8.1: Área entre curvas

El “área bajo una curva” se definió en el Capítulo 5 como el área por debajo de alguna curva\(y=f(x)\) y por encima del\(x\) eje en algún intervalo. Ese fue un caso especial del área entre curvas, donde en general una curva no necesariamente\(y=f_1(x)\) está siempre por encima de otra curva\(y=f_2(x)\) en todo el intervalo, como en la Figura [fig:areacurves] para un intervalo\(\ival{a}{b}\).

El área\(A\) de la región entre las curvas de la Figura [fig:areacurves] no puede ser negativa. Así, un elemento típico de área infinitesimal\(\dA\) de la región es de la forma\(h(x)\,\dx\), donde la función height\(h(x)\) es la diferencia no negativa en las\(y\) coordenadas -de las curvas en cada una\(x\) en\(\ival{a}{b}\):\(h(x) = \Abs{f_1(x) - f_2(x)}\). Por lo tanto:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): areacurves1

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el área entre\(y=e^{x}\) y\(y=e^{-x}\) más\(\ival{0}{2}\).

Solución: Dado que\(e^x \ge e^{-x}\) for\(x\) in\(\ival{0}{2}\), la función de altura\(h(x)\) para la región entre las curvas sobre\(\ival{0}{2}\) es\(h(x)=\Abs{e^x - e^{-x}}=e^x - e^{-x}\). El área\(A\) de la región es así

\[\begin{aligned} A ~&=~ \int_0^2 ~(e^x - e^{-x})~\dx\

\ [4pt] &=~ e^x + e^ {-x} ~\ Biggr|_0^2 ~=~ e^2 + e^ {-2} ~-~ (1 + 1)\\ &=~ 2\, (\ cosh\ ,2\; -\; 1) ~. \ end {alineado}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): areacurves2

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el área de la región delimitada por\(y=x^2\) y\(y=x\).

Solución: Una región “delimitada” siempre significará una región de área finita, a diferencia de regiones no delimitadas. Las curvas\(y=x^2\) y se\(y=x\) cruzan en\(x=0\) y\(x=1\), así la región que las curvas enlazan es la región sombreada que se muestra en la figura de la derecha. Desde\(x \ge x^2\) para\(0 \le x \le 1\), entonces la función de altura para la región es\(h(x)=\abs{x^2-x}=x-x^2\). El área de la región\(A\) es entonces

\[\begin{aligned} A ~&=~ \int_0^1 ~(x - x^2)~\dx\

\ [4pt] &=~\ frac {1} {2}\, x -\ frac {1} {3}\, x^2~\ Biggr|_0^1 ~=~\ frac {1} {2} -\ frac {1} {3} ~=~\ frac {1} {6} ~. \ end {alineado}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): areacurves3

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el área de la región delimitada por una\(y=\sin\,x\) y\(y=\cos\,x\) otra vez\(\ival{0}{\pi/3}\).

Solución: Como se muestra en la figura de la derecha, las curvas se cruzan en\(x=\tfrac{\pi}{4}\), y\(\cos\,x \ge \sin\,x\) para\(0 \le x \le \tfrac{\pi}{4}\), mientras\(\sin\,x \ge \cos\,x\) para\(\tfrac{\pi}{4} \le x \le \tfrac{\pi}{3}\). Por lo tanto, el área\(A\) de la región debe dividirse en dos integrales:

\[\begin{aligned} A ~&=~ \int_0^{\pi/3}~\abs{\sin\,x \;-\; \cos\,x}~\dx\\ &=~ \int_0^{\pi/4} ~(\cos\,x \;-\; \sin\,x)~\dx ~+~ \int_{\pi/4}^{\pi/3} ~(\sin\,x \;-\; \cos\,x)~\dx\\ &=~ \left(\sin\,x \;+\; \cos\,x~\Biggr|_0^{\pi/4}\right) ~+~ \left(-\cos\,x \;-\; \sin\,x~\Biggr|_{\pi/4}^{\pi/3}\right)\

