7.3: Método de Euler

Preguntas Motivadoras

• ¿Cuál es el método de Euler y cómo podemos utilizarlo para aproximar la solución a un problema de valor inicial?
• ¿Qué tan preciso es el método de Euler?

En la Sección 7.2, vimos cómo se puede usar un campo de pendiente para esbozar soluciones a una ecuación diferencial. En particular, el campo de pendiente es una gráfica de una gran colección de líneas tangentes a un gran número de soluciones de la ecuación diferencial, y esbozamos una única solución simplemente siguiendo estas líneas tangentes. Pensando un poco más, podemos usar esta misma idea para aproximar numéricamente las soluciones de una ecuación diferencial.

Vista previa de Actividad 7.3.1

Considerar el problema de valor inicial

\[ \frac{dy}{dt} = \frac12 (y + 1), \ y(0) = 0\text{.} \nonumber \]

a. use la ecuación diferencial para encontrar la pendiente de la línea tangente a la solución\(y(t)\) en\(t=0\text{.}\) Luego use el valor inicial dado para encontrar la ecuación de la línea tangente en\(t=0\text{.}\)

b. Esbozar la línea tangente en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.1 en el intervalo\(0\leq t\leq 2\) y utilícela para aproximar\(y(2)\text{,}\) el valor de la solución en\(t=2\text{.}\)

Figura 7.3.1. Rejilla para trazar la línea tangente.

c. Suponiendo que su aproximación para\(y(2)\) es el valor real de\(y(2)\text{,}\) usar la ecuación diferencial para encontrar la pendiente de la línea tangente a\(y(t)\) en\(t=2\text{.}\) Entonces, escriba la ecuación de la línea tangente en\(t=2\text{.}\)

d. Agregue un boceto de esta línea tangente en el intervalo\(2\leq t\leq 4\) a su trazado Figura 7.3.1; use esta nueva línea tangente para aproximar\(y(4)\text{,}\) el valor de la solución en\(t=4\text{.}\)

e. Repita el mismo paso para encontrar una aproximación para\(y(6)\text{.}\)

7.3.1 Método de Euler

Vista previa Actividad 7.3.1 demuestra un algoritmo conocido como Método ¹ de Euler, que genera una aproximación numérica a la solución de un problema de valor inicial. En este algoritmo, aproximaremos la solución tomando pasos horizontales de un tamaño fijo que denotamos por\(\Delta t\text{.}\)

“Euler” se pronuncia “Oy-ler”. Entre otras cosas, Euler es el matemático al que se le atribuye el famoso número\(e\text{;}\) si pronuncias incorrectamente su nombre “You-ler”, no logras apreciar su genio y legado.

Antes de explicar el algoritmo en detalle, recordemos cómo calculamos la pendiente de una línea: la pendiente es la relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal, como se muestra en la Figura 7.3.2.

Es decir,\(m = \frac{\Delta y}{\Delta t}\text{.}\) Resolviendo para\(\Delta y\text{,}\) vemos que el cambio vertical es producto de la pendiente y el cambio horizontal, o

\[ \Delta y = m\Delta t\text{.} \nonumber \]

Figura 7.3.2. El papel de la pendiente en el Método de Euler.

Ahora, supongamos que nos gustaría resolver el problema de valor inicial

\[ \frac{dy}{dt} = t - y, \ y(0) = 1\text{.} \nonumber \]

Existe un algoritmo mediante el cual podemos encontrar una fórmula algebraica para la solución a este problema de valor inicial, y podemos comprobar que esta solución es\(y(t) = t -1 + 2e^{-t}\text{.}\) Pero en cambio estamos interesados en generar una solución aproximada creando una secuencia de puntos\((t_i, y_i)\text{,}\) donde\(y_i\approx y(t_i)\text{.}\) Para esto primero ejemplo, elegimos\(\Delta t = 0.2\text{.}\)

Ya que sabemos que\(y(0) = 1\text{,}\) vamos a tomar el punto inicial para ser\((t_0,y_0) = (0,1)\) y movernos horizontalmente por\(\Delta t = 0.2\) al punto\((t_1,y_1)\text{.}\) Así,\(t_1=t_0+\Delta t = 0.2\text{.}\) Ahora, la ecuación diferencial nos dice que la pendiente de la línea tangente en este punto es

\[ m=\frac{dy}{dt}\bigg\vert_{(0,1)} = 0-1 = -1\text{,} \nonumber \]

así que para movernos a lo largo de la línea tangente dando un paso horizontal de tamaño también\(\Delta t=0.2\text{,}\) debemos movernos verticalmente por

\[ \Delta y = m\Delta t = -1\cdot 0.2 = -0.2\text{.} \nonumber \]

Entonces tenemos la aproximación\(y(0.2) \approx y_1= y_0 + \Delta y = 1 - 0.2 = 0.8\text{.}\) En este punto, hemos ejecutado un paso del método de Euler, como se ve gráficamente en la Figura 7.3.3.

