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# 9.4: Serie Power

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Una serie de potencias es una serie infinita cuyos términos involucran constantes$$a_n$$ y potencias de$$x-c$$, donde$$x$$ es una variable y$$c$$ es una constante:$$\sum\;a_n\,(x-c)^n$$. En muchos casos$$c$$ será 0. Por ejemplo, la progresión geométrica

$\sum_{n=0}^{\infty} \;r^n ~=~ 1 \;+\; r \;+\; r^2 \;+\; r^3 \;+\; \cdots ~=~ \frac{1}{1-r}$converge cuando$$\abs{r} < 1$$, es decir, para$$-1<r<1$$, como se muestra en la Sección 9.1. Reemplazar la constante$$r$$ por una variable$$x$$ produce la serie de potencia

$\label{eqn:1over1minusx} \sum_{n=0}^{\infty} \;x^n ~=~ 1 \;+\; x \;+\; x^2 \;+\; x^3 \;+\; \cdots ~=~ \frac{1}{1-x}$que converge a$$\frac{1}{1-x}$$ cuando$$-1<x<1$$. Tenga en cuenta que la serie diverge para$$\abs{x}\ge 1$$, por la n-ésima Prueba de Término.

En general una serie de potencias de la forma$$\sum f_n(x)$$, donde$$f_n(x)=a_n (x-c)^n$$ es una secuencia de funciones, tiene un intervalo de convergencia definido como el conjunto de todos$$x$$ tales que la serie converge. El intervalo puede ser cualquier combinación de abierto o cerrado, así como los casos extremos de un solo punto o todos los números reales. En su intervalo de convergencia la serie de potencias es así una función de$$x$$. El radio de convergencia$$R$$ de una serie de potencias se define como la mitad de la longitud del intervalo de convergencia. En el caso donde el intervalo de convergencia es todo$$\Reals$$ lo que dirías$$R=\infty$$.

Por ejemplo, para la serie de potencia anterior$$\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)$$, donde$$f_n(x) = x^n$$ para$$n\ge 0$$, el intervalo de convergencia es$$-1<x<1$$, entonces el radio de convergencia es$$R=1$$. Observe que

$f(x) ~=~ \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad\text{for -1<x<1}$es así una función bien definida en el intervalo$$(-1,1)$$, donde pasa a ser igual$$\frac{1}{1-x}$$. Esta serie de poder puede ser pensada como un polinomio de grado infinito.

Para encontrar el intervalo de convergencia de una serie de potencias$$\sum f_n(x)$$, normalmente usaría la Prueba de Relación en los valores absolutos de los términos (ya que la Prueba de Relación requiere términos positivos):

$\label{eqn:ratiotestpower} r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\Biggr|$Tenga en cuenta que el límite$$r(x)$$ en este caso es una función de$$x$$. Al tomar el límite, sin embargo, tratar$$x$$ como fijo. Por la Prueba de Relación la serie de potencia convergerá entonces para todos$$x$$ tales que$$r(x) < 1$$, y divergir cuando$$r(x)>1$$. Cuando$$r(x)=1$$ la prueba no es concluyente, entonces tendrías que verificar esos casos individualmente para ver si esos valores de$$x$$ deben agregarse al intervalo de convergencia (junto con los puntos donde$$r(x) < 1$$).

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: expseries

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencia$$~\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \,\dfrac{x^n}{n\,!}~$$.

Solución: Para$$f_n(x) = \frac{x^n}{n\,!}$$,

$r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\Biggr| ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{x^{n+1}/(n+1)\,!}{x^n/n\,!}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{1}{n+1}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; 0 ~=~ 0$para cualquier fijo$$x$$. Así,$$r(x) = 0 < 1$$ para todos$$x$$, así el intervalo de convergencia es todo de$$\Reals$$, i.e$$-\infty < x < \infty$$.

Encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencia$$~\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \,\dfrac{x^n}{n}~$$.

Solución: Para$$f_n(x) = \frac{x^n}{n}$$,

$r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\Biggr| ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\Biggr| ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{nx}{n+1}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{n}{n+1}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; 1 ~=~ \abs{x}$para cualquier fijo$$x$$. Así, la serie converge cuando$$r(x) = \abs{x} < 1$$ y diverge cuando$$r(x) = \abs{x} > 1$$.
Los casos$$r(x) = \abs{x} = 1$$ deben ser revisados individualmente. Para$$x=1$$ la serie es$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$, que diverge. Para$$x=-1$$ la serie es$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$$, que converge. Así, el intervalo de convergencia es$$-1 \le x < 1$$.

Encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencia$$~\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \,n\,!\;x^n~$$.

Solución: Para$$f_n(x) = n\,!\;x^n$$,

$r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\Biggr| ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{(n+1)\,!\;x^{n+1}}{n\,!\;x^n}\Biggr| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\abs{n+1} ~=~ \begin{cases} ~0 & \text{if ~x=0,}\\~\infty & \text{if ~x \ne 0.}\end{cases}$Así,$$r(x) = \infty > 1$$ para todos$$x \ne 0$$, así la serie diverge para$$x \ne 0$$. Entonces ya que$$r(x) = 0 < 1$$ sólo para$$x=0$$, el intervalo de convergencia es el punto único$$x=0$$.

