7.5: Modelado con Ecuaciones Diferenciales

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Preguntas Motivadoras

¿Cómo podemos usar ecuaciones diferenciales para describir fenómenos en el mundo que nos rodea?
¿Cómo podemos usar ecuaciones diferenciales para entender mejor estos fenómenos?

Hemos visto varias formas en que surgen ecuaciones diferenciales en el mundo natural, desde el crecimiento de una población hasta la temperatura de una taza de café. En esta sección, observamos más de cerca cómo las ecuaciones diferenciales nos dan una forma natural de describir diversos fenomas. Como veremos, la clave es entender los diferentes factores que provocan que una cantidad cambie.

Vista previa de la actividad 7.5.1

Cada vez que la tasa de cambio de una cantidad se relaciona con la cantidad de una cantidad, surge naturalmente una ecuación diferencial. En los siguientes dos problemas, vemos dos de esos escenarios; para cada uno, queremos desarrollar una ecuación diferencial cuya solución sea la cantidad de interés.

Supongamos que tienes una cuenta bancaria en la que el dinero crece a una tasa anual del 3%.
1. Si tienes 10,000 dólares en la cuenta, ¿a qué ritmo está creciendo tu dinero?
2. Supongamos que también está retirando dinero de la cuenta a $1,000 anuales. ¿Cuál es la tasa de cambio en la cantidad de dinero en la cuenta? ¿Cuáles son las unidades en esta tasa de cambio?
Supongamos que un tanque de agua contiene 100 galones y que una solución salada, que contiene 20 gramos de sal en cada galón, ingresa al tanque a 2 galones por minuto.
1. ¿Cuánta sal entra al tanque cada minuto?
2. Supongamos que inicialmente hay 300 gramos de sal en el tanque. ¿Cuánta sal hay en cada galón en este momento?
3. Finalmente, supongamos que la solución uniformemente mezclada es bombeada fuera del tanque a razón de 2 galones por minuto. ¿Cuánta sal sale del tanque cada minuto?
4. ¿Cuál es la tasa total de cambio en la cantidad de sal en el tanque?

7.5.1 Desarrollo de una ecuación diferencial

Vista previa Actividad 7.5.1 demuestra el tipo de pensamiento que estaremos haciendo en esta sección. En cada uno de los dos ejemplos que consideramos, hay una cantidad, como la cantidad de dinero en la cuenta bancaria o la cantidad de sal en el tanque, que está cambiando debido a varios factores. La ecuación diferencial gobernante establece que la tasa total de cambio es la diferencia entre la tasa de aumento y la tasa de disminución.

Ejemplo 7.5.1

En la región de los Grandes Lagos, los ríos que desembocan en los lagos llevan una gran cantidad de contaminación en forma de pequeños trozos de plástico con un promedio de 1 milímetro de diámetro. Para entender cómo está cambiando la cantidad de plástico en el lago Michigan, construya un modelo de cómo se ha acumulado este tipo de contaminación en el lago.

Contestar

Primero, algunos datos básicos sobre el lago Michigan.

El volumen del lago es de metros$5\cdot10^{12}$ cúbicos.
El agua fluye hacia el lago a razón de metros$5\cdot10^{10}$ cúbicos por año. Fluye fuera del lago al mismo ritmo.
Cada metro cúbico que fluye hacia el lago contiene aproximadamente metros$3\cdot10^{-8}$ cúbicos de contaminación plástica.

Denotemos la cantidad de contaminación en el lago por$P(t)\text{,}$ donde$P$ se mide en metros cúbicos de plástico y$t$ en años. Nuestro objetivo es describir la tasa de cambio de esta función; por lo que queremos desarrollar una ecuación diferencial que describa$P(t)\text{.}$

Primero, mediremos cómo$P(t)$ aumenta debido a la contaminación que fluye hacia el lago. Sabemos que metros$5\cdot10^{10}$ cúbicos de agua ingresan al lago cada año y cada metro cúbico de agua contiene metros$3\cdot10^{-8}$ cúbicos de contaminación. Por lo tanto, la contaminación ingresa al lago a razón de

\[ \left(5\cdot 10^{10} \frac{m^3 \text{ water} }{\text{year} }\right) \left(3\cdot10^{-8} \frac{m^3 \text{ plastic} }{m^3 \text{ water} } \right) = 1.5\cdot 10^3 \text{cubic m of plastic per year}\text{.} \nonumber \]

Segundo, mediremos cómo$P(t)$ disminuye debido a la contaminación que fluye fuera del lago. Si la cantidad total de contaminación es de metros$P$ cúbicos y el volumen del lago Michigan es de metros$5\cdot 10^{12}$ cúbicos, entonces la concentración de contaminación plástica en el lago Michigan es

\[ \frac{P}{5\cdot10^{12}} \text{cubic m of plastic per cubic m of water}\text{.} \nonumber \]

