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# 7.3: Método de Euler

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• ¿Cuál es el método de Euler y cómo podemos utilizarlo para aproximar la solución a un problema de valor inicial?
• ¿Qué tan preciso es el método de Euler?

En la Sección 7.2, vimos cómo se puede usar un campo de pendiente para esbozar soluciones a una ecuación diferencial. En particular, el campo de pendiente es una gráfica de una gran colección de líneas tangentes a un gran número de soluciones de la ecuación diferencial, y esbozamos una única solución simplemente siguiendo estas líneas tangentes. Pensando un poco más, podemos usar esta misma idea para aproximar numéricamente las soluciones de una ecuación diferencial.

##### Vista previa de Actividad 7.3.1

Considerar el problema de valor inicial

$\frac{dy}{dt} = \frac12 (y + 1), \ y(0) = 0\text{.} \nonumber$

a. use la ecuación diferencial para encontrar la pendiente de la línea tangente a la solución$$y(t)$$ en$$t=0\text{.}$$ Luego use el valor inicial dado para encontrar la ecuación de la línea tangente en$$t=0\text{.}$$

b. Esbozar la línea tangente en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.1 en el intervalo$$0\leq t\leq 2$$ y utilícela para aproximar$$y(2)\text{,}$$ el valor de la solución en$$t=2\text{.}$$

c. Suponiendo que su aproximación para$$y(2)$$ es el valor real de$$y(2)\text{,}$$ usar la ecuación diferencial para encontrar la pendiente de la línea tangente a$$y(t)$$ en$$t=2\text{.}$$ Entonces, escriba la ecuación de la línea tangente en$$t=2\text{.}$$

d. Agregue un boceto de esta línea tangente en el intervalo$$2\leq t\leq 4$$ a su trazado Figura 7.3.1; use esta nueva línea tangente para aproximar$$y(4)\text{,}$$ el valor de la solución en$$t=4\text{.}$$

e. Repita el mismo paso para encontrar una aproximación para$$y(6)\text{.}$$

### 7.3.1 Método de Euler

Vista previa Actividad 7.3.1 demuestra un algoritmo conocido como Método 1 de Euler, que genera una aproximación numérica a la solución de un problema de valor inicial. En este algoritmo, aproximaremos la solución tomando pasos horizontales de un tamaño fijo que denotamos por$$\Delta t\text{.}$$

“Euler” se pronuncia “Oy-ler”. Entre otras cosas, Euler es el matemático al que se le atribuye el famoso número$$e\text{;}$$ si pronuncias incorrectamente su nombre “You-ler”, no logras apreciar su genio y legado.

Antes de explicar el algoritmo en detalle, recordemos cómo calculamos la pendiente de una línea: la pendiente es la relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal, como se muestra en la Figura 7.3.2.

Es decir,$$m = \frac{\Delta y}{\Delta t}\text{.}$$ Resolviendo para$$\Delta y\text{,}$$ vemos que el cambio vertical es producto de la pendiente y el cambio horizontal, o

$\Delta y = m\Delta t\text{.} \nonumber$

Ahora, supongamos que nos gustaría resolver el problema de valor inicial

$\frac{dy}{dt} = t - y, \ y(0) = 1\text{.} \nonumber$

Existe un algoritmo mediante el cual podemos encontrar una fórmula algebraica para la solución a este problema de valor inicial, y podemos comprobar que esta solución es$$y(t) = t -1 + 2e^{-t}\text{.}$$ Pero en cambio estamos interesados en generar una solución aproximada creando una secuencia de puntos$$(t_i, y_i)\text{,}$$ donde$$y_i\approx y(t_i)\text{.}$$ Para esto primero ejemplo, elegimos$$\Delta t = 0.2\text{.}$$

Ya que sabemos que$$y(0) = 1\text{,}$$ vamos a tomar el punto inicial para ser$$(t_0,y_0) = (0,1)$$ y movernos horizontalmente por$$\Delta t = 0.2$$ al punto$$(t_1,y_1)\text{.}$$ Así,$$t_1=t_0+\Delta t = 0.2\text{.}$$ Ahora, la ecuación diferencial nos dice que la pendiente de la línea tangente en este punto es

$m=\frac{dy}{dt}\bigg\vert_{(0,1)} = 0-1 = -1\text{,} \nonumber$

así que para movernos a lo largo de la línea tangente dando un paso horizontal de tamaño también$$\Delta t=0.2\text{,}$$ debemos movernos verticalmente por

$\Delta y = m\Delta t = -1\cdot 0.2 = -0.2\text{.} \nonumber$

Entonces tenemos la aproximación$$y(0.2) \approx y_1= y_0 + \Delta y = 1 - 0.2 = 0.8\text{.}$$ En este punto, hemos ejecutado un paso del método de Euler, como se ve gráficamente en la Figura 7.3.3.

