7.6: Crecimiento poblacional y ecuación logística

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo podemos usar ecuaciones diferenciales para modelar de manera realista el crecimiento de una población?
• ¿Cómo podemos evaluar la precisión de nuestros modelos?

El crecimiento de la población terrestre es uno de los temas apremiantes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? O tal vez se nivelará en algún momento, y si es así, ¿cuándo? En esta sección, analizamos dos formas en las que podemos usar ecuaciones diferenciales para ayudarnos a abordar estas preguntas.

Antes de comenzar, volvamos a considerar dos ecuaciones diferenciales importantes que hemos visto en trabajos anteriores de este capítulo.

Vista previa de la actividad 7.6.1

Recordemos que un modelo de crecimiento poblacional establece que una población crece a una tasa proporcional a su tamaño.

1. Comenzamos con la ecuación diferencial

   \[ \frac{dP}{dt} = \frac12 P\text{.} \nonumber \]

   Esboce un campo de pendiente debajo, así como algunas soluciones típicas en los ejes proporcionados.

   
2. Encuentre todas las soluciones de equilibrio de la ecuación\(\frac{dP}{dt} = \frac12 P\) y clasifíquelas como estables o inestables.
3. Si\(P(0)\) es positivo, describa el comportamiento a largo plazo de la solución para\(\frac{dP}{dt} = \frac12 P\text{.}\)
4. Consideremos ahora una ecuación diferencial modificada dada por
   \[ \frac{dP}{dt} = \frac 12 P(3-P)\text{.} \nonumber \]

   Como antes, esboce un campo de pendiente así como algunas soluciones típicas en los siguientes ejes proporcionados.

   
5. Encuentre cualquier solución de equilibrio y clasifíquelas como estables o inestables.
6. Si\(P(0)\) es positivo, describa el comportamiento a largo plazo de la solución.

7.6.1 La población terrestre

Ahora comenzaremos a estudiar la población de la tierra. Para comenzar, en el Cuadro 7.6.1 se encuentran algunos datos de la población terrestre en los últimos años que utilizaremos en nuestras investigaciones.

Cuadro 7.6.1. Algunos datos poblacionales recientes para el planeta Tierra.

Año	1998	1999	2000	2001	2002	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Pop (miles de millones)	\(5.932\)	\(6.008\)	\(6.084\)	\(6.159\)	\(6.234\)	\(6.456\)	\(6.531\)	\(6.606\)	\(6.681\)	\(6.756\)	\(6.831\)

Actividad 7.6.2

Nuestro primer modelo se basará en el siguiente supuesto:

La tasa de cambio de la población es proporcional a la población.

De cara a ello, esto parece bastante razonable. Cuando hay un número relativamente pequeño de personas, habrá menos nacimientos y defunciones por lo que la tasa de cambio será pequeña. Cuando haya un mayor número de personas, habrá más nacimientos y muertes por lo que esperamos una mayor tasa de cambio.

Si\(P(t)\) es la población\(t\) años después del año 2000, podemos expresar esta suposición como

\[ \frac{dP}{dt} = kP \nonumber \]

donde\(k\) es una constante de proporcionalidad.

1. Utilice los datos de la tabla para estimar la derivada\(P'(0)\) usando una diferencia central. Asumir que\(t=0\) corresponde al año 2000.
2. Cuál es la población\(P(0)\text{?}\)
3. Usa tus resultados de (a) y (b) para estimar la constante de proporcionalidad\(k\) en la ecuación diferencial.
4. Ahora que conocemos el valor de\(k\text{,}\) tenemos el problema de valor inicial
   \[ \frac{dP}{dt} = kP, \ P(0) = 6.084\text{.} \nonumber \]

   Encuentra la solución a este problema de valor inicial.

5. ¿Qué predice su solución para la población en el año 2010? ¿Esto se acerca a la población real que figura en la tabla?
6. ¿Cuándo su solución predice que la población alcanzará los 12 mil millones?
7. ¿Qué predice tu solución para la población en el año 2500?
8. ¿Crees que este es un modelo razonable para la población terrestre? ¿Por qué o por qué no? Explica tu pensamiento usando un par de oraciones completas.