Figura 7.3.3. Un paso del método de Euler.

Ahora repetimos este proceso: en\((t_1,y_1) = (0.2,0.8)\text{,}\) la ecuación diferencial nos dice que la pendiente es

\[ m=\frac{dy}{dt}\bigg\vert_{(0.2,0.8)} = 0.2-0.8 = -0.6\text{.} \nonumber \]

Si avanzamos horizontalmente por\(\Delta t\) a\(t_2=t_1+\Delta = 0.4\text{,}\) debemos movernos verticalmente por

\[ \Delta y = -0.6\cdot0.2 = -0.12\text{.} \nonumber \]

En consecuencia llegamos a\(y_2=y_1+\Delta y = 0.8-0.12 = 0.68\text{,}\) lo que da\(y(0.2)\approx 0.68\text{.}\) Ahora hemos completado el segundo paso del método de Euler, como se muestra en la Figura 7.3.4.

Figura 7.3.4. Dos pasos del método de Euler.

Si continuamos de esta manera, podremos generar los puntos que\((t_i, y_i)\) se muestran en la Figura 7.3.5. Debido a que podemos encontrar una fórmula para la solución real\(y(t)\) a esta ecuación diferencial, podemos graficarla\(y(t)\) y compararla con los puntos generados por el método de Euler, como se muestra en la Figura 7.3.6.

Figura 7.3.5. Los puntos y la solución aproximada lineal por tramos generada por el método de Euler.

Figura 7.3.6. La solución aproximada comparada con la solución exacta (mostrada en azul).

Debido a que necesitamos generar una gran cantidad de puntos\((t_i,y_i)\text{,}\) es conveniente organizar la implementación del método de Euler en una tabla como se muestra. Comenzamos con los datos iniciales dados.

\(t_i\)	\(y_i\)	\(dy/dt\)	\(\Delta y\)
\(0.0000\)	\(1.0000\)

A partir de aquí, calculamos la pendiente de la línea tangente\(m=dy/dt\) usando la fórmula para\(dy/dt\) a partir de la ecuación diferencial, y luego encontramos\(\Delta y\text{,}\) el cambio en el\(y\text{,}\) uso de la regla\(\Delta y = m\Delta t\text{.}\)

\(t_i\)	\(y_i\)	\(dy/dt\)	\(\Delta y\)
\(0.0000\)	\(1.0000\)	\(-1.0000\)	\(-0.2000\)

A continuación, aumentamos\(t_i\) por\(\Delta t\) y\(y_i\) por\(\Delta y\) para obtener

\(t_i\)	\(y_i\)	\(dy/dt\)	\(\Delta y\)
\(0.0000\)	\(1.0000\)	\(-1.0000\)	\(-0.2000\)
\(0.2000\)	\(0.8000\)

Continuamos el proceso por cuantos pasos decidamos, generando eventualmente una tabla como la Tabla 7.3.7.

Cuadro 7.3.7. Método de Euler para 6 pasos con\(\Delta t = 0.2\text{.}\)

\(t_i\)	\(y_i\)	\(dy/dt\)	\(\Delta y\)
\(0.0000\)	\(1.0000\)	\(-1.0000\)	\(-0.2000\)
\(0.2000\)	\(0.8000\)	\(-0.6000\)	\(-0.1200\)
\(0.4000\)	\(0.6800\)	\(-0.2800\)	\(-0.0560\)
\(0.6000\)	\(0.6240\)	\(-0.0240\)	\(-0.0048\)
\(0.8000\)	\(0.6192\)	\(0.1808\)	\(0.0362\)
\(1.0000\)	\(0.6554\)	\(0.3446\)	\(0.0689\)
\(1.2000\)	\(0.7243\)	\(0.4757\)	\(0.0951\)

Actividad 7.3.2

Considerar el problema de valor inicial

\[ \frac{dy}{dt} = 2t-1, \ y(0) = 0 \nonumber \]

1. Utilice el método de Euler con\(\Delta t = 0.2\) para aproximar la solución en\(t_i = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8\text{,}\) y\(1.0\text{.}\) Registrar su trabajo en la siguiente tabla, y bosquejar los puntos\((t_i, y_i)\) en los ejes provistos.

   Cuadro 7.3.8. Tabla para registrar resultados del método de Euler.

   \(t_i\)	\(y_i\)	\(dy/dt\)	\(\Delta y\)
   \(0.0000\)	\(0.0000\)
   \(0.2000\)
   \(0.4000\)
   \(0.6000\)
   \(0.8000\)
   \(1.0000\)

   

   Figura 7.3.9. Rejilla para trazar puntos generados por el método de Euler.