\ [4pt] &=~\ izquierda (\ frac {1} {\ sqrt {2}} +\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ derecha) ~-~ (0 - 1) ~+~\ izquierda (-\ frac {1} {2} -\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ derecha) ~-~\ izquierda (-\ frac {\ frac {3}} {2}\ derecha) ~-~\ izquierda (-\ frac {\ {1} {\ sqrt {2}} -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ derecha)\

\ [4pt] &=~\ frac {4\ sqrt {2} - 3 -\ sqrt {3}} {2}\ end {alineado}\]

La fórmula ([eqn:areacurves]) se puede extender para encontrar el área entre cualquier número de curvas, dividiendo la integral sobre subintervalos con diferentes funciones de altura.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): areacurves4

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el área de la región delimitada por\(y=6-x^2\),\(y=x\) y por\(y=-5x\) encima del\(x\) eje.

Solución: Como se muestra en la figura de la derecha, por encima del\(x\) eje la curva\(y=6-x^2\) cruza la línea\(y=x\) en\(x=2\) e interseca la línea\(y=-5x\) en\(x=-1\). Dado que una\(\ival{-1}{0}\) y\(6-x^2 \ge -5x\)\(6-x^2 \ge x\) otra vez\(\ival{0}{2}\), el área\(A\) de la región sombreada debe dividirse en dos integrales:

\[\begin{aligned} A ~&=~ \int_{-1}^0~\Abs{6 - x^2 - (-5x)}~\dx ~+~ \int_{0}^2~\Abs{6 - x^2 - x}~\dx\\ &=~ \int_{-1}^0~(6 - x^2 + 5x)~\dx ~+~ \int_{0}^2~(6 - x^2 - x)~\dx\\ &=~ \left(6x -\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2~\Biggr|_{-1}^{0}\right) ~+~ \left(6x -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2~\Biggr|_{0}^{2}\right)\

\ [4pt] &=~ 0 ~-~\ izquierda (-6 +\ frac {1} {3} +\ frac {5} {2}\ derecha) ~+~\ izquierda (12 -\ frac {8} {3} - 2\ derecha) ~-~ 0 ~=~\ frac {21} {2}\ final {alineado}\]

Para algunas áreas entre curvas podría ser más fácil cambiar los roles de\(x\) y\(y\), de modo que en lugar de una función de altura vertical usaría una función de ancho horizontal.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): areacurves5

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el área de la región delimitada por\(x=y^2-2\) y\(y=x\).

Solución: Como se muestra en la figura de la derecha, la parábola\(x=y^2-2\) cruza la línea\(y=x\) en\(x=-1\) y\(x=2\). La región tiene diferentes funciones de altura\(h(x)\) para\(-2 \le x \le -1\) y\(-1 \le x \le 2\), por lo que se requerirían dos integrales para el área\(A\). Sin embargo, observe que la función width\(w(y)\) tiene una definición en toda la región entre las curvas\(x=y^2-2\) y\(x=y\):\(w(y) = \Abs{y - (y^2-2)} = y - (y^2 -2)\). Así, en lugar de integrar las bandas verticales\(\dA = h(x)\,\dx\) a lo largo del\(x\) eje -eje, integre las tiras horizontales\(\dA = w(y)\,\dy\) a lo largo del\(y\) eje -eje, desde\(y=-1\) hasta\(y=2\):

\[\begin{aligned} A ~&=~ \int_{-1}^2~w(y)~\dy ~=~ \int_{-1}^2\Abs{y - (y^2 - 2)}~\dy\\ &=~ \int_{-1}^2 (y - (y^2 - 2))~\dy\\ &=~ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3 + 2y~\Biggr|_{-1}^{2}\

