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9.5: Serie de Taylor

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    110332
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En la sección anterior algunas funciones, e.g.\(f(x) = \frac{1}{1-x}\), resultaron ser la suma de una serie de potencia. En esta sección se discutirá un método general para representar una función como una serie de potencia, llamada serie de Taylor. 11 Supongamos que una función\(f(x)\) puede escribirse como

    \[f(x) ~=~ \sum_{n=0}^{\infty}\,a_n\,(x-c)^n\]ya sea para todos\(x\) o para\(\abs{x-c} < R\), para algunos\(R>0\). Luego\(f(c) = a_0\), y diferenciando término por término rendimientos

    \[\begin{aligned} {4} f'(x) ~&=~ \sum_{n=1}^{\infty}\,n\,a_n\,(x-c)^{n-1} &&\Rightarrow \quad &f'(c) ~&=~ 1\,\cdot\,a_1\

    \ [2pt] f "(x) ~&=~\ sum_ {n=2} ^ {\ infty}\, n\, (n-1)\, a_n\, (x-c) ^ {n-2} &&\ Rightarrow\ quad &f" (c) ~&=~ 2\,\ cdot\ ,1\,\ cdot\, a_2\

    \ [2pt] f"' (x) ~&=~\ sum_ {n=3} ^ {\ infty}\, n\, (n-1)\, (n-2)\, a_n\, (x-c) ^ {n-3} &&\ Rightarrow\ quad &f"' (c) ~&=~ 3\,\ cdot\ ,2\,\ cdot\ ,1\,\ cdot\, a_3\\ &\ cdots & {} & {} & {} &\ cdots\\ f^ {(k)} (x) ~&=~\ sum_ {n=k} ^ {\ infty}\, n\, (n-1)\, (n-2)\,\ cdots\, (n-k+1)\, a_n\, (x-c) ^ {n-k}\ quad &&\ Rightarrow\ quad &f^ {(k)} (c) ~&=~ k! \; a_k\ end {alineado}\] para que en general (since\(f^{(0)}(x) = f(x)\) y\(0 ! = 1\)):

    \[\label{eqn:taylorcoeff} a_n ~=~ \frac{f^{(n)}(c)}{n !} \quad\text{for $~n \ge 0$}\]Estos\(\seq{a_n}\) son los coeficientes de la serie de Taylor de\(f(x)\) at\(x=c\). La representación de la serie full power de ahora se\(f(x)\) puede afirmar:

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): taylorexp

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra la serie de Taylor durante\(f(x)=e^x\) aproximadamente\(x=0\).

    \[\begin{aligned} e^x ~&=~ \bigsum{n=0}{\infty}~ \frac{f^{(n)}(0)}{n !}\,x^n ~=~ \bigsum{n=0}{\infty}~ \frac{x^n}{n !}\\ &=~ 1 ~+~ x ~+~ \frac{x^2}{2 !} ~+~ \frac{x^3}{3 !} ~+~ \frac{x^4}{4 !} ~+~ \frac{x^5}{5 !} ~+~ \cdots\end{aligned}\]¿Para qué\(x\) es válida esta serie de Taylor? Recordemos ese ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): expseries

    Agrega texto aquí.

    Solución

    mostró que el intervalo de convergencia es todo de\(\Reals\). De esta manera la anterior serie de Taylor sostiene para todos\(x\).

    Antes de continuar, tal vez te estés preguntando por qué deberías molestarte en encontrar la serie de Taylor's, después de todo, en el ejemplo anterior ¿por qué reemplazar una función simple como\(e^x\) por una expresión mucho más complicada? Una razón es que a menudo ayuda a simplificar algunos cálculos, especialmente en integrales. La idea es usar solo unos pocos términos en la serie, es decir, un polinomio, como aproximación, ya que generalmente es más fácil trabajar con polinomios. Quizás sorprendentemente, en muchas aplicaciones prácticas no se necesitan más de dos términos, y muchas veces solo uno.

    Por ejemplo, usando solo los dos primeros términos de la serie de Taylor's para\(e^x\) en Example

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): taylorexp

    Agrega texto aquí.

    Solución

    ,\(e^x \approx 1 + x\) es una buena aproximación cuando\(x\) está cerca de 0 (i.e.\(\abs{x} \ll 1\)). Usar más términos no necesariamente ayuda, para\(\abs{x} \ll 1\) y\(n>1\),\(x^n\) será efectivamente 0. Por lo que la complejidad añadida no haría que la aproximación fuera significativamente mejor.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): approxe

    Agrega texto aquí.

