_1\) en la Figura 4.2.5, ahora tenemos

\[ C_1 = f(\overline{x}_1) \cdot \Delta x\text{.} \nonumber \]

Por lo tanto, la suma de todas las áreas de rectángulos que utilizan puntos medios es

\ begin {alinear*} m_n =\ mathstrut & C_1 + C_2 +\ cdots + C_ {i+1} +\ cdots + C_n\\ [4pt] =\ mathstrut & f (\ overline {x_1})\ cdot\ Delta x + f (\ overline {x_2})\ cdot\ Delta x +\ cdots + f (\ overline {x_2})\ cdot\ Delta +\ cdots + f (\ overline {x_2})\ cdot\ Delta + x} _ {i+1})\ cdot\ Delta x +\ cdots + f (\ overline {x} _ {n})\ cdot\ Delta x\\ [4pt] =\ mathstrut &\ sum_ {i=1} ^ {n} f (\ overline {x} _i)\ Delta x\ text {,}\ end {align*}

y decimos que\(M_n\) es la suma media de Riemann para\(f\) on\([a,b]\text{.}\)

Así, tenemos dos variables para explorar: el número de rectángulos y la altura de cada rectángulo. Podemos explorar estas opciones dinámicamente, y el applet ¹ que se encuentra en http://gvsu.edu/s/a9 es particularmente útil. Ahí vemos la imagen mostrada en la Figura 4.2.6, pero con la oportunidad de ajustar las barras deslizadoras para las alturas y el número de rectángulos.

Marc Renault, Applets de Cálculo Geogebra.

Figura 4.2.6. Una instantánea del applet que se encuentra en http://gvsu.edu/s/a9.

Al mover los deslizadores, podemos ver cómo cambian las alturas de los rectángulos al considerar los puntos finales izquierdos, medios y extremos derechos, así como el impacto que un mayor número de rectángulos más estrechos tiene en la aproximación del área exacta delimitada por la función y el eje horizontal.

Cuando\(f(x) \ge 0\) en\([a,b]\text{,}\) cada una de las sumas de Riemann\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) y\(M_n\) proporciona una estimación del área bajo la curva\(y = f(x)\) sobre el intervalo\([a,b]\text{.}\) También recordamos que en el contexto de una función de velocidad no negativa\(y = v(t)\text{,}\) las sumas correspondientes de Riemann aproximan la distancia recorrida\([a,b]\) por un objeto en movimiento con función de velocidad\(v\text{.}\)

Hay una manera más general de pensar en las sumas de Riemann, y es permitir cualquier elección de dónde se evalúa la función para determinar las alturas de los rectángulos. En lugar de decir que siempre elegiremos puntos finales izquierdos, o siempre elegiremos puntos medios, simplemente decimos que se\(x_{i+1}^*\) seleccionará un punto al azar en el intervalo\([x_i, x_{i+1}]\) (así que eso\(x_i \le x_{i+1}^* \le x_{i+1}\)). La suma de Riemann es dada entonces por

\[ f(x_1^*) \cdot \Delta x + f(x_2^*) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_{i+1}^*) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_n^*) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{.} \nonumber \]

En http://gvsu.edu/s/a9, el applet anotado anteriormente y referenciado en la Figura 4.2.6, desmarcando la casilla “relativo” en la parte superior izquierda, y en su lugar marcando “random”, podemos explorar fácilmente el efecto de usar ubicaciones de puntos aleatorios en subintervalos en una suma de Riemann. En la práctica computacional, la mayoría de las veces usamos\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) o\(M_n\text{,}\) mientras la suma aleatoria de Riemann es útil en las discusiones teóricas. En la siguiente actividad, investigamos varias sumas diferentes de Riemann para una función de velocidad particular.

Actividad 4.2.3

Supongamos que un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta tiene su velocidad en pies por segundo en\(t\) el tiempo en segundos dada por\(v(t) = \frac{2}{9}(t-3)^2 + 2\text{.}\)

1. Esboce cuidadosamente la región cuya área exacta le indicará el valor de la distancia recorrida por el objeto en el intervalo de tiempo\(2 \le t \le 5\text{.}\)
2. Estimar la distancia recorrida\([2,5]\) por computación\(L_4\text{,}\)\(R_4\text{,}\) y\(M_4\text{.}\)
3. Hace promediar\(L_4\) y\(R_4\) dar como resultado el mismo valor que\(M_4\text{?}\) Si no, ¿cuál opina el promedio de\(L_4\) y\(R_4\) mide?
4. Para esta pregunta, piense en una función arbitraria\(f\text{,}\) más que en la función particular\(v\) dada anteriormente. Si\(f\) es positivo y aumentando\([a,b]\text{,}\)\(L_n\) sobreestimará o subestimará el área exacta debajo\(f\) de\([a,b]\text{?}\) Will\(R_n\) sobre-o subestimará el área exacta debajo\(f\) de\([a,b]\text{?}\) Explique.

4.2.3 Cuando la función es a veces negativa

Por una suma de Riemann como

\[ L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x\text{,} \nonumber \]

podemos, por supuesto, calcular la suma incluso cuando\(f\) toma valores negativos. Sabemos que cuando\(f\) es positivo en\([a,b]\text{,}\) una suma de Riemann estima el área delimitada entre\(f\) y el eje horizontal a lo largo del intervalo.

