6.4: Fracciones Parciales

En las dos últimas secciones se simplificaron las integrales que involucran funciones trigonométricas mediante el uso de diversas identidades trigonométricas. Para integrales de funciones racionales, cocientes de polinomios, algunas identidades algebraicas (p. ej.\(x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)\)) serán útiles en el método de fracciones parciales. La idea detrás de este método es simple: reemplazar una función racional complicada por otras más simples que sean fáciles de integrar.

Por ejemplo, no existe una fórmula para evaluar la integral

\[\int \frac{\dx}{x^2 + x}\]pero fíjate que puedes escribir

\[\frac{1}{x^2 + x} ~=~ \frac{1}{x\,(x+1)} ~=~ \frac{1}{x} ~-~ \frac{1}{x+1} ~,\]llamado la descomposición parcial de la fracción de\(\frac{1}{x^2 + x}\), por lo que

\[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{x^2 + x} ~&=~ \int \left(\frac{1}{x} ~-~ \frac{1}{x+1}\right)~\dx\

\ [6pt] &=~\ ln\,\ abs {x} ~-~\ ln\,\ abs {x+1} ~+~ C ~. \ end {aligned}\] Hay una manera sistemática de encontrar esta descomposición. Primero, supongamos que

\[\frac{1}{x\,(x+1)} ~=~ \frac{A}{x} ~+~ \frac{B}{x+1}\]para algunas constantes\(A\) y\(B\). Obtener un denominador común en el lado derecho:

\[\begin{aligned} \frac{1}{x\,(x+1)} ~&=~ \frac{A\,(x+1) ~+~ Bx}{x\,(x+1)}\

\ [4pt]\ frac {0x ~+~ 1} {x\, (x+1)} ~&=~\ frac {(A + B)\, x ~+~ A} {x\, (x+1)}\ end {alineado}\] Ahora equiparan coeficientes en los numeradores de ambos lados para resolver para\(A\) y\(B\):

\[\begin{aligned} {3} \text{constant term}&: & A ~&=~ 1\\ \text{coefficient of $x$}&: \quad & A ~+~ B ~&=~ 0 \quad\Rightarrow\quad B ~=~ -A ~=~ -1\end{aligned}\]Por lo tanto,

\[\frac{1}{x\,(x+1)} ~=~ \frac{A}{x} ~+~ \frac{B}{x+1} ~=~ \frac{1}{x} ~+~ \frac{-1}{x+1} ~=~ \frac{1}{x} ~-~ \frac{1}{x+1}\]como antes. El método de la fracción parcial se puede discutir en general, y sus suposiciones resultaron ⁴, pero aquí solo se considerarán los casos más simples, factores lineales y cuadráticos. En todos los casos se asumirá que el grado del polinomio en el numerador de la función racional es menor que el grado del polinomio en el denominador.

Comienza con el caso más básico, similar al ejemplo anterior:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): partfrac1

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(~\displaystyle\int \frac{\dx}{x^2 - 7x + 10}~\).

Solución: Desde\(x^2 - 7x + 10 = (x-2)\,(x-5)\) entonces

\[\begin{aligned} \frac{1}{x^2 - 7x + 10} ~=~ \frac{1}{(x-2)\,(x-5)} ~&=~ \frac{A}{x-2} ~+~ \frac{B}{x-5}\

\ [4pt] &=~\ frac {(A+B)\, x ~+~ (-5A - 2B)} {(x-2)\, (x-5)}\ end {alineado}\] para que

\[\begin{aligned} {3} \text{coefficient of $x$}&: \quad & A ~+~ B ~&=~ 0 \quad\Rightarrow\quad B ~=~ -A\\ \text{constant term}&: & -5A ~-~ 2B ~&=~ 1 \quad\Rightarrow\quad -5A ~+~ 2A ~=~ 1 \quad\Rightarrow\quad A ~=~ -\frac{1}{3} ~~\text{and}~~ B ~=~ \frac{1}{3}\end{aligned}\]Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{x^2 - 7x + 10} ~&=~ \int \left(\frac{-\frac{1}{3}}{x-2} ~+~ \frac{\frac{1}{3}}{x-5} \right)~\dx\

\ [6pt] &=~ -\ frac {1} {3}\,\ ln\,\ abs {x-2} ~+~\ frac {1} {3}\,\ ln\,\ abs {x-5} ~+~ C\ final {alineado}\]

Si un factor lineal en el denominador se repite más de una vez, y todos los demás factores son distintos, entonces use la siguiente descomposición:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): partfrac2

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(~\displaystyle\int \frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2}\;\dx~\).