\ [4pt] &=~\ izquierda (2 -\ frac {8} {3} + 4\ derecha) ~-~\ izquierda (\ frac {1} {2} +\ frac {1} {3} - 2\ derecha) ~=~\ frac {9} {2}\ end {alineado}\]

El área entre curvas dada por ecuaciones polares se puede encontrar de manera similar. Por ejemplo, considere las curvas\(r=r_1(\theta)\) y\(r=r_2(\theta)\) con\(r_1(\theta) \ge r_2(\theta)\) cuando\(\alpha \le \theta \le \beta\) como en la Figura [fig:areacurvespolar]. El área\(A\) de la región entre las curvas y esos ángulos es simplemente la diferencia entre las áreas “externa” e “interna”, cada una dada por la fórmula ([eqn:polararea]):

\[A ~=~ \int_{\alpha}^{\beta} \tfrac{1}{2}\,r_1^2 \dtheta ~-~ \int_{\alpha}^{\beta} \tfrac{1}{2}\,r_2^2 \dtheta ~=~ \int_{\alpha}^{\beta} \tfrac{1}{2}\,(r_1^2 - r_2^2)~\dtheta\]En general, para incluir los casos en los que las curvas “exterior” e “interior” cambian de posición, tome el valor absoluto de la diferencia:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): areacurves6

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el área entre\(r=1+\cos\,\theta\) y\(r=1-\cos\,\theta\) para\(\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}\).

Solución: Dejar\(r_1(\theta)=1+\cos\,\theta\) y\(r_2(\theta)=1-\cos\,\theta\). Ya que\(r_1(\theta) > r_2(\theta)\) para\(\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}\), el área\(A\) de la región (que se muestra en la figura de la derecha) es

\[\begin{aligned} A ~&=~ \int_{\pi/6}^{\pi/3} \tfrac{1}{2}\,\Abs{r_1^2 - r_2^2}~\dtheta ~=~ \int_{\pi/6}^{\pi/3} \tfrac{1}{2}\,((1+\cos\,\theta)^2 - (1-\cos\,\theta)^2)~\dtheta\\ &=~ \int_{\pi/6}^{\pi/3} 2\,\cos\,\theta~\dtheta ~=~ 2\,\sin\,\theta~\Biggr|_{\pi/6}^{\pi/3} ~=~ 2\,\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) ~=~ \sqrt{3} \;-\; 1\end{aligned}\]

La integración de Montecarlo es una técnica para aproximar el área de una región tomando un gran número de puntos aleatorios en un rectángulo que encierra la región (ver Figura [fig:montecarloarea]). La idea es simple:

\[\frac{\text{\# of points in the region}}{\text{\# of points in the rectangle}} ~\approx~ \frac{\text{area of the region}}{\text{area of the rectangle}}\]Por ejemplo, si\(20\%\) de los puntos aleatorios en el rectángulo caen dentro de la región, entonces, por aleatoriedad, esperaría que el área de la región sea aproximadamente\(20\%\) del área del rectángulo. Cuantos más puntos aleatorios tomes, mejor es la aproximación. Dado que se conoce el área del rectángulo, así como el número de puntos aleatorios dentro de la región y el rectángulo, el área de la región es fácil de aproximar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): montecarloarea

Agrega texto aquí.

Solución

Utilice la integración de Monte Carlo para aproximar el área de la región en el primer cuadrante por encima de las curvas\(y=e^{x^2}\) y\(y=2\,\cos\,x^2\), y dentro del círculo\(x^2+y^2=9\).