Figura 4.2.7. A la izquierda y al centro, dos sumas de Riemann izquierdas para una función\(f\) que a veces es negativa; a la derecha, las áreas delimitadas por\(f\) en el intervalo\([a,d]\text{.}\)

Para la función representada en la primera gráfica de la Figura 4.2.7, se muestra una suma de Riemann izquierda con 12 subintervalos superiores\([a,d]\). La función es negativa en el intervalo\(b \le x \le c\text{,}\) por lo que en los cuatro extremos izquierdos que caen en\([b,c]\text{,}\) los términos\(f(x_i) \Delta x\) son negativos. Esto significa que esos cuatro términos en la suma de Riemann producen una estimación de lo contrario del área delimitada por\(y = f(x)\) y el\(x\) eje -en\([b,c]\text{.}\)

En la gráfica media de la Figura 4.2.7, vemos que al aumentar el número de rectángulos la aproximación del área (o lo contrario del área) delimitada por la curva parece mejorar.

En general, cualquier suma de Riemann de una función continua\(f\) en un intervalo\([a,b]\) se aproxima a la diferencia entre el área que se encuentra por encima del eje horizontal sobre\([a,b]\) y debajo\(f\) y el área que se encuentra debajo del eje horizontal sobre\([a,b]\) y por encima\(f\text{.}\) En la notación de Figura 4.2.7, podemos decir que

\[ L_{24} \approx A_1 - A_2 + A_3\text{,} \nonumber \]

donde\(L_{24}\) está la suma de Riemann izquierda usando 24 subintervalos mostrados en la gráfica del medio. \(A_1\)y\(A_3\) son las zonas de las regiones donde\(f\) es positiva, y\(A_2\) es la zona donde\(f\) es negativa. Llamaremos a la cantidad\(A_1 - A_2 + A_3\) el área neta firmada delimitada por\(f\) sobre el intervalo\([a,d]\text{,}\) donde por la frase “área firmada” indicamos que estamos adjuntando un signo menos a las áreas de regiones que caen por debajo del eje horizontal.

Finalmente, recordamos que si la función\(f\) representa la velocidad de un objeto en movimiento, la suma de las áreas delimitadas por la curva nos indica la distancia total recorrida en el intervalo de tiempo relevante, mientras que el área señalizada neta delimitada por la curva calcula el cambio de posición del objeto en el intervalo.

Actividad 4.2.4

Supongamos que un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta tiene su velocidad\(v\) (en pies por segundo) en el tiempo\(t\) (en segundos) dada por

\[ v(t) = \frac{1}{2}t^2 - 3t + \frac{7}{2}\text{.} \nonumber \]

1. Calcular\(M_5\text{,}\) la suma de Riemann media, para\(v\) en el intervalo de tiempo\([1,5]\text{.}\) Asegúrese de identificar claramente el valor de así\(\Delta t\) como las ubicaciones de\(t_0\text{,}\)\(t_1\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(t_5\text{.}\) Además, proporcionar un boceto cuidadoso de la función y los rectángulos correspondientes que están siendo utilizados en la suma.
2. Sobre la base de su trabajo en (a), estime el cambio total en la posición del objeto en el intervalo\([1,5]\text{.}\)
3. Sobre la base de su trabajo en (a) y (b), estime la distancia total recorrida por el objeto en\([1,5]\text{.}\)
4. Utilizar la tecnología informática adecuada ² para calcular\(M_{10}\) y\(M_{20}\text{.}\) ¿Qué valor exacto crees que la suma media finalmente se acerca a medida que\(n\) aumenta sin límite? ¿Qué representa ese número en el contexto físico del problema general?

Por ejemplo, considere el applet en http://gvsu.edu/s/a9 y cambie la función y ajuste las ubicaciones de los puntos azules que representan los puntos finales del intervalo\(a\) y\(b\text{.}\)

4.2.4 Resumen

• Una suma de Riemann es simplemente una suma de productos de la forma\(f(x_i^*) \Delta x\) que estima el área entre una función positiva y el eje horizontal sobre un intervalo dado. Si la función a veces es negativa en el intervalo, la suma de Riemann estima la diferencia entre las áreas que se encuentran por encima del eje horizontal y las que se encuentran debajo del eje.
• Los tres tipos más comunes de sumas de Riemann son las sumas de izquierda, derecha y media, pero también podemos trabajar con una suma de Riemann más general. La única diferencia entre estas sumas es la ubicación del punto en el que se evalúa la función para determinar la altura del rectángulo cuya área se está calculando. Para una suma de Riemann izquierda, evaluamos la función en el punto final izquierdo de cada subintervalo, mientras que para las sumas derecha y media, usamos puntos finales y medios derechos, respectivamente.
• Se denotan las sumas de Riemann izquierda, derecha y media\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) y\(M_n\text{,}\) con fórmulas
  \ begin {align*} L_n = f (x_0)\ Delta x + f (x_1)\ Delta x +\ cdots + f (x_ {n-1})\ Delta x &=\ suma_ {i = 0} ^ {n-1} f (x_i)\ Delta x,\\ [4pt] R_n = f (x_1)\ Delta x + f (_2)\ Delta x +\ cdots + f (x_ {n})\ Delta x &=\ suma_ {i = 1} ^ {n} f (x_i)\ Delta x,\\ [4pt] m_n = f (\ overline {x} _1)\ Delta x + f (\ overline {x} _2)\ Delta x +\ cdots + f (\ overline {x} _ {n})\ Delta x &=\ suma_ {i = 1} ^ {n} f (\ overline {x} _i)\ Delta x\ text {,}\ end {align*}

  donde\(x_0 = a\text{,}\)\(x_i = a + i\Delta x\text{,}\) y\(x_n = b\text{,}\) usando\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}\) Para la suma del punto medio,\(\overline{x}_{i} = (x_{i-1} + x_i)/2\text{.}\)