Solución: Desde\(x^3 + x^2 = x^2\,(x+1)\) entonces

\[\begin{aligned} \frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2} ~=~ \frac{x^2 + x - 1}{x^2\,(x+1)} ~&=~ \frac{A}{x} ~+~ \frac{B}{x^2} ~+~ \frac{C}{x+1}\

\ [4pt] &=~\ frac {Ax\, (x+1) ~+~ B\, (x+1) ~+~ Cx^2} {x^2\, (x+1)}\

\ [4pt] &=~\ frac {(A+C)\, x^2 ~+~ (A+B)\, x ~+~ B} {x^2\, (x+1)}\ end {alineado}\] para que

\[\begin{aligned} {3} \text{constant term}&: & B ~&=~ -1\\ \text{coefficient of $x$}&: \quad & A ~+~ B ~&=~ 1 \quad\Rightarrow\quad A ~=~ 1 ~-~ B ~~=~ 2\\ \text{coefficient of $x^2$}&: \quad & A ~+~ C ~&=~ 1 \quad\Rightarrow\quad C ~=~ 1 ~-~ A ~=~ -1\end{aligned}\]Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \int \frac{x^2 + x - 1}{x^3 + x^2}\;\dx ~&=~ \int \left(\frac{2}{x} ~+~ \frac{-1}{x^2} ~+~ \frac{-1}{x+1} \right)~\dx\

\ [6pt] &=~ 2\,\ ln\,\ abs {x} ~+~\ frac {1} {x} ~-~\ ln\,\ abs {x+1} ~+~ C_0\ quad\ text {($C_0 =~$ constante genérica)}\ end {alineada}\]

El caso 2 se puede extender a más de un factor repetido: la descomposición parcial de la fracción tendría entonces más términos similares a los del primer factor repetido.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): partfrac3

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(~\displaystyle\int \frac{\dx}{x^2\,(x+1)^2}~\).

Solución: Ampliar el Caso 2 a dos factores repetidos,

\[\begin{aligned} \frac{1}{x^2\,(x+1)^2} ~&=~ \frac{A}{x} ~+~ \frac{B}{x^2} ~+~ \frac{C}{x+1} ~+~ \frac{D}{(x+1)^2}\

\ [4pt] &=~\ frac {Ax\, (x+1) ^2 ~+~ B\, (x+1) ^2 ~+~ Cx^2\, (x+1) ~+~ Dx^2} {x^2\, (x+1) ^2}\

\ [4pt] &=~\ frac {(A+C)\, x^3 ~+~ (2A+B+C+D)\, x^2 ~+~ (A+2B)\, x ~+~ B} {x^2\, (x+1)}\ end {alineado}\] para que

\[\begin{aligned} {3} \text{constant term}&: & B ~&=~ 1\\ \text{coefficient of $x$}&: \quad & A ~+~ 2B ~&=~ 0 \quad\Rightarrow\quad A ~=~ -2B ~~=~ -2\\ \text{coefficient of $x^3$}&: \quad & A ~+~ C ~&=~ 0 \quad\Rightarrow\quad C ~=~ -A ~~=~ 2\\ \text{coefficient of $x^2$}&: \quad & 2A ~+~ B ~+~ C ~+~ D ~&=~ 0 \quad\Rightarrow\quad D ~=~ -2A ~-~ B ~-~ C ~=~ 1\end{aligned}\]Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{x^2\,(x+1)^2} ~&=~ \int \left(\frac{-2}{x} ~+~ \frac{1}{x^2} ~+~ \frac{2}{x+1} ~+~ \frac{1}{(x+1)^2}\right)~\dx\

