7.1: Una introducción a las ecuaciones diferenciales

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una ecuación diferencial y qué tipo de información puede decirnos?
• ¿Cómo surgen las ecuaciones diferenciales en el mundo que nos rodea?
• ¿Qué entendemos por una solución a una ecuación diferencial?

En capítulos anteriores, hemos visto que la derivada de una función nos dice la velocidad a la que la función está cambiando. El Teorema Fundamental del Cálculo nos ayudó a determinar el cambio total de una función a lo largo de un intervalo a partir de la tasa de cambio de la función. Por ejemplo, la velocidad de un objeto nos dice la velocidad de cambio de la posición de ese objeto. Al integrar la velocidad en un intervalo de tiempo, podemos determinar cuánto cambia la posición durante ese intervalo de tiempo. Si sabemos dónde está el objeto al inicio de ese intervalo, tenemos suficiente información para predecir dónde estará al final del intervalo.

En este capítulo, se introduce el concepto de ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación que proporciona una descripción de la derivada de una función, lo que significa que nos dice la tasa de cambio de la función. Usando esta información, nos gustaría aprender lo más posible sobre la función en sí. Idealmente nos gustaría tener una descripción algebraica de la función. Como veremos, esto puede ser demasiado pedir en algunas situaciones, pero aún así podremos hacer aproximaciones precisas.

Vista previa de la actividad 7.1.1

La posición de un objeto en movimiento viene dada por la función\(s(t)\text{,}\) donde\(s\) se mide en pies y\(t\) en segundos. Determinamos que la velocidad es de\(v(t) = 4t + 1\) pies por segundo.

1. ¿Cuánto cambia la posición a lo largo del intervalo de tiempo?\([0,4]\text{?}\)
2. ¿Esto te da suficiente información para determinar\(s(4)\text{,}\) el puesto en el momento?\(t=4\text{?}\) Si es así, qué es\(s(4)\text{?}\) De no ser así, qué información adicional necesitarías saber para determinar\(s(4)\text{?}\)
3. Supongamos que le dicen que la posición inicial del objeto\(s(0) = 7\text{.}\) Determina\(s(2)\text{,}\) la posición del objeto 2 segundos después.
4. Si se le dice en cambio que la posición inicial del objeto es\(s(0) = 3\text{,}\) lo que es\(s(2)\text{?}\)
5. Si sólo conocemos la velocidad\(v(t)=4t+1\text{,}\) es posible que la posición del objeto en todo momento sea\(s(t) = 2t^2 + t - 4\text{?}\) Explicar cómo se sabe.
6. ¿Hay otras posibilidades para\(s(t)\text{?}\) Si es así, qué son?
7. Si, además de conocer la función de velocidad es\(v(t) = 4t+1\text{,}\) conocemos la posición inicial\(s(0)\text{,}\) cuantas posibilidades hay para\(s(t)\text{?}\)

7.1.1 ¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una ecuación que describe la derivada, o derivadas, de una función que nos es desconocida. Por ejemplo, la ecuación

\[ \frac{dy}{dx} = x\sin x \nonumber \]

describe la derivada de una función\(y(x)\) que nos es desconocida.

Como muchos ejemplos importantes de ecuaciones diferenciales involucran cantidades que cambian en el tiempo, la variable independiente en nuestra discusión será frecuentemente el tiempo\(t\text{.}\) En la actividad de vista previa, consideramos la ecuación diferencial

\[ \frac{ds}{dt} = 4t + 1\text{.} \nonumber \]

Conociendo la velocidad y la posición inicial de un objeto en movimiento, pudimos encontrar su posición en cualquier momento posterior.

Debido a que las ecuaciones diferenciales describen la derivada de una función, nos dan información sobre cómo cambia esa función. Nuestro objetivo será utilizar esta información para predecir el valor de la función en el futuro; de esta manera, las ecuaciones diferenciales nos proporcionan algo así como una bola de cristal.

Las ecuaciones diferenciales surgen frecuentemente en nuestro mundo cotidiano. Por ejemplo, es posible que escuche una publicidad bancaria:

Tu dinero crecerá a una tasa de interés anual del 3% con nosotros.