Ahora repetimos este proceso: en$$(t_1,y_1) = (0.2,0.8)\text{,}$$ la ecuación diferencial nos dice que la pendiente es

$m=\frac{dy}{dt}\bigg\vert_{(0.2,0.8)} = 0.2-0.8 = -0.6\text{.} \nonumber$

Si avanzamos horizontalmente por$$\Delta t$$ a$$t_2=t_1+\Delta = 0.4\text{,}$$ debemos movernos verticalmente por

$\Delta y = -0.6\cdot0.2 = -0.12\text{.} \nonumber$

En consecuencia llegamos a$$y_2=y_1+\Delta y = 0.8-0.12 = 0.68\text{,}$$ lo que da$$y(0.2)\approx 0.68\text{.}$$ Ahora hemos completado el segundo paso del método de Euler, como se muestra en la Figura 7.3.4.

Si continuamos de esta manera, podremos generar los puntos que$$(t_i, y_i)$$ se muestran en la Figura 7.3.5. Debido a que podemos encontrar una fórmula para la solución real$$y(t)$$ a esta ecuación diferencial, podemos graficarla$$y(t)$$ y compararla con los puntos generados por el método de Euler, como se muestra en la Figura 7.3.6.

Debido a que necesitamos generar una gran cantidad de puntos$$(t_i,y_i)\text{,}$$ es conveniente organizar la implementación del método de Euler en una tabla como se muestra. Comenzamos con los datos iniciales dados.

 $$t_i$$ $$y_i$$ $$dy/dt$$ $$\Delta y$$ $$0.0000$$ $$1.0000$$

A partir de aquí, calculamos la pendiente de la línea tangente$$m=dy/dt$$ usando la fórmula para$$dy/dt$$ a partir de la ecuación diferencial, y luego encontramos$$\Delta y\text{,}$$ el cambio en el$$y\text{,}$$ uso de la regla$$\Delta y = m\Delta t\text{.}$$

 $$t_i$$ $$y_i$$ $$dy/dt$$ $$\Delta y$$ $$0.0000$$ $$1.0000$$ $$-1.0000$$ $$-0.2000$$

A continuación, aumentamos$$t_i$$ por$$\Delta t$$ y$$y_i$$ por$$\Delta y$$ para obtener

 $$t_i$$ $$y_i$$ $$dy/dt$$ $$\Delta y$$ $$0.0000$$ $$1.0000$$ $$-1.0000$$ $$-0.2000$$ $$0.2000$$ $$0.8000$$

Continuamos el proceso por cuantos pasos decidamos, generando eventualmente una tabla como la Tabla 7.3.7.

 $$t_i$$ $$y_i$$ $$dy/dt$$ $$\Delta y$$ $$0.0000$$ $$1.0000$$ $$-1.0000$$ $$-0.2000$$ $$0.2000$$ $$0.8000$$ $$-0.6000$$ $$-0.1200$$ $$0.4000$$ $$0.6800$$ $$-0.2800$$ $$-0.0560$$ $$0.6000$$ $$0.6240$$ $$-0.0240$$ $$-0.0048$$ $$0.8000$$ $$0.6192$$ $$0.1808$$ $$0.0362$$ $$1.0000$$ $$0.6554$$ $$0.3446$$ $$0.0689$$ $$1.2000$$ $$0.7243$$ $$0.4757$$ $$0.0951$$

Considerar el problema de valor inicial

$\frac{dy}{dt} = 2t-1, \ y(0) = 0 \nonumber$
1. Utilice el método de Euler con$$\Delta t = 0.2$$ para aproximar la solución en$$t_i = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8\text{,}$$ y$$1.0\text{.}$$ Registrar su trabajo en la siguiente tabla, y bosquejar los puntos$$(t_i, y_i)$$ en los ejes provistos.
 $$t_i$$ $$y_i$$ $$dy/dt$$ $$\Delta y$$ $$0.0000$$ $$0.0000$$ $$0.2000$$ $$0.4000$$ $$0.6000$$ $$0.8000$$ $$1.0000$$
2. Encuentra la solución exacta al problema del valor inicial original y usa esta función para encontrar el error en tu aproximación en cada uno de los puntos$$t_i\text{.}$$
3. Explicar por qué el valor$$y_5$$ generado por el método de Euler para este problema de valor inicial produce el mismo valor que una suma de Riemann izquierda para la integral definida$$\int_0^1 (2t-1)~dt\text{.}$$
4. ¿En qué diferirían tus cálculos si el valor inicial fuera$$y(0) = 1\text{?}$$ ¿Qué significa esto sobre diferentes soluciones a esta ecuación diferencial?