\ [6pt] &=~ -2\,\ ln\,\ abs {x} ~-~\ frac {1} {x} ~+~ 2\,\ ln\,\ abs {x+1} ~-~\ frac {1} {x+1} ~+~ C_0\ quad\ text {($C_0 =~$ constante genérica)}\ end {alineado}\]

Las descomposiciones de fracciones parciales para los factores cuadráticos son similares a las de los factores lineales, excepto que los numeradores en cada fracción parcial ahora pueden contener términos lineales. Un factor de la forma\(ax^2 + bx + c\) se considera cuadrático solo si no puede ser factorizado en un producto de términos lineales (es decir, no tiene raíces reales) y\(a \ne 0\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): partfrac4

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(~\displaystyle\int \frac{\dx}{(x^2+1)\,(x^2+4)}~\).

Solución: Ni\(x^2 + 1\) tampoco\(x^2 + 4\) tiene raíces reales, así que por el Caso 3,

\[\begin{aligned} \frac{1}{(x^2+1)\,(x^2+4)} ~&=~ \frac{Ax+B}{x^2+1} ~+~ \frac{Cx+D}{x^2+4}\

\ [4pt] &=~\ frac {(Ax+B)\, (x^2+4) ~+~ (Cx+D)\, (x^2+1)} {(x^2+1)\, (x^2+4)}\

\ [4pt] &=~\ frac {(A+C)\, x^3 ~+~ (B+D)\, x^2 ~+~ (4A+C)\, x ~+~ (4B+D)} {(x^2+1)\, (x^2+4)}\ end {alineado}\] para que

\[\begin{aligned} {3} \text{coefficient of $x^3$}&: \quad & A ~+~ C ~&=~ 0 \quad\Rightarrow\quad C ~=~ -A\\ \text{coefficient of $x^2$}&: \quad & B ~+~ D ~&=~ 0 \quad\Rightarrow\quad D ~=~ -B\\ \text{coefficient of $x$}&: \quad & 4A ~+~ C ~&=~ 0 \quad\Rightarrow\quad 4A ~-~ A ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad A ~=~ 0\\ \text{constant term}&: & 4B ~+~ D ~&=~ 1 \quad\Rightarrow\quad 4B ~-~ B ~=~ 1 \quad\Rightarrow\quad B ~=~ \frac{1}{3} ~~\text{and}~~ D ~=~ -\frac{1}{3}\end{aligned}\]Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{(x^2+1)\,(x^2+4)} ~&=~ \int \left(\frac{\frac{1}{3}}{x^2+1} ~+~ \frac{-\frac{1}{3}}{x^2+4}\right)~\dx\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {3}\,\ tan^ {-1} x ~-~\ frac {1} {6}\,\ tan^ {-1}\ left (\ frac {x} {2}\ right) ~+~ C_0\ end {alineado}\] por fórmula ([eqn:atanint]) en la Sección 5.4.

Un factor cuadrático repetido se maneja de la misma manera que un factor lineal repetido:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): partfrac5

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(~\displaystyle\int \frac{\dx}{(x^2+1)^2\,(x^2+4)}~\).

Solución: Ni\(x^2 + 1\) tampoco\(x^2 + 4\) tiene raíces reales, y\(x^2 + 1\) se repite, así por el Caso 4,

\[\begin{aligned} \frac{1}{(x^2+1)^2\,(x^2+4)} ~&=~ \frac{Ax+B}{x^2+1} ~+~ \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2} ~+~ \frac{Ex+F}{x^2+4}\