Resulta que las series de potencia pueden diferenciarse e integrarse término por término: 9

Observe que la afirmación anterior no dice nada sobre la convergencia de$$f'(x)$$ o$$\int f(x)\,\dx$$ en los puntos finales del intervalo$$\abs{x-c} < R$$. En cada caso, la convergencia en los puntos finales se puede verificar individualmente.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: seriesderivxn

Agrega texto aquí.

Solución

Escribe la forma de serie de potencia de la derivada de$$~f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \,x^n~$$ y encuentra su intervalo de convergencia. ¿$$f'(x)$$Se puede escribir en forma de no serie?.

Solución: Diferenciar$$f(x)$$ término por término:

$f'(x) ~=~ \ddx\,\left(\sum_{n=0}^{\infty} \,x^n\right) ~=~ \ddx\,(1 \,+\, x \,+\, x^2 \,+\, x^3 \,+\, \cdots) ~=~ 0 \,+\, 1 \,+\, 2x \,+\, 3x^2 \,+\, \cdots ~=~ \sum_{n=1}^{\infty} \,n x^{n-1}$Ya que$$f(x)$$ converge para$$-1<x<1$$ entonces también lo hace$$f'(x)$$. Comprobando los puntos finales, at$$x=1$$ y$$x=-1$$ la serie para$$f'(x)$$ son$$\sum_{n=1}^{\infty}\,n$$ y$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\,n$$, respectivamente, ambos divergen por la n-ésima Prueba de Término. Así, el intervalo de convergencia para$$f'(x)$$ es$$-1<x<1$$.

Desde$$-1<x<1$$ entonces$$f(x)=\frac{1}{1-x}$$$$f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$$ para$$-1<x<1$$. Por lo tanto,

$\sum_{n=1}^{\infty} \,n x^{n-1} ~=~ 1 \,+\, 2x \,+\, 3x^2 \,+\, \cdots ~=~ \frac{1}{(1-x)^2} \quad\text{for ~-1<x<1.}$

Muchas aplicaciones físicas, especialmente aquellas que involucran oscilaciones y vibraciones mecánicas, implican resolver ecuaciones diferenciales de la forma

$\label{eqn:besseldiffeq} \frac{d^2y}{\dx^2} \;+\; \frac{1}{x}\,\dydx \;+\; y ~=~ 0 ~~,$conocida como la ecuación de Bessel. Esta ecuación tiene una solución$$J_0(x)$$, conocida como la función de Bessel de orden cero, 10 definida en términos de una serie de potencias:

$\label{eqn:besselzero} J_0(x) ~=~ \bigsum{n = 0}{\infty}~ (-1)^n\,\frac{x^{2n}}{(n\,!)^2\,\cdot\,2^{2n}} ~=~ 1 \;-\; \frac{x^2}{2^2} \;+\; \frac{x^4}{2^2 \,\cdot\, 4^2} \;-\; \frac{x^6}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2} \;+\; \cdots$La Prueba de Relación muestra que$$J_0(x)$$ converge para todos$$x$$, ya que para cualquier fijo$$x$$,

$r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\left|\dfrac{(-1)^{n+1}\,\dfrac{x^{2n+2}}{((n+1)\,!)^2\,\cdot\,2^{2n+2}}} {(-1)^n\,\dfrac{x^{2n}}{(n\,!)^2\,\cdot\,2^{2n}}}\right| ~=~ x^2 \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{1}{4\,(n+1)^2}\Biggr| ~=~ 0 ~<~ 1 ~.$La ecuación general de orden de Bessel$$\bm{m}$$,

$\label{eqn:besseldiffeqgen} \frac{d^2y}{\dx^2} \;+\; \frac{1}{x}\,\dydx \;+\; \left(1 - \frac{m^2}{x^2}\right)\,y ~=~ 0$for$$m=0,1,2,\ldots$$, tiene una solución$$J_m(x)$$, llamada función de orden de Bessel$$\bm{m}$$:

$\label{eqn:besselm}\index{Bessel functions!order m} J_m(x) ~=~ \bigsum{n = 0}{\infty}~ (-1)^n\,\frac{1}{n\,! \,\cdot\, (n+m)\,!}\, \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+m}$Por ejemplo, la función Bessel$$J_1(x)$$ del orden 1 es