Dado que los metros$5\cdot10^{10}$ cúbicos de agua fluyen cada año ¹, entonces la contaminación plástica sale del lago a razón de

\[ \left(\frac{P}{5\cdot10^{12}} \frac{m^3 \text{ plastic} }{m^3 \text{ water} } \right) \left(5\cdot10^{10} \frac{m^3 \text{ water} }{\text{year} } \right)=\frac{P}{100} \text{cubic m of plastic per year}\text{.} \nonumber \]

y suponemos que cada metro cúbico de agua que fluye lleva consigo la contaminación plástica que contiene

La tasa total de cambio de$P$ es así la diferencia entre la velocidad a la que la contaminación ingresa al lago y la velocidad a la que la contaminación sale del lago; es decir,

\ begin {align*}\ frac {dP} {dt} =\ mathstrut & 1.5\ cdot10^ {3} -\ frac {P} {100}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ frac {1} {100} (1.5\ cdot10^ {5} - P)\ text {.} \ end {alinear*}

Ahora hemos encontrado una ecuación diferencial que describe la velocidad a la que está cambiando la cantidad de contaminación. Para entender el comportamiento de$P(t)\text{,}$ aplicamos algunas de las técnicas que hemos desarrollado recientemente.

Debido a que la ecuación diferencial es autónoma, podemos$dP/dt$ bosquejar en función$P$ y luego construir un campo de pendiente, como se muestra en la Figura 7.5.2 y la Figura 7.5.3.

Figura 7.5.2. Parcela de$\frac{dP}{dt}$ vs.$P$ para$\frac{dP}{dt} = \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P)\text{.}$

Figura 7.5.3. Parcela del campo de pendiente para$\frac{dP}{dt} = \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P)\text{.}$

Ambas gráficas muestran que$P=1.5\cdot10^5$ es un equilibrio estable. Por lo tanto, debemos esperar que la cantidad de contaminación en el lago Michigan se estabilice cerca de metros$1.5\cdot10^5$ cúbicos de contaminación.

A continuación, suponiendo que inicialmente no haya contaminación en el lago, resolveremos el problema de valor inicial

\[ \frac{dP}{dt} = \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P), \ P(0) = 0\text{.} \nonumber \]

Separando variables, encontramos que

\[ \frac1{1.5\cdot10^5-P} \frac{dP}{dt} = \frac1{100}\text{.} \nonumber \]

Integrando con respecto a$t\text{,}$ que tenemos

\[ \int \frac1{1.5\cdot10^5-P} \frac{dP}{dt}~dt = \int \frac1{100}~dt\text{,} \nonumber \]

y así cambiando variables a la izquierda y antidiferenciando en ambos lados, encontramos que

\ begin {alinear*}\ int\ frac {dP} {1.5\ cdot10^5-p} =\ mathstrut &\ int\ frac1 {100} ~dt\\ [4pt] -\ ln|1.5\ cdot10^5 - P| =\ mathstrut &\ frac1 {100} t + C\ end {align*}

Finalmente, multiplicando ambos lados por$-1$ y usando la definición del logaritmo, encontramos que

\[ 1.5\cdot10^5 - P = C e^{-t/100}\text{.}\label{wXu}\tag{7.5.1} \]

Este es un buen momento para determinar la constante$C\text{.}$ Desde$P = 0$ cuando$t=0\text{,}$ tenemos

\[ 1.5\cdot 10^5 - 0 = Ce^0 = C\text{,} \nonumber \]

por lo$C=1.5\cdot10^5\text{.}$

Usando este valor de$C$ en la Ecuación (7.5.1) y resolviendo para$P\text{,}$ llegamos a la solución

\[ P(t) = 1.5\cdot10^5(1-e^{-t/100})\text{.} \nonumber \]

Superponiendo la gráfica de$P$ en el campo de pendiente que vimos en la Figura 7.5.3, vemos, como se muestra en la Figura 7.5.4

Vemos que, como se esperaba, la cantidad de contaminación plástica se estabiliza alrededor de metros$1.5\cdot10^5$ cúbicos.

Figura 7.5.4. La solución$P(t)$ y el campo de pendiente para la ecuación diferencial$\frac{dP}{dt} = \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P)\text{.}$

Hay muchas lecciones importantes que aprender del Ejemplo 7.5.1. Lo más importante es cómo podemos desarrollar una ecuación diferencial pensando en el modelo de “tasa total = tasa de entrada - tasa de salida”. Además, observamos cómo podemos reunir toda nuestra comprensión disponible (trazar$\frac{dP}{dt}$ vs.$P\text{,}$ crear un campo de pendiente, resolver la ecuación diferencial) para ver cómo la ecuación diferencial describe el comportamiento de una cantidad cambiante.