2. Encuentra la solución exacta al problema del valor inicial original y usa esta función para encontrar el error en tu aproximación en cada uno de los puntos\(t_i\text{.}\)
3. Explicar por qué el valor\(y_5\) generado por el método de Euler para este problema de valor inicial produce el mismo valor que una suma de Riemann izquierda para la integral definida\(\int_0^1 (2t-1)~dt\text{.}\)
4. ¿En qué diferirían tus cálculos si el valor inicial fuera\(y(0) = 1\text{?}\) ¿Qué significa esto sobre diferentes soluciones a esta ecuación diferencial?

Actividad 7.3.3

Considerar la ecuación diferencial\(\frac{dy}{dt} = 6y-y^2\text{.}\)

1. Esbozar el campo de pendiente para esta ecuación diferencial en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.10.

   

   

   Figura 7.3.10. Rejilla para trazar el campo de pendiente de la ecuación diferencial dada.

2. Identificar cualquier solución de equilibrio y determinar si son estables o inestables.
3. Cuál es el comportamiento a largo plazo de la solución que satisface el valor inicial\(y(0) = 1\text{?}\)
4. Usando el valor inicial\(y(0) = 1\text{,}\) utilice el método de Euler con\(\Delta t = 0.2\) para aproximar la solución en\(t_i = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8\text{,}\) y\(1.0\text{.}\) Registrar sus resultados en la Tabla 7.3.11 y esbozar los puntos correspondientes\((t_i, y_i)\) en los ejes proporcionados en la Figura 7.3.12. Obsérvese la diferente escala horizontal en los ejes en la Figura 7.3.12 en comparación con la Figura 7.3.10.

   Cuadro 7.3.11. Tabla para registrar resultados del método de Euler con\(\Delta t = 0.2\text{.}\)

   \(t_i\)	\(y_i\)	\(dy/dt\)	\(\Delta y\)
   \(0.0\)	\(1.0000\)
   \(0.2\)
   \(0.4\)
   \(0.6\)
   \(0.8\)
   \(1.0\)

   

   Figura 7.3.12. Ejes para trazar los resultados del método de Euler.

5. Qué sucede si aplicamos el método de Euler para aproximar la solución con\(y(0) = 6\text{?}\)

7.3.2 El error en el método de Euler

Dado que estamos aproximando las soluciones a un problema de valor inicial usando líneas tangentes, debemos esperar que el error en la aproximación sea menor cuando el tamaño del paso sea menor. Considerar el problema de valor inicial

\[ \frac{dy}{dt} = y, \ y(0) = 1\text{,} \nonumber \]

cuya solución podemos encontrar fácilmente.

La pregunta que plantea este problema de valor inicial es “qué función sabemos que es la misma que su propia derivada y tiene valor 1 cuando\(t=0\text{?}\)” No es difícil ver que la solución es Ahora\(y(t) = e^t\text{.}\) aplicamos el método de Euler para aproximarse\(y(1) = e\) usando varios valores de\(\Delta t\text{.}\) Estos las aproximaciones serán denotadas por\(E_{\Delta t}\text{,}\) y las usaremos para ver qué tan preciso es el Método de Euler.

Para comenzar, aplicamos el método de Euler con un tamaño de paso de\(\Delta t = 0.2\text{.}\) En ese caso, encontramos que\(y(1) \approx E_{0.2} = 2.4883\text{.}\) El error es por lo tanto

\[ y(1) - E_{0.2} = e - 2.4883 \approx 0.2300\text{.} \nonumber \]

Repetidamente el halving\(\Delta t\) da los siguientes resultados, expresados tanto en forma tabular como gráfica.

Cuadro 7.3.13. Errores que corresponden a diferentes\(\Delta t\) valores.

\(\Delta t\)	\(E_{\Delta t}\)	Error
\(0.200\)	\(2.4883\)	\(0.2300\)
\(0.100\)	\(2.5937\)	\(0.1245\)
\(0.050\)	\(2.6533\)	\(0.0650\)
\(0.025\)	\(2.6851\)	\(0.0332\)

Figura 7.3.14. Una gráfica del error en función de\(\Delta t\text{.}\)

Observe, tanto numérica como gráficamente, que el error se reduce aproximadamente a la mitad cuando\(\Delta t\) se reduce a la mitad. Este ejemplo ilustra el siguiente principio general.

Si se usa el método de Euler para aproximar la solución a un problema de valor inicial en un punto\(\overline{t}\text{,}\) entonces el error es proporcional a Es\(\Delta t\text{.}\) decir,

\[ y(\overline{t}) - E_{\Delta t} \approx K\Delta t \nonumber \]

por alguna constante de proporcionalidad\(K\text{.}\)

7.3.3 Resumen

• El método de Euler es un algoritmo para aproximar la solución a un problema de valor inicial siguiendo las líneas tangentes mientras damos pasos horizontales a través del\(t\) eje.
• Si queremos aproximar\(y(\overline{t})\) para algunos fijos\(\overline{t}\) tomando pasos horizontales de tamaño\(\Delta t\text{,}\) entonces el error en nuestra aproximación es proporcional a\(\Delta t\text{.}\)