Solución: La región es el área sombreada que se muestra en la figura de la derecha, encerrada en un rectángulo de ancho\(2\) y alto\(3\). El área del rectángulo es\(6\), y un punto\((x,y)\) en el rectángulo está dentro de la región si solo se cumplen las siguientes condiciones:

\[y ~>~ e^{x^2} \quad\text{and}\quad y ~>~ 2\,\cos\,x^2 \quad\text{and}\quad x^2 + y^2 ~<~ 9\]Observe que estas condiciones son todas en forma de desigualdades. La integración de Montecarlo es entonces simple de realizar en Octave, usando 10 millones de puntos aleatorios:

octave> N = 1e7;
octave> x = 2*rand(1,N);
octave> y = 3*rand(1,N);
octave> 6*(sum(y > exp(x.^2) & y > 2*cos(x.^2) & x.^2 + y.^2 < 9))/N
ans = 0.94612

El valor real, con una precisión de 5 posiciones decimales, es 0.94606.

El comando rand (1, N) devuelve una matriz de N números aleatorios entre\(0\) y\(1\). Entonces la sentencia x = 2*rand (1, N) almacena N números aleatorios entre\(0\) y\(2\) en una matriz para las\(x\) coordenadas -y la sentencia y = 3*rand (1, N) almacena N números aleatorios entre\(0\) y\(3\) en una matriz para el \(y\)-coordenadas. La sentencia y > exp (x.2) devuelve un valor de\(1\) si\(y > e^{x^2}\) se cumple la condición, en\(0\) caso contrario. De igual manera para los estados y > 2*cos (x.2) y x.2 + y.2 < 9. Unir esas tres declaraciones con & símbolos devuelve un valor de\(1\) si se cumplen las tres condiciones, de\(0\) lo contrario. Por lo tanto, el comando sum cuenta cuántos de los N puntos están dentro de la región. Dividiendo ese conteo por N da la relación de puntos dentro de la región, luego multiplicando por\(6\) (el área del rectángulo) da el área aproximada de la región.

Tenga en cuenta que el tamaño del rectángulo puede afectar la aproximación; generalmente, cuanto más grande sea el rectángulo, más puntos se deben usar. Obsérvese también en este ejemplo que encontrar el área mediante el uso de integrales definidas requeriría métodos de integración numérica, ya que\(f(x)=e^{x^2}\) y\(f(x)=2\,\cos\,x^2\) no se puede integrar en forma cerrada. De hecho, incluso encontrar los puntos de intersección de las tres curvas, para dividir las integrales, requeriría un método numérico de búsqueda de raíces (por ejemplo, el método de Newton).

[sec8dot1]

Para los Ejercicios 1-6, encuentra el área de la región delimitada por las curvas dadas.

3

\(y = x^2\)y\(y = 2x + 3\)

\(x = -y^2 + 2y\)y\(x = 0\)

\(y = x^2 - 1\)y\(y = x^3 - 1\)

3

\(y = x^4\)y\(y = x\)

\(x = y^2\)y\(x = y + 2\)

\(y = 4 - 4x^2\)y\(y = 1 - x^2\)

Encuentra el área entre\(y = 4x - x^2\) y\(y = x\) más\(\ival{0}{4}\).

Encuentra el área entre\(y=\cosh\,x\) y\(y=\sinh\,x\) más\(\lival{0}{\infty}\).

Encontrar el área de la región definida por las desigualdades\(0 \le x \le y - x \le 1 - y \le 1\).

Encuentra el área entre\(r=1+\cos\,\theta\) y\(r=2+2\cos\,\theta\).

Encuentra el área entre\(r=1+\cos\,\theta\) y\(r=2+\cos\,\theta\). [[1.] ]

Encuentra el área de la región en el primer cuadrante entre la hipérbola unitaria\(x^2-y^2=1\) y el círculo\(x^2+y^2=4\) (es decir, la región sombreada que se muestra en la figura de la derecha) de dos maneras:

1. Integración usando fórmula ([eqn:areacurves]).

2. Dibuja un segmento lineal desde el origen\(O\) hasta el punto de intersección
   \(P\) sobre la hipérbola, luego usa las áreas del
   sector circular resultante y el sector hiperbólico, sin recurrir a la integración.
   ¿Su respuesta concuerda con la parte (a)? Explique.