Nuestro trabajo en la Actividad 7.6.2 muestra que el modelo exponencial es bastante exacto durante años relativamente cercanos al 2000. No obstante, si vamos demasiado lejos en el futuro, el modelo predice tasas de cambio cada vez más grandes, lo que hace que la población crezca arbitrariamente grande. Esto no tiene mucho sentido ya que no es realista esperar que la tierra pueda soportar a una población tan grande.

La constante\(k\) en la ecuación diferencial tiene una interpretación importante. Vamos a reescribir la ecuación diferencial\(\frac{dP}{dt} = kP\) resolviendo para\(k\text{,}\) que tengamos

\[ k = \frac{dP/dt}{P}\text{.} \nonumber \]

Vemos que\(k\) es la relación entre la tasa de cambio y la población; es decir, es la contribución a la tasa de cambio de una sola persona. A esto lo llamamos la tasa de crecimiento per cápita.

En el modelo exponencial que introdujimos en la Actividad 7.6.2, la tasa de crecimiento per cápita es constante. Esto quiere decir que cuando la población es grande, la tasa de crecimiento per cápita es la misma que cuando la población es pequeña. Es natural pensar que la tasa de crecimiento per cápita debería disminuir cuando la población se agranda, ya que no habrá suficientes recursos para apoyar a tanta gente. Esperamos que sea un modelo más realista asumir que la tasa de crecimiento per cápita depende de la población\(P\text{.}\)

En la actividad anterior, calculamos la tasa de crecimiento per cápita en un solo año calculando\(k\text{,}\) el cociente de\(\frac{dP}{dt}\) y\(P\) (que hicimos para\(t = 0\)). Si volvemos a los datos del Cuadro 7.6.1 y calculamos la tasa de crecimiento per cápita en un rango de años, generamos los datos mostrados en la Figura 7.6.2, que muestra cómo la tasa de crecimiento per cápita es una función de la población,\(P\text{.}\)

Figura 7.6.2. Una parcela de tasa de crecimiento per cápita vs. Población\(P\text{.}\)

A partir de los datos, vemos que la tasa de crecimiento per cápita parece disminuir a medida que aumenta la población. De hecho, los puntos parecen estar muy cerca de una línea, la cual se muestra en dos escalas diferentes en la Figura 7.6.3.

Figura 7.6.3. La línea que se aproxima al crecimiento per cápita en función de la población,\(P\text{.}\)

Mirando esta línea cuidadosamente, podemos encontrar que su ecuación es

\[ \frac{dP/dt}{P} = 0.025 - 0.002P\text{.} \nonumber \]

Si multiplicamos ambos lados por\(P\text{,}\) llegamos a la ecuación diferencial

\[ \frac{dP}{dt} = P(0.025 - 0.002P)\text{.} \nonumber \]

Graficando la\(dP/dt\) dependencia de la población\(P\text{,}\) vemos que esta ecuación diferencial demuestra una relación cuadrática entre\(\frac{dP}{dt}\) y\(P\text{,}\) como se muestra en la Figura 7.6.4.

Figura 7.6.4. Una gráfica de\(\frac{dP}{dt}\) vs.\(P\) para la ecuación diferencial\(\frac{dP}{dt} = P(0.025 - 0.002P)\text{.}\)

La ecuación\(\frac{dP}{dt} = P(0.025 - 0.002P)\) es un ejemplo de la ecuación logística, y es el segundo modelo de crecimiento poblacional que consideraremos. Esperamos que sea más realista, porque la tasa de crecimiento per cápita es una función decreciente de la población.