    Solución

    La densidad\(E\) de energía de la radiación electromagnética a longitud\(\lambda\) de onda de un cuerpo negro a\(T\) grados de temperatura Kelvin viene dada por la Ley de Planck de radiación de cuerpo negro,

    \[E(\lambda) ~=~ \frac{8\pi h c}{\lambda^5 (e^{hc/\lambda kT} - 1)}\]donde\(h\) está la constante de Planck,\(c\) es la velocidad de la luz, y\(k\) es la constante de Boltzmann. Demuéstralo para\(\lambda \gg 1\):

    \[E(\lambda) ~\approx~ \frac{8\pi kT}{\lambda^4}\]

    Solución: Ya que\(e^x ~\approx~ 1 + x\;\) para\(\abs{x} \ll 1\) por la serie Taylor para\(e^x\), vamos\(x = hc/\lambda kT\). Entonces\(x \ll 1\) y así

    \[E(\lambda) ~=~ \frac{8\pi h c}{\lambda^5 (e^{hc/\lambda kT} - 1)} ~\approx~ \frac{8\pi h c}{\lambda^5 \left(\left(1 + \frac{hc}{\lambda kT}\right) - 1\right)} ~\approx~ \frac{8\pi h c}{\lambda^5 \frac{hc}{\lambda kT}} ~\approx~ \frac{8\pi kT}{\lambda^4}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): taylorsin

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra la serie de Taylor durante\(f(x)=\sin\,x\) aproximadamente\(x=0\).

    Solución: Los derivados de\(f(x)=\sin\,x\) repetición cada cuatro derivados:

    \[f(x) ~=~ \sin\,x \quad,\quad f'(x) ~=~ \cos\,x \quad,\quad f''(x) ~=~ -\sin\,x \quad,\quad f'''(x) ~=~ -\cos\,x \quad,\quad f^{(4)}(x) ~=~ \sin\,x\]Así que en\(x=0\):

    \[f(0) ~=~ 0 \quad,\quad f'(x) ~=~ 1 \quad,\quad f''(x) ~=~ 0 \quad,\quad f'''(x) ~=~ -1 \quad,\quad f^{(4)}(x) ~=~ 0\]Así que para\(n\ge 0\),

    \[f^{(n)}(0) ~=~ \begin{cases} ~0 & \text{if $~n$ is even,}\\ ~1 & \text{if $~n=1,5,9,\ldots$,}\\~-1 & \text{if $~n=3,7,11,\ldots$.}\end{cases}\]Así, por la fórmula de Taylor con\(c=0\)

    \[\begin{aligned} \sin\,x ~&=~ \bigsum{n=0}{\infty}~ \frac{f^{(n)}(0)}{n !}\,x^n\

    \ [4pt] &=~ x ~-~\ frac {x^3} {3!} ~+~\ frac {x^5} {5!} ~-~\ frac {x^7} {7!} ~+~\ frac {x^9} {9!} ~-~\ cdots\

    \ [4pt] &=~\ bigsum {n=0} {\ infty} ~ (-1) ^ {n}\,\ frac {x^ {2n+1}} {(2n+1)!} \ end {aligned}\] Por la Prueba de Relación esta serie converge para todos\(x\), ya que para cualquier fijo\(x\),

    \[r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\left|\dfrac{(-1)^{n+1}\,\dfrac{x^{2n+3}}{(2n+3) !}} {(-1)^{n}\,\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}}\right| ~=~ x^2 \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{1}{(2n+3)\,(2n+2)}\Biggr| ~=~ 0 ~<~ 1 ~.\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): taylorcos

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra la serie de Taylor durante\(f(x)=\cos\,x\) aproximadamente\(x=0\).

    Solución: La serie Taylor's se puede encontrar usando el mismo procedimiento que en Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): taylorsin

    Agrega texto aquí.

    Solución

    , pero es más sencillo simplemente diferenciar la serie de Taylor por\(\sin\,x\) término por término para todos\(x\):

    \[\begin{aligned} \cos\,x ~&=~ \ddx\,(\sin\,x) ~=~ \ddx\,\left(x ~-~ \frac{x^3}{3 !} ~+~ \frac{x^5}{5 !} ~-~ \frac{x^7}{7 !} ~+~ \frac{x^9}{9 !} ~-~ \cdots\right)\

    \ [4pt] &=~ 1 ~-~\ frac {x^2} {2!} ~+~\ frac {x^4} {4!} ~-~\ frac {x^6} {6!} ~+~\ frac {x^8} {8!} ~-~\ cdots\

    \ [4pt] &=~\ bigsum {n=0} {\ infty} ~ (-1) ^ {n}\,\ frac {x^ {2n}} {(2n)!} \ end {aligned}\] Dado que la serie de Taylor para\(\sin\,x