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9.4: Serie Power

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    110338
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    Una serie de potencias es una serie infinita cuyos términos involucran constantes\(a_n\) y potencias de\(x-c\), donde\(x\) es una variable y\(c\) es una constante:\(\sum\;a_n\,(x-c)^n\). En muchos casos\(c\) será 0. Por ejemplo, la progresión geométrica

    \[\sum_{n=0}^{\infty} \;r^n ~=~ 1 \;+\; r \;+\; r^2 \;+\; r^3 \;+\; \cdots ~=~ \frac{1}{1-r}\]converge cuando\(\abs{r} < 1\), es decir, para\(-1<r<1\), como se muestra en la Sección 9.1. Reemplazar la constante\(r\) por una variable\(x\) produce la serie de potencia

    \[\label{eqn:1over1minusx} \sum_{n=0}^{\infty} \;x^n ~=~ 1 \;+\; x \;+\; x^2 \;+\; x^3 \;+\; \cdots ~=~ \frac{1}{1-x}\]que converge a\(\frac{1}{1-x}\) cuando\(-1<x<1\). Tenga en cuenta que la serie diverge para\(\abs{x}\ge 1\), por la n-ésima Prueba de Término.

    En general una serie de potencias de la forma\(\sum f_n(x)\), donde\(f_n(x)=a_n (x-c)^n\) es una secuencia de funciones, tiene un intervalo de convergencia definido como el conjunto de todos\(x\) tales que la serie converge. El intervalo puede ser cualquier combinación de abierto o cerrado, así como los casos extremos de un solo punto o todos los números reales. En su intervalo de convergencia la serie de potencias es así una función de\(x\). El radio de convergencia\(R\) de una serie de potencias se define como la mitad de la longitud del intervalo de convergencia. En el caso donde el intervalo de convergencia es todo\(\Reals\) lo que dirías\(R=\infty\).

    Por ejemplo, para la serie de potencia anterior\(\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)\), donde\(f_n(x) = x^n\) para\(n\ge 0\), el intervalo de convergencia es\(-1<x<1\), entonces el radio de convergencia es\(R=1\). Observe que

    \[f(x) ~=~ \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad\text{for $-1<x<1$}\]es así una función bien definida en el intervalo\((-1,1)\), donde pasa a ser igual\(\frac{1}{1-x}\). Esta serie de poder puede ser pensada como un polinomio de grado infinito.

    Para encontrar el intervalo de convergencia de una serie de potencias\(\sum f_n(x)\), normalmente usaría la Prueba de Relación en los valores absolutos de los términos (ya que la Prueba de Relación requiere términos positivos):

    \[\label{eqn:ratiotestpower} r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\Biggr|\]Tenga en cuenta que el límite\(r(x)\) en este caso es una función de\(x\). Al tomar el límite, sin embargo, tratar\(x\) como fijo. Por la Prueba de Relación la serie de potencia convergerá entonces para todos\(x\) tales que\(r(x) < 1\), y divergir cuando\(r(x)>1\). Cuando\(r(x)=1\) la prueba no es concluyente, entonces tendrías que verificar esos casos individualmente para ver si esos valores de\(x\) deben agregarse al intervalo de convergencia (junto con los puntos donde\(r(x) < 1\)).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): expseries

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencia\(~\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \,\dfrac{x^n}{n\,!}~\).

    Solución: Para\(f_n(x) = \frac{x^n}{n\,!}\),

    \[r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\Biggr| ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{x^{n+1}/(n+1)\,!}{x^n/n\,!}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{1}{n+1}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; 0 ~=~ 0\]para cualquier fijo\(x\). Así,\(r(x) = 0 < 1\) para todos\(x\), así el intervalo de convergencia es todo de\(\Reals\), i.e\(-\infty < x < \infty\).

    Encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencia\(~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{x^n}{n}~\).

    Solución: Para\(f_n(x) = \frac{x^n}{n}\),

    \[r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\Biggr| ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\Biggr| ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{nx}{n+1}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{n}{n+1}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; 1 ~=~ \abs{x}\]para cualquier fijo\(x\). Así, la serie converge cuando\(r(x) = \abs{x} < 1\) y diverge cuando\(r(x) = \abs{x} > 1\).
    Los casos\(r(x) = \abs{x} = 1\) deben ser revisados individualmente. Para\(x=1\) la serie es\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), que diverge. Para\(x=-1\) la serie es\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\), que converge. Así, el intervalo de convergencia es\(-1 \le x < 1\).

    Encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencia\(~\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \,n\,!\;x^n~\).

    Solución: Para\(f_n(x) = n\,!\;x^n\),

    \[r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\Biggr| ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{(n+1)\,!\;x^{n+1}}{n\,!\;x^n}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\abs{n+1} ~=~ \begin{cases} ~0 & \text{if $~x=0$,}\\~\infty & \text{if $~x \ne 0$.}\end{cases}\]Así,\(r(x) = \infty > 1\) para todos\(x \ne 0\), así la serie diverge para\(x \ne 0\). Entonces ya que\(r(x) = 0 < 1\) sólo para\(x=0\), el intervalo de convergencia es el punto único\(x=0\).