En efecto, la gráfica de la Figura 7.6.4 muestra que existen dos soluciones de equilibrio,\(P=0\text{,}\) que es inestable, y\(P=12.5\text{,}\) que es un equilibrio estable. El gráfico muestra que cualquier solución con eventualmente\(P(0) \gt 0\) se estabilizará alrededor de 12.5. Así, nuestro modelo predice que la población mundial eventualmente se estabilizará alrededor de 12.5 mil millones.

Una predicción del comportamiento a largo plazo de la población es una conclusión valiosa para extraer de nuestra ecuación diferencial. Sin embargo, también nos gustaría responder algunas preguntas cuantitativas. Por ejemplo, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a una población de 10 mil millones? Para responder a esta pregunta, necesitamos encontrar una solución explícita de la ecuación.

7.6.2 Resolver la ecuación diferencial logística

Como quisiéramos aplicar el modelo logístico en situaciones más generales, declaramos la ecuación logística en su forma más general,

\[ \frac{dP}{dt} = kP(N-P)\text{.}\label{yri}\tag{7.6.1} \]

Las soluciones de equilibrio aquí son\(P=0\) y\(1-\frac PN = 0\text{,}\) lo que demuestra que\(P=N\text{.}\) El equilibrio at\(P=N\) se llama la capacidad de carga de la población ya que representa la población estable que puede ser sostenida por el medio ambiente.

Ahora resolvemos la ecuación logística (7.6.1). La ecuación es separable, por lo que separamos las variables

\[ \frac{1}{P(N-P)}\frac{dP}{dt} = k\text{,} \nonumber \]

e integrar para encontrar que

\[ \int \frac{1}{P(N-P)}~dP = \int k~dt\text{.} \nonumber \]

Para encontrar el antiderivado a la izquierda, utilizamos la descomposición parcial de la fracción

\[ \frac{1}{P(N-P)} = \frac 1N\left[\frac 1P + \frac 1{N-P}\right]\text{.} \nonumber \]

Ahora estamos listos para integrarnos, con

\[ \int \frac 1N\left[\frac 1P + \frac 1{N-P}\right] ~dP = \int k~dt\text{.} \nonumber \]

A la izquierda, observamos que\(N\) es constante, así podemos eliminar un factor de\(\frac{1}{N}\) y antidiferenciar para encontrar que

\[ \frac 1N (\ln|P| - \ln|N-P|) = kt + C\text{.} \nonumber \]

Multiplicando ambos lados de esta última ecuación por\(N\) y usando una regla de logaritmos, a continuación encontramos que

\[ \ln\left|\frac{P}{N-P}\right| = kNt + C\text{.} \nonumber \]

A partir de la definición del logaritmo, reemplazando\(e^C\) con\(C\text{,}\) y dejando\(C\) absorber los signos de valor absoluto, ahora sabemos que

\[ \frac{P}{N-P} = Ce^{kNt}\text{.} \nonumber \]

En este punto, lo único que queda es determinar\(C\) y resolver algebraicamente para\(P\text{.}\)

Si la población inicial es\(P(0) = P_0\text{,}\) entonces se deduce que\(C = \frac{P_0}{N-P_0}\text{,}\) así

\[ \frac{P}{N-P} = \frac{P_0}{N-P_0}e^{kNt}\text{.} \nonumber \]

Vamos a resolver esta ecuación para\(P\) multiplicando ambos lados por\((N-P)(N-P_0)\) para obtener

\ begin {align*} P (N-P_0) &= P_0 (N-P) e^ {kNt}\\ [4pt] &= P_0Ne^ {kNt} - P_0Pe^ {kNt}\ text {.} \ end {align*}

Resolviendo para\(P_0Ne^{kNt}\text{,}\) expandir y factorizar, se deduce que

\ begin {align*} P_0Ne^ {kNt} &= P (N-P_0) + P_0 Pe^ {kNt}\\ [4pt] &= P (N-P_0 + P_0e^ {kNt})\ text {.} \ end {align*}

Dividiendo para resolver\(P\text{,}\) porque vemos que

\[ P = \frac{P_0Ne^{kNt}}{N-P_0 + P_0e^{kNt}}\text{.} \nonumber \]

Finalmente, elegimos multiplicar el numerador y el denominador por\(\frac{1}{P_0}e^{-kNt}\) para obtener

\[ P(t) = \frac{N}{\left(\frac{N-P_0}{P_0}\right) e^{-kNt} + 1}\text{.} \nonumber \]

Si bien eso fue mucho álgebra, fíjese en el resultado: hemos encontrado una solución explícita a la ecuación logística.