\ [4pt] &=~\ frac {(Ax+B)\, (x^2+1)\, (x^2+4) ~+~ (Cx+D)\, (x^2+4) ~+~ (Ex+F)\, (x^2+1) ^2} {(x^2+1)\, (x^2+4)}\ end {alineado}\] con la derecha lado de la ecuación expandida como

\[\frac{(A+E)\,x^5 ~+~ (B+F)\,x^4 ~+~ (5A+C+2E)\,x^3 ~+~ (5B+D+2F)\,x^2 ~+~ (4A+4C+E)\,x ~+~ (4B+4D+F)}{(x^2+1)^2\,(x^2+4)}\]de manera que equiparar coeficientes de ambos lados da

\[\begin{aligned} {3} \text{coefficient of $x^5$}&: \quad & A \;+\; E \;&=\; 0 \quad\Rightarrow\quad E \;=\; -A\\ \text{coefficient of $x^4$}&: \quad & B \;+\; F \;&=\; 0 \quad\Rightarrow\quad F \;=\; -B\\ \text{coefficient of $x^3$}&: \quad & 5A \;+\; C \;+\; 2E \;&=\; 0 \quad\Rightarrow\quad 5A \;+\; C \;-\; 2A \;=\; 0 \quad\Rightarrow\quad C \;=\; -3A\\ \text{coefficient of $x^2$}&: \quad & 5B \;+\; D \;+\; 2F \;&=\; 0 \quad\Rightarrow\quad 5B \;+\; D \;-\; 2F \;=\; 0 \quad\Rightarrow\quad D \;=\; -3B\\ \text{coefficient of $x$}&: \quad & 4A \;+\; 4C \;+\; E \;&=\; 0 \quad\Rightarrow\quad 4A \;-\; 12A \;-\; A \;=\; 0 \enskip\Rightarrow\enskip A \;=\; 0 \enskip\Rightarrow\enskip C \;=\; 0 ~~\text{and}~~ E \;=\; 0\\ \text{constant term}&: \quad & 4B \;+\; 4D \;+\; F \;&=\; 1 \quad\Rightarrow\quad 4B \;-\; 12B \;-\; B \;=\; 1 \enskip\Rightarrow\enskip B \;=\; -\frac{1}{9} \enskip\Rightarrow\enskip D \;=\; \frac{1}{3} ~~\text{and}~~ F \;=\; \frac{1}{9}\end{aligned}\]Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \int \frac{\dx}{(x^2+1)^2\,(x^2+4)} ~&=~ \int \left(\frac{-\frac{1}{9}}{x^2+1} ~+~ \frac{\frac{1}{3}}{(x^2+1)^2} ~+~ \frac{\frac{1}{9}}{x^2+4}\right)~\dx\

\ [6pt] &=~ -\ frac {1} {9}\,\ tan^ {-1} x ~+~\ frac {1} {3}\,\ left (\ frac {1} {2}\,\ tan^ {-1} x ~+~\ frac {x} {2\, (x^2 + 1)}\ derecha) ~+~\ frac {1} {18}\,\ tan^ {-1}\ izquierda (\ frac {x} {2}\ derecha) ~+~ C_0\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {18}\,\ tan^ {-1} x ~+~\ frac {x} {6\, (x^2 + 1)} ~+~\ frac {1} {18}\,\ tan^ {-1}\ izquierda (\ frac {x} {2}\ derecha) ~+~ C_0\ end {alineado}\] donde la integral media a la derecha es de Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): trigsub2

Agrega texto aquí.

Solución

en la Sección 6.3.

Cuando una función racional tiene un numerador con grado mayor que su denominador, dividir el numerador por el denominador deja la suma de un polinomio y una nueva función racional quizás satisfaciendo las condiciones para los Casos 1-4. Cuando el numerador y el denominador tienen el mismo grado, un truco como este podría ser más fácil.

\[\frac{x^2 + 2}{(x+1)\,(x+2)} ~=~ \frac{(x^2 + 3x + 2) - 3x}{(x+1)\,(x+2)} ~=~ \frac{x^2 + 3x + 2}{(x+1)\,(x+2)} ~-~ \frac{3x}{(x+1)\,(x+2)} ~=~ 1 ~-~ \frac{3x}{(x+1)\,(x+2)}\]La última función racional de la derecha se puede integrar utilizando fracciones parciales. [sec6dot4]

Para los Ejercicios 1-12, evaluar la integral dada.