    Resulta que las series de potencia pueden diferenciarse e integrarse término por término: 9

    Observe que la afirmación anterior no dice nada sobre la convergencia de\(f'(x)\) o\(\int f(x)\,\dx\) en los puntos finales del intervalo\(\abs{x-c} < R\). En cada caso, la convergencia en los puntos finales se puede verificar individualmente.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): seriesderivxn

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Escribe la forma de serie de potencia de la derivada de\(~f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \,x^n~\) y encuentra su intervalo de convergencia. ¿\(f'(x)\)Se puede escribir en forma de no serie?.

    Solución: Diferenciar\(f(x)\) término por término:

    \[f'(x) ~=~ \ddx\,\left(\sum_{n=0}^{\infty} \,x^n\right) ~=~ \ddx\,(1 \,+\, x \,+\, x^2 \,+\, x^3 \,+\, \cdots) ~=~ 0 \,+\, 1 \,+\, 2x \,+\, 3x^2 \,+\, \cdots ~=~ \sum_{n=1}^{\infty} \,n x^{n-1}\]Ya que\(f(x)\) converge para\(-1<x<1\) entonces también lo hace\(f'(x)\). Comprobando los puntos finales, at\(x=1\) y\(x=-1\) la serie para\(f'(x)\) son\(\sum_{n=1}^{\infty}\,n\) y\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\,n\), respectivamente, ambos divergen por la n-ésima Prueba de Término. Así, el intervalo de convergencia para\(f'(x)\) es\(-1<x<1\).

    Desde\(-1<x<1\) entonces\(f(x)=\frac{1}{1-x}\)\(f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\) para\(-1<x<1\). Por lo tanto,

    \[\sum_{n=1}^{\infty} \,n x^{n-1} ~=~ 1 \,+\, 2x \,+\, 3x^2 \,+\, \cdots ~=~ \frac{1}{(1-x)^2} \quad\text{for $~-1<x<1$.}\]

    Muchas aplicaciones físicas, especialmente aquellas que involucran oscilaciones y vibraciones mecánicas, implican resolver ecuaciones diferenciales de la forma

    \[\label{eqn:besseldiffeq} \frac{d^2y}{\dx^2} \;+\; \frac{1}{x}\,\dydx \;+\; y ~=~ 0 ~~,\]conocida como la ecuación de Bessel. Esta ecuación tiene una solución\(J_0(x)\), conocida como la función de Bessel de orden cero, 10 definida en términos de una serie de potencias:

    \[\label{eqn:besselzero} J_0(x) ~=~ \bigsum{n = 0}{\infty}~ (-1)^n\,\frac{x^{2n}}{(n\,!)^2\,\cdot\,2^{2n}} ~=~ 1 \;-\; \frac{x^2}{2^2} \;+\; \frac{x^4}{2^2 \,\cdot\, 4^2} \;-\; \frac{x^6}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2} \;+\; \cdots\]La Prueba de Relación muestra que\(J_0(x)\) converge para todos\(x\), ya que para cualquier fijo\(x\),

    \[r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\left|\dfrac{(-1)^{n+1}\,\dfrac{x^{2n+2}}{((n+1)\,!)^2\,\cdot\,2^{2n+2}}} {(-1)^n\,\dfrac{x^{2n}}{(n\,!)^2\,\cdot\,2^{2n}}}\right| ~=~ x^2 \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{1}{4\,(n+1)^2}\Biggr| ~=~ 0 ~<~ 1 ~.\]La ecuación general de orden de Bessel\(\bm{m}\),

    \[\label{eqn:besseldiffeqgen} \frac{d^2y}{\dx^2} \;+\; \frac{1}{x}\,\dydx \;+\; \left(1 - \frac{m^2}{x^2}\right)\,y ~=~ 0\]for\(m=0,1,2,\ldots\), tiene una solución\(J_m(x)\), llamada función de orden de Bessel\(\bm{m}\):

    \[\label{eqn:besselm}\index{Bessel functions!order $m$} J_m(x) ~=~ \bigsum{n = 0}{\infty}~ (-1)^n\,\frac{1}{n\,! \,\cdot\, (n+m)\,!}\, \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+m}\]Por ejemplo, la función Bessel\(J_1(x)\) del orden 1 es

    \[J_1(x) ~=~ \bigsum{n = 0}{\infty}~ (-1)^n\,\frac{1}{n\,! \,\cdot\, (n+1)\,!}\, \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1} ~=~ \frac{x}{2} \;-\; \frac{x^3}{2^2 \,\cdot\, 4} \;+\; \frac{x^5}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6} \;-\; \frac{x^7}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2 \,\cdot\, 8} \;+\; \cdots\]La diferenciación término por término muestra que\(J_0'(x) = -J_1(x)\):