Solución a la Ecuación Logística

La solución al problema de valor inicial

\[ \frac{dP}{dt} = kP(N-P), \ P(0) = P_0\text{,} \nonumber \]

es

\[ P(t) = \frac{N}{\left(\frac{N-P_0}{P_0}\right) e^{-kNt} + 1}\text{.}\label{gnE}\tag{7.6.2} \]

Para la ecuación logística que describe la población terrestre con la que trabajamos anteriormente en esta sección, tenemos

\[ k=0.002, N= 12.5, \ \text{and} \ P_0 = 6.084\text{.} \nonumber \]

Esto da la solución

\[ P(t) = \frac{12.5}{1.0546e^{-0.025t} + 1}\text{,} \nonumber \]

cuya gráfica se muestra en la Figura 7.6.5.

Figura 7.6.5. La solución a la ecuación logística que modela la población terrestre.

El gráfico muestra a la población nivelándose en 12.5 mil millones, como esperábamos, y que la población rondará los 10 mil millones en el año 2050. Estos resultados, que hemos encontrado utilizando un modelo matemático relativamente simple, concuerdan bastante bien con las predicciones realizadas utilizando un modelo mucho más sofisticado desarrollado por las Naciones Unidas.

La ecuación logística es buena para modelar cualquier situación en la que sea posible un crecimiento limitado. Por ejemplo, podría modelar la propagación de un virus de la gripe a través de una población contenida en un crucero, la velocidad a la que se propaga un rumor dentro de un pequeño pueblo, o el comportamiento de una población animal en una isla. A través de nuestro trabajo en esta sección, hemos resuelto completamente la ecuación logística, independientemente de los valores de las constantes\(N\text{,}\)\(k\text{,}\) y\(P_0\text{.}\) cada vez que encontremos una ecuación logística, podemos aplicar la fórmula que encontramos en la Ecuación (7.6.2).

Actividad 7.6.3

Considerar la ecuación logística

\[ \frac{dP}{dt} = kP(N-P) \nonumber \]

con la gráfica de\(\frac{dP}{dt}\) vs.\(P\) mostrada en la Figura 7.6.6.

Figura 7.6.6. Parcela de\(\frac{dP}{dt}\) vs.\(P\text{.}\)

1. ¿A qué valor de\(P\) es mayor la tasa de cambio?
2. Consideremos el modelo para la población terrestre que creamos. ¿A qué valor de\(P\) es mayor la tasa de cambio? ¿Cómo se compara eso con la población de los últimos años?
3. Según el modelo que desarrollamos, ¿cuál será la población en el año 2100?
4. Según el modelo que desarrollamos, ¿cuándo llegará la población a los 9 mil millones?
5. Consideremos ahora la solución general al problema general del valor inicial logístico que encontramos, dado por
   \[ P(t) = \frac{N}{\left(\frac{N-P_0}{P_0}\right)e^{-kNt} + 1}\text{.} \nonumber \]

   Verificar algebraicamente eso\(P(0) = P_0\) y aquello\(\lim_{t\to\infty} P(t) = N\text{.}\)

7.6.3 Resumen

• Si asumimos que la tasa de crecimiento de una población es proporcional a la población, nos llevan a un modelo en el que la población crece sin límite y a un ritmo que crece sin ataduras.
• Al asumir que la tasa de crecimiento per cápita disminuye a medida que crece la población, nos llevan al modelo logístico de crecimiento poblacional, que predice que la población eventualmente se estabilizará a la capacidad de carga.