Esta afirmación inocua es realmente una ecuación diferencial. Vamos a traducir:\(A(t)\) será cantidad de dinero que tengas en tu cuenta en\(t\text{.}\) el momento La tasa a la que tu dinero crece es la derivada\(dA/dt\text{,}\) y nos dicen que esta tasa es\(0.03 A\text{.}\) Esto lleva a la ecuación diferencial

\[ \frac{dA}{dt} = 0.03 A\text{.} \nonumber \]

Esta ecuación diferencial tiene una sensación ligeramente diferente a la ecuación anterior\(\frac{ds}{dt} = 4t+1\text{.}\) En el ejemplo anterior, la tasa de cambio depende únicamente de la variable independiente\(t\text{,}\) y podemos encontrar\(s(t)\) integrando la velocidad\(4t+1\text{.}\) En el ejemplo bancario, sin embargo, la tasa de cambio depende de la variable dependiente\(A\text{,}\) por lo que necesitaremos algunas técnicas nuevas para encontrar\(A(t)\text{.}\)

Actividad 7.1.2

Expresar las siguientes declaraciones como ecuaciones diferenciales. En cada caso, deberá introducir notación para describir las cantidades importantes en la declaración así que asegúrese de indicar claramente lo que significa su notación.

1. La población de un pueblo crece continuamente a una tasa anual de 1.25%.
2. Una muestra radiactiva pierde masa a una tasa de 5.6% de su masa todos los días.
3. Tienes una cuenta bancaria que continuamente gana 4% de intereses cada año. Al mismo tiempo, retiras dinero continuamente de la cuenta a razón de 1000 dólares anuales.
4. Una taza de chocolate caliente está sentada en una\(^\circ\) habitación de 70. La temperatura del chocolate caliente se enfría continuamente en un 10% de la diferencia entre la temperatura del chocolate caliente y la temperatura ambiente cada minuto.
5. Una lata de refresco frío está sentada en una\(^\circ\) habitación de 70. La temperatura del refresco se calienta continuamente a razón del 10% de la diferencia entre la temperatura del refresco y la temperatura de la habitación cada minuto.

7.1.2 Ecuaciones diferenciales en el mundo que nos rodea

Las ecuaciones diferenciales dan una forma natural de describir fenómenos que vemos en el mundo real. Por ejemplo, los principios físicos se expresan frecuentemente como una descripción de cómo cambia una cantidad. Un buen ejemplo es la Segunda Ley de Newton, que dice:

El producto de la masa y aceleración de un objeto es igual a la fuerza que se le aplica.

Por ejemplo, cuando la gravedad actúa sobre un objeto cerca de la superficie terrestre, ejerce una fuerza igual a\(mg\text{,}\) la masa del objeto multiplicada por la constante gravitacional. Por lo tanto,\(g\text{.}\) tenemos

\ begin {align*} ma =\ mathstrut & mg,\\ text {o}\\ [4pt]\ frac {dv} {dt} =\ mathstrut & g\ text {,}\ end {align*}

donde\(v\) es la velocidad del objeto, y\(g = 9.8\) metros por segundo al cuadrado. Observe que este principio físico no nos dice cuál es la velocidad del objeto, sino cómo cambia la velocidad del objeto.

Actividad 7.1.3

A continuación se muestran dos gráficos que representan la velocidad de los objetos que caen. A la izquierda está la velocidad de un paracaidista, mientras que a la derecha está la velocidad de un meteorito que ingresa a la atmósfera terrestre.

Figura 7.1.1. La velocidad de un paracaidista.