4

\(\displaystyle\int \frac{\dx}{x^2 - x}\)

\(\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2 - x}\;\dx\)

\(\displaystyle\int \frac{\dx}{2x^2 + 3x - 2}\)

\(\displaystyle\int \frac{\dx}{x^2 + x - 6}\)

4

\(\displaystyle\int \frac{\dx}{x^4 - x^2}\vphantom{\displaystyle\int \frac{x^2}{(x-1)^2}}\)

\(\displaystyle\int \frac{x}{(x - 2)^3}\;\dx\vphantom{\displaystyle\int \frac{x^2}{(x-1)^2}}\)

\(\displaystyle\int \frac{x-1}{x^2\,(x+1)}\;\dx\vphantom{\displaystyle\int \frac{x^2}{(x-1)^2}}\)

\(\displaystyle\int \frac{x^2}{(x-1)^2}\;\dx\)

4

\(\displaystyle\int \frac{x-2}{x^2\,(x-1)^2}\;\dx\vphantom{\displaystyle\int \frac{(x-1)^2}{(x^2 + 1)^2}}\)

\(\displaystyle\int \frac{\dx}{x^4 - x^2}\vphantom{\displaystyle\int \frac{(x-1)^2}{(x^2 + 1)^2}}\)

\(\displaystyle\int \frac{\dx}{x^4 + 5x^2 + 4}\vphantom{\displaystyle\int \frac{(x-1)^2}{(x^2 + 1)^2}}\)

\(\displaystyle\int \frac{(x-1)^2}{(x^2 + 1)^2}\;\dx\)

[[1.] ]

Para todos los números\(a \ne b\) muestran que

\[\int \frac{\dx}{(x-a)\,(x-b)} ~=~ \frac{1}{a-b}\,\ln\;\ABS{\frac{x-a}{x-b}} ~+~ C ~.\]

Vamos\(q(x) \;=\; (x-a_1)\,(x-a_2)\), dónde\(a_1 \ne a_2\). Demostrar que

\[\frac{q'(x)}{q(x)} ~=~ \frac{1}{x-a_1} ~+~ \frac{1}{x-a_2} ~.\]

Pues\(q(x)\) como en el Ejercicio 14, demuestre que

\[\frac{1}{q(x)} ~=~ \frac{1}{q'(a_1)\,(x-a_1)} ~+~ \frac{1}{q'(a_2)\,(x-a_2)} ~.\]

Extender el Ejercicio 15 a tres factores lineales distintos: si\(q(x) \;=\; (x-a_1)\,(x-a_2)\,(x-a_3)\,\) entonces

\[\frac{1}{q(x)} ~=~ \frac{1}{q'(a_1)\,(x-a_1)} ~+~ \frac{1}{q'(a_2)\,(x-a_2)} ~+~ \frac{1}{q'(a_3)\,(x-a_3)}~.\]Este resultado se puede extender a cualquier factor\(n \ge 2\) distinto, aunque no es necesario probarlo.

2

Encuentra\(~\dfrac{d^{100}}{\dx^{100}}\;\left(\dfrac{1}{x^2 - 9x + 20}\right)\;\).

Encuentra\(~\dfrac{d^{2020}}{\dx^{2020}}\;\left((x^2 - 1)^{-1}\right)\;\).

Es posible utilizar una forma de fracciones parciales para evaluar integrales que no son funciones racionales. Por ejemplo, evaluar la integral

\[\int \frac{\dx}{x + x^{4/3}}\]encontrando constantes\(A\),\(B\) y de\(C\) tal manera que

\[\frac{1}{x + x^{4/3}} ~=~ \frac{1}{x\,(1 + x^{1/3})} ~=~ \frac{A}{x} ~+~ \frac{B\,x^{-2/3} + C}{1 + x^{1/3}} ~.\]Observe cómo en la segunda fracción parcial la mayor potencia de\(x\) en el numerador es una menor que en el denominador, similar a una fracción parcial para un factor cuadrático en una función racional. [[1.] ]

Encontrar una manera diferente de evaluar la integral en el Ejercicio 19.