[[1.] ]

[exer:fourcircles] Encuentra el área común a los cuatro círculos de radio 5 mostrados en la Figura [fig:fourcircles]. (Pista: Usa simetría.)

[exer:parabolatriangle] Dejar\(A\) ser el área de la región delimitada por la parábola\(y = ax^2\) y la línea\(y = mx + b\), donde\(a\)\(m\),, y\(b\) son constantes positivas (ver Figura [fig:parabolatriángulo] (a)). Dejar\(T\) ser el área del triángulo\(\triangle\,BCD\), donde\(B\) y\(C\) son donde la línea se cruza con la parábola, y el punto\(D\) en la parábola tiene la misma\(x\) coordenada que el punto medio del segmento de línea\(\overline{BC}\) (ver Figura [fig:parabolatriángulo] (b)). \(A = \frac{4}{3}T\)Demuéstralo.

En Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): montecarloarea

Agrega texto aquí.

Solución

la región estaba encerrada en el rectángulo\(R = \lbrace\; (x,y):\; 0 \le x \le 2~,~0 \le y \le 3 \;\rbrace\). Utilice la integración de Monte Carlo para aproximar nuevamente el área de la región, usando un rectángulo envolvente diferente\(R\):

1. \(R = \lbrace\; (x,y):\; 0 \le x \le 2~,~1 \le y \le 3 \;\rbrace\)

2. \(R = \lbrace\; (x,y):\; 0 \le x \le 3~,~0 \le y \le 3 \;\rbrace\)

¿Los resultados son significativamente diferentes a los anteriores?

Aproximar el área de la región delimitada por\(y = x^2\) y\(y = \cos\,x\) de dos maneras diferentes:

1. Utilice la integración de Monte Carlo con 10 millones de puntos.

2. Use un método numérico de búsqueda de raíces para encontrar los puntos de intersección de las curvas, luego use esos puntos en un método de integración numérica para encontrar el área.

[[1.] ]

Un perro está encadenado a un punto fijo en la base circular de un silo cilíndrico. El radio del silo es de\(50\) pies y la cadena puede envolverse exactamente a la mitad del silo. ¿Cuánta área total puede deambular el perro, sin contar el área dentro del silo?

---

1. Este será el último escenario de “buenas noticias/malas noticias” de este libro. Esa es la buena noticia. ↩

2. Ver pp.162-163 en Smith, C.E., Mecánica Aplicada: Estática, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1976. ↩

3. Véase p.609 en Abramowitz, M. y I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Nueva York: Dover Publications, Inc., 1965. ↩

4. Disponible en https://www.sagemath.org ↩

5. Ver pp.62-63 en O'Neill, B., Geometría Diferencial Elemental, Nueva York: Academic Press, Inc., 1966. ↩

6. Ver Proposiciones 33 y 34 en Sobre la esfera y el cilindro, Libro I, que aparece en Heath, T.L., The Works of Arquímedes, Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 2002. Esta obra también está disponible en https://archive.org ↩

7. Ver pp.136-137 en Welchons A.M. y W.R. Krickenberger, Solid Geometry, Boston: Ginn & Co., 1936. ↩

8. Para una prueba de que tal punto existe, véase p.206 en Brown, F.L., Engineering Mechanics, 2a ed., Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., 1942. Algunos textos utilizan los términos “centro de masa” o “centroide” en lugar de “centro de gravedad”, y existen diferencias en los significados. No obstante, para la situación aquí presentada, donde se supone que el campo gravitacional tiene magnitud y dirección constantes en toda la región, todos significan lo mismo. ↩

9. Observe cómo esto es diferente a afirmar que\(F\) es “esencialmente constante en pequeños intervalos”, como lo hacen la mayoría de los libros de texto. En cambio, la fuerza infinitesimal adicional más allá\(F(x)\) contribuye a cero trabajo sobre\(\ival{x}{x+\dx}\). ↩