Figura 7.1.2. La velocidad de un meteorito.

a. comience con la velocidad del paracaidista y use la gráfica dada para medir la tasa de cambio\(dv/dt\) cuando la velocidad es\(v=0.5, 1.0, 1.5, 2.0\text{,}\) y\(2.5\text{.}\) Trazar sus valores en la gráfica de abajo. Querrás pensar detenidamente sobre esto: estás trazando la derivada\(dv/dt\) en función de la velocidad.

b. ahora haz lo mismo con la velocidad del meteorito: usa la gráfica dada para medir la tasa de cambio\(dv/dt\) cuando la velocidad es\(v=3.5,4.0,4.5\text{,}\) y traza\(5.0\text{.}\) tus valores en la gráfica de arriba.

c. Debes encontrar que todos tus puntos se encuentran en una línea. Escribe la ecuación de esta línea teniendo cuidado de usar la notación adecuada para las cantidades en los ejes horizontal y vertical.

d. La relación que acabas de encontrar es una ecuación diferencial. Escribe una oración completa que explique su significado.

e. Al observar la ecuación diferencial, determinar los valores de la velocidad para la cual aumenta la velocidad.

f. observando la ecuación diferencial, determinar los valores de la velocidad para la cual disminuye la velocidad.

g. Al observar la ecuación diferencial, determinar los valores de la velocidad para la cual la velocidad permanece constante.

El objetivo de esta actividad es demostrar cómo las ecuaciones diferenciales modelan los procesos en el mundo real. En este ejemplo, dos factores influyen en las velocidades: la gravedad y la resistencia al viento. La ecuación diferencial describe cómo estos factores influyen en la tasa de cambio de las velocidades.

7.1.3 Resolver una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial describe la derivada, o derivadas, de una función que nos es desconocida. Por una solución a una ecuación diferencial, nos referimos simplemente a una función que saciza esta descripción.

Por ejemplo, la primera ecuación diferencial que vimos es

\[ \frac{ds}{dt} = 4t+1\text{,} \nonumber \]

que describe una función desconocida\(s(t)\text{.}\) Podemos verificar que\(s(t) = 2t^2+t\) sea una solución porque satisface esta descripción. Observe que también\(s(t) = 2t^2+t+4\) es una solución.

Si tenemos un candidato para una solución, es sencillo verificar si es una solución o no. Antes de demostrarnos, sin embargo, consideremos el mismo tema en un contexto más sencillo. Supongamos que se nos da la ecuación\(2x^2 - 2x = 2x+6\) y se nos pregunta si\(x=3\) es una solución. Para responder a esta pregunta, podríamos reescribir la variable\(x\) en la ecuación con el símbolo\(\Box\text{:}\)

\[ 2\Box^2 - 2\Box = 2\Box + 6\text{.} \nonumber \]

Para determinar si\(x=3\) es una solución, podemos investigar el valor de cada lado de la ecuación por separado cuando\(3\) se coloca el valor\(\Box\) y ver si efectivamente los dos valores resultantes son iguales. Al hacerlo, observamos que

\[ 2\Box^2 - 2\Box = 2\cdot3^2 - 2\cdot3 = 12\text{,} \nonumber \]

y

\[ 2\Box + 6 = 2\cdot3 + 6 = 12\text{.} \nonumber \]

Por lo tanto,\(x=3\) es efectivamente una solución.

Haremos lo mismo con las ecuaciones diferenciales. Considerar la ecuación diferencial

\ begin {align*}\ frac {dv} {dt} =\ mathstrut & 1.5 - 0.5v,\\ text {o}\\ [4pt]\ frac {d\ Box} {dt} =\ mathstrut & 1.5 - 0.5\ Box\ text {.} \ end {alinear*}

Preguntemos si\(v(t) = 3 - 2e^{-0.5t}\) es una solución ¹. Usando esta fórmula para\(v\text{,}\) observar primero que

\[ \frac{dv}{dt} = \frac{d\Box}{dt} = \frac{d}{dt}[3 - 2e^{-0.5t}] = -2e^{-0.5t} \cdot (-0.5) = e^{-0.5t} \nonumber \]

y

\[ 1.5 - 0.5v = 1.5 - 0.5\Box= 1.5 - 0.5(3 - 2e^{-0.5t}) = 1.5 - 1.5 + e^{-0.5t} = e^{-0.5t}\text{.} \nonumber \]

En este momento, no te preocupes por qué elegimos esta función; pronto aprenderemos técnicas para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales.

Desde\(\frac{dv}{dt}\) y de\(1.5 - 0.5v\) acuerdo para todos los valores de\(t\) cuando efectivamente\(v = 3-2e^{-0.5t}\text{,}\) hemos encontrado una solución a la ecuación diferencial.

Actividad 7.1.4

Considerar la ecuación diferencial

\[ \frac{dv}{dt} = 1.5 - 0.5v\text{.} \nonumber \]

¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de esta ecuación diferencial?

1. \(v(t) = 1.5t - 0.25t^2\text{.}\)
2. \(v(t) = 3 + 2e^{-0.5t}\text{.}\)
3. \(v(t) = 3\text{.}\)
4. \(v(t) = 3 + Ce^{-0.5t}\)donde\(C\) hay alguna constante.

Esta actividad nos muestra algo interesante. Observe que la ecuación diferencial tiene infinitamente muchas soluciones, las cuales son parametrizadas por la constante\(C\)\(v(t) = 3+Ce^{-0.5t}\text{.}\) en la Figura 7.1.3, vemos las gráficas de estas soluciones para unos pocos valores de\(C\text{,}\) como etiquetados.

Figura 7.1.3. La familia de soluciones a la ecuación diferencial\(\frac{dv}{dt} = 1.5 - 0.5v\text{.}\)

Observe que el valor de\(C\) está conectado con el valor inicial de la velocidad\(v(0)\text{,}\) ya que\(v(0) = 3+C\text{.}\) en otras palabras, mientras que la ecuación diferencial describe cómo cambia la velocidad en función de la velocidad misma, esto no es suficiente información para determinar la velocidad de manera única: también necesitan conocer la velocidad inicial. Por esta razón, las ecuaciones diferenciales tendrán típicamente infinitamente muchas soluciones, una correspondiente a cada valor inicial. Hemos visto este fenómeno antes: dada la velocidad de un objeto en movimiento, no\(v(t)\text{,}\) podemos determinar de manera única la función de posición del objeto a menos que también sepamos su posición inicial.

Si se nos da una ecuación diferencial y un valor inicial para la función desconocida, decimos que tenemos un problema de valor inicial. Por ejemplo,

\[ \frac{dv}{dt} = 1.5-0.5v, \ v(0) = 0.5 \nonumber \]

es un problema de valor inicial. En este problema, conocemos el valor de\(v\) a la vez y sabemos cómo\(v\) está cambiando. En consecuencia, debe haber exactamente una función\(v\) que satisfaga el problema del valor inicial.

Esto demuestra los siguientes importantes problemas de propiedad general de valor inicial.

Nota

Los problemas de valor inicial que son “bien portados” tienen exactamente una solución, que existe en algún intervalo alrededor del punto inicial.

No nos preocuparemos por lo que significa “bien portado”, es una condición técnica que será satisfecha por todas las ecuaciones diferenciales que consideremos.

Para cerrar esta sección, observamos que las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse en función de ciertas características que puedan poseer. Es posible que veas muchos tipos diferentes de ecuaciones diferenciales en un curso posterior en ecuaciones diferenciales. Por ahora, nos gustaría introducir algunos términos que se utilizan para describir ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial de primer orden es aquella en la que sólo se produce la primera derivada de la función. Por esta razón,

\[ \frac{dv}{dt} = 1.5-0.5v \nonumber \]

es una ecuación de primer orden mientras

\[ \frac{d^2 y}{dt^2} = -10y \nonumber \]

es una ecuación de segundo orden.

Una ecuación diferencial es autónoma si la variable independiente no aparece en la descripción de la derivada. Por ejemplo,

\[ \frac{dv}{dt} = 1.5-0.5v \nonumber \]

es autónoma porque la descripción de la derivada\(dv/dt\) no depende del tiempo. La ecuación

\[ \frac{dy}{dt} = 1.5t - 0.5y\text{,} \nonumber \]

sin embargo, no es autónomo.

7.1.4 Resumen

• Una ecuación diferencial es simplemente una ecuación que describe la (s) derivada (s) de una función desconocida.
• Los principios físicos, así como algunas situaciones cotidianas, suelen describir cómo cambia una cantidad, lo que lleva a ecuaciones diferenciales.
• Una solución a una ecuación diferencial es una función cuyas derivadas satisfacen la descripción de la ecuación. Las ecuaciones diferenciales suelen tener infinitamente muchas soluciones, parametrizadas por los valores iniciales.