Considerar la ecuación diferencial$$\frac{dy}{dt} = 6y-y^2\text{.}$$

1. Esbozar el campo de pendiente para esta ecuación diferencial en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.10.
2. Identificar cualquier solución de equilibrio y determinar si son estables o inestables.
3. Cuál es el comportamiento a largo plazo de la solución que satisface el valor inicial$$y(0) = 1\text{?}$$
4. Usando el valor inicial$$y(0) = 1\text{,}$$ utilice el método de Euler con$$\Delta t = 0.2$$ para aproximar la solución en$$t_i = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8\text{,}$$ y$$1.0\text{.}$$ Registrar sus resultados en la Tabla 7.3.11 y esbozar los puntos correspondientes$$(t_i, y_i)$$ en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.12. Obsérvese la diferente escala horizontal en los ejes en la Figura 7.3.12 en comparación con la Figura 7.3.10.
 $$t_i$$ $$y_i$$ $$dy/dt$$ $$\Delta y$$ $$0.0$$ $$1.0000$$ $$0.2$$ $$0.4$$ $$0.6$$ $$0.8$$ $$1.0$$
5. Qué sucede si aplicamos el método de Euler para aproximar la solución con$$y(0) = 6\text{?}$$

### 7.3.2 El error en el método de Euler

Dado que estamos aproximando las soluciones a un problema de valor inicial usando líneas tangentes, debemos esperar que el error en la aproximación sea menor cuando el tamaño del paso sea menor. Considerar el problema de valor inicial

$\frac{dy}{dt} = y, \ y(0) = 1\text{,} \nonumber$

cuya solución podemos encontrar fácilmente.

La pregunta que plantea este problema de valor inicial es “qué función sabemos que es la misma que su propia derivada y tiene valor 1 cuando$$t=0\text{?}$$” No es difícil ver que la solución es Ahora$$y(t) = e^t\text{.}$$ aplicamos el método de Euler para aproximarse$$y(1) = e$$ usando varios valores de$$\Delta t\text{.}$$ Estos las aproximaciones serán denotadas por$$E_{\Delta t}\text{,}$$ y las usaremos para ver qué tan preciso es el Método de Euler.

Para comenzar, aplicamos el método de Euler con un tamaño de paso de$$\Delta t = 0.2\text{.}$$ En ese caso, encontramos que$$y(1) \approx E_{0.2} = 2.4883\text{.}$$ El error es por lo tanto

$y(1) - E_{0.2} = e - 2.4883 \approx 0.2300\text{.} \nonumber$

Repetidamente el halving$$\Delta t$$ da los siguientes resultados, expresados tanto en forma tabular como gráfica.

 $$\Delta t$$ $$E_{\Delta t}$$ Error $$0.200$$ $$2.4883$$ $$0.2300$$ $$0.100$$ $$2.5937$$ $$0.1245$$ $$0.050$$ $$2.6533$$ $$0.0650$$ $$0.025$$ $$2.6851$$ $$0.0332$$

Observe, tanto numérica como gráficamente, que el error se reduce aproximadamente a la mitad cuando$$\Delta t$$ se reduce a la mitad. Este ejemplo ilustra el siguiente principio general.

Si se usa el método de Euler para aproximar la solución a un problema de valor inicial en un punto$$\overline{t}\text{,}$$ entonces el error es proporcional a Es$$\Delta t\text{.}$$ decir,

$y(\overline{t}) - E_{\Delta t} \approx K\Delta t \nonumber$

por alguna constante de proporcionalidad$$K\text{.}$$

### 7.3.3 Resumen

• El método de Euler es un algoritmo para aproximar la solución a un problema de valor inicial siguiendo las líneas tangentes mientras damos pasos horizontales a través del$$t$$ eje.
• Si queremos aproximar$$y(\overline{t})$$ para algunos fijos$$\overline{t}$$ tomando pasos horizontales de tamaño$$\Delta t\text{,}$$ entonces el error en nuestra aproximación es proporcional a$$\Delta t\text{.}$$

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