$J_1(x) ~=~ \bigsum{n = 0}{\infty}~ (-1)^n\,\frac{1}{n\,! \,\cdot\, (n+1)\,!}\, \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1} ~=~ \frac{x}{2} \;-\; \frac{x^3}{2^2 \,\cdot\, 4} \;+\; \frac{x^5}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6} \;-\; \frac{x^7}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2 \,\cdot\, 8} \;+\; \cdots$La diferenciación término por término muestra que$$J_0'(x) = -J_1(x)$$:

\begin{aligned} \ddx\,(J_0(x)) ~&=~ \ddx\,\left(1 \;-\; \frac{x^2}{2^2} \;+\; \frac{x^4}{2^2 \,\cdot\, 4^2} \;-\; \frac{x^6}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2} \;+\; \frac{x^8}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2 \,\cdot\, 8^2} \;-\; \cdots\right)\\ &=~ -\frac{x}{2} \;+\; \frac{x^3}{2^2 \,\cdot\, 4} \;-\; \frac{x^5}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6} \;+\; \frac{x^7}{2^2 \,\cdot\, 4^2 \,\cdot\, 6^2 \,\cdot\, 8} \;-\; \cdots ~=~ -J_1(x)\end{aligned}Las gráficas de$$J_0(x)$$ y$$J_1(x)$$ se muestran en la Figura [fig:bessel] a continuación. Como puede ver,$$J_0(x)$$ y$$J_1(x)$$ comportarse como una especie de funciones coseno y seno de “pobre”, respectivamente.

[sec9dot4]

Para los Ejercicios 1-8 encontrar el intervalo de convergencia de la serie de potencia dada.

4

$$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n x^n}{(n + 1)^2}$$

$$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n x^n}{2^n}$$

$$\bigsum{n = 1}{\infty}~ n^2 \,(x - 2)^n\vphantom{\dfrac{(x + 4)^n}{2^n}}$$

$$\bigsum{n = 0}{\infty}~ \dfrac{(x + 4)^n}{2^n}$$

4

$$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{(x + 1)^n}{n^n}$$

$$\bigsum{n = 1}{\infty}~ n^n \,x^n\vphantom{\dfrac{(x + 1)^n}{n^n}}$$

$$\bigsum{n = 0}{\infty}~ (-1)^n\,x^n\vphantom{\dfrac{(x + 1)^n}{n^n}}$$

$$\bigsum{n = 1}{\infty}~ \dfrac{n x^n}{n + 1}$$

Tenga en cuenta que las series de poder de la forma$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$ tienen un problema en el$$x=0$$ momento en que$$n=0$$:$$0^0$$ es una forma indeterminada, puede igualar a cualquier cosa (o nada). ¿Qué valor se le ha asignado implícitamente hasta ahora? ¿Cuál sería la forma técnicamente correcta de escribir la serie$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$ para que este número desaparezca?

Demostrar que

$\sum_{n=1}^{\infty}\,n\,x^2 ~=~ \frac{x}{(1-x)^2} \quad\text{for ~-1<x<1.}$

Escribe las siguientes series infinitas como un número racional:

$\frac{1}{10} \;+\; \frac{2}{100} \;+\; \frac{3}{1000} \;+\; \frac{4}{10000} \;+\; \cdots$[[1.] ]

Diferenciando término por término, verificar que la función de Bessel$$J_0(x)$$ satisface la ecuación de Bessel (ver ecuación ([eqn:besseldiffeq])).

Demuestre que para todas$$m \ge 1$$ las funciones de Bessel$$J_m(x)$$ convergen para todos$$x$$.

Para todos$$m \ge 1$$ verificar que las funciones de Bessel$$J_m(x)$$ satisfacen la ecuación de orden general de Bessel$$m$$ (ver ecuación ([eqn:besseldiffeqgen])).

[exer:besselderiv] Para las funciones de Bessel$$J_0(x)$$ y$$J_1(x)$$ mostrar que:

1. $$\Ddx\,(x\,J_1(x)) ~=~ x\,J_0(x)$$

2. $$\int J_0(x)\,J_1(x)~\dx ~=~ -\frac{1}{2}\,J_0^2(x)$$

3. $$\int x\,J_0(x)\,J_1(x)~\dx ~=~ -\frac{1}{2}\,x\,J_0^2(x) ~+~ \frac{1}{2}\,\int J_0^2(x)~\dx$$

4. Para todos los enteros$$n\ge 2$$,

$\int x^n\,J_0(x)~\dx ~=~ x^n\,J_1(x) ~+~ (n-1)\,x^{n-1}\,J_0(x) ~-~ (n-1)^2\,\int x^{n-2}\,J_0(x)~\dx ~.$(Pista: Utilice la parte (a) y la integración por partes dos veces.)

Para todos los enteros$$m\ge 2$$ muestran que las funciones de Bessel$$J_m(x)$$ satisfacen las relaciones:

1. $$m\,J_m(x) ~+~ x\,J_m'(x) ~=~ x\,J_{m-1}(x)$$

2. $$J_{m-1}(x) ~-~ J_{m+1}(x) ~=~ 2J_{m}'(x)$$

Utilice la división larga para obtener los tres primeros términos de$$\frac{1}{x J_0^2(x)}$$, luego integre término por término para demostrar que

$J_0(x)\,\int \frac{\dx}{x J_0^2(x)} ~=~ J_0(x)\,\cdot\,\ln\,x ~+~ \frac{x^2}{4} ~-~ \frac{3x^4}{128} ~+~ \cdots ~.$Esta función es una función de Bessel del segundo tipo y es otra solución de la ecuación de Bessel.

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