    \[\begin{aligned} \ddx\,(J_0(x)) ~&=~ \ddx\,\left(1 \;-\; \frac{x^2}{2^2} \;+\; \frac{x^4}{2^2 \,\cdot\, 4^2} \;-\; \frac{x^6}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2} \;+\; \frac{x^8}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2 \,\cdot\, 8^2} \;-\; \cdots\right)\\ &=~ -\frac{x}{2} \;+\; \frac{x^3}{2^2 \,\cdot\, 4} \;-\; \frac{x^5}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6} \;+\; \frac{x^7}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2 \,\cdot\, 8} \;-\; \cdots ~=~ -J_1(x)\end{aligned}\]Las gráficas de\(J_0(x)\) y\(J_1(x)\) se muestran en la Figura [fig:bessel] a continuación. Como puede ver,\(J_0(x)\) y\(J_1(x)\) comportarse como una especie de funciones coseno y seno de “pobre”, respectivamente.

    Funciones de Bessel J_0 (x) y J_1 (x)
    Funciones de Bessel\(J_0(x)\) y\(J_1(x)\)

    [sec9dot4]

    Para los Ejercicios 1-8 encontrar el intervalo de convergencia de la serie de potencia dada.

    4

    \(\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n x^n}{(n + 1)^2}\)

    \(\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n x^n}{2^n}\)

    \(\bigsum{n = 1}{\infty}~ n^2 \,(x - 2)^n\vphantom{\dfrac{(x + 4)^n}{2^n}}\)

    \(\bigsum{n = 0}{\infty}~ \dfrac{(x + 4)^n}{2^n}\)

    4

    \(\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{(x + 1)^n}{n^n}\)

    \(\bigsum{n = 1}{\infty}~ n^n \,x^n\vphantom{\dfrac{(x + 1)^n}{n^n}}\)

    \(\bigsum{n = 0}{\infty}~ (-1)^n\,x^n\vphantom{\dfrac{(x + 1)^n}{n^n}}\)

    \(\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n x^n}{n + 1}\)

    Tenga en cuenta que las series de poder de la forma\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) tienen un problema en el\(x=0\) momento en que\(n=0\):\(0^0\) es una forma indeterminada, puede igualar a cualquier cosa (o nada). ¿Qué valor se le ha asignado implícitamente hasta ahora? ¿Cuál sería la forma técnicamente correcta de escribir la serie\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) para que este número desaparezca?

    Demostrar que

    \[\sum_{n=1}^{\infty}\,n\,x^2 ~=~ \frac{x}{(1-x)^2} \quad\text{for $~-1<x<1$.}\]

    Escribe las siguientes series infinitas como un número racional:

    \[\frac{1}{10} \;+\; \frac{2}{100} \;+\; \frac{3}{1000} \;+\; \frac{4}{10000} \;+\; \cdots\][[1.] ]

    Diferenciando término por término, verificar que la función de Bessel\(J_0(x)\) satisface la ecuación de Bessel (ver ecuación ([eqn:besseldiffeq])).

    Demuestre que para todas\(m \ge 1\) las funciones de Bessel\(J_m(x)\) convergen para todos\(x\).

    Para todos\(m \ge 1\) verificar que las funciones de Bessel\(J_m(x)\) satisfacen la ecuación de orden general de Bessel\(m\) (ver ecuación ([eqn:besseldiffeqgen])).

    [exer:besselderiv] Para las funciones de Bessel\(J_0(x)\) y\(J_1(x)\) mostrar que:

    1. \(\Ddx\,(x\,J_1(x)) ~=~ x\,J_0(x)\)

    2. \(\int J_0(x)\,J_1(x)~\dx ~=~ -\frac{1}{2}\,J_0^2(x)\)

    3. \(\int x\,J_0(x)\,J_1(x)~\dx ~=~ -\frac{1}{2}\,x\,J_0^2(x) ~+~ \frac{1}{2}\,\int J_0^2(x)~\dx\)

    4. Para todos los enteros\(n\ge 2\),

      \[\int x^n\,J_0(x)~\dx ~=~ x^n\,J_1(x) ~+~ (n-1)\,x^{n-1}\,J_0(x) ~-~ (n-1)^2\,\int x^{n-2}\,J_0(x)~\dx ~.\](Pista: Utilice la parte (a) y la integración por partes dos veces.)

    Para todos los enteros\(m\ge 2\) muestran que las funciones de Bessel\(J_m(x)\) satisfacen las relaciones:

    1. \(m\,J_m(x) ~+~ x\,J_m'(x) ~=~ x\,J_{m-1}(x)\)

    2. \(J_{m-1}(x) ~-~ J_{m+1}(x) ~=~ 2J_{m}'(x)\)

    Utilice la división larga para obtener los tres primeros términos de\(\frac{1}{x J_0^2(x)}\), luego integre término por término para demostrar que

    \[J_0(x)\,\int \frac{\dx}{x J_0^2(x)} ~=~ J_0(x)\,\cdot\,\ln\,x ~+~ \frac{x^2}{4} ~-~ \frac{3x^4}{128} ~+~ \cdots ~.\]Esta función es una función de Bessel del segundo tipo y es otra solución de la ecuación de Bessel.


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