También podemos explorar qué sucede cuando ciertos aspectos del problema cambian. Por ejemplo, supongamos que estamos en un momento en que la contaminación plástica que ingresa al lago Michigan se ha estabilizado en metros$1.5\cdot10^5$ cúbicos, y que se aprueba nueva legislación para evitar que este tipo de contaminación ingrese al lago. Entonces, ya no hay entrada de contaminación plástica al lago. ¿Cómo cambia ahora la cantidad de contaminación plástica en el lago Michigan? Por ejemplo, ¿cuánto tiempo tarda en reducirse a la mitad la cantidad de contaminación plástica en el lago?

Reiniciando$t=0$ en este momento, ahora tenemos el problema de valor inicial

\[ \frac{dP}{dt} = -\frac{1}{100}P, \ P(0) = 1.5\cdot10^5\text{.} \nonumber \]

Es un ejercicio sencillo y familiar encontrar que la solución a esta ecuación es$P(t) = 1.5\cdot10^5 e^{-t/100}\text{.}$ El tiempo que tarda la mitad de la contaminación en salir del lago viene dado por$T$ dónde$P(T) = 0.75\cdot10^5\text{.}$ Así, debemos resolver la ecuación

\[ 0.75\cdot10^5 = 1.5\cdot10^5e^{-T/100}\text{,} \nonumber \]

\[ \frac12 = e^{-T/100}\text{.} \nonumber \]

De ello se deduce que

\[ T = -100\,\ln\left(\frac12\right) \approx 69.3 \text{years.} \nonumber \]

En las próximas actividades, exploramos algunos otros escenarios naturales en los que las ecuaciones diferenciales modelan cantidades cambiantes.

Actividad 7.5.2

Supongamos que tienes una cuenta bancaria que crece un 5% cada año. Dejar$A(t)$ ser la cantidad de dinero en la cuenta en el año$t\text{.}$

¿Cuál es la tasa de cambio de$A$ con respecto a$t\text{?}$
Supongamos que también está retirando $10,000 anuales. Escribe una ecuación diferencial que exprese la tasa total de cambio de$A\text{.}$
Dibuje un campo de pendiente para esta ecuación diferencial, encuentre cualquier solución de equilibrio e identifíquelas como estables o inestables. Escribir una oración o dos que describa la significación de la estabilidad de la solución de equilibrio.
Supongamos que inicialmente deposita $100,000 en la cuenta. ¿Cuánto tiempo le toma agotar la cuenta?
¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesitarías tener en la cuenta para garantizar que nunca agotas el dinero en la cuenta?
Si tu depósito inicial es de 300.000 dólares, ¿cuánto podrías retirar cada año sin agotar la cuenta?

Actividad 7.5.3

Una dosis de morfina se absorbe del torrente sanguíneo de un paciente a una tasa proporcional a la cantidad en el torrente sanguíneo.

Escribir una ecuación diferencial para$M(t)\text{,}$ la cantidad de morfina en el torrente sanguíneo del paciente, utilizando$k$ como la proporcionalidad constante.
Suponiendo que la dosis inicial de morfina es$M_0\text{,}$ resolver el problema de valor inicial para encontrar$M(t)\text{.}$ Utilizar el hecho de que la vida media para la absorción de morfina es de dos horas para encontrar la constante$k\text{.}$
Supongamos que a un paciente se le administra morfina por vía intravenosa a razón de 3 miligramos por hora. Escribir una ecuación diferencial que combine la administración intravenosa de morfina con la absorción natural del cuerpo.
Encuentre cualquier solución de equilibrio y determine su estabilidad.
Suponiendo que inicialmente no haya morfina en el torrente sanguíneo del paciente, resuelva el problema de valor inicial para determinar$M(t)\text{.}$ ¿Qué pasa con$M(t)$ después de mucho tiempo?
¿A qué tasa debe un médico reducir la tasa intravenosa para que eventualmente haya 7 miligramos de morfina en el torrente sanguíneo del paciente?

7.5.2 Resumen

Las ecuaciones diferenciales surgen en una situación en la que entendemos cómo diversos factores hacen que una cantidad cambie.
Podemos usar las herramientas que hemos desarrollado hasta ahora (campos de pendiente, métodos de Euler y nuestro método para resolver ecuaciones separables) para comprender una cantidad descrita por una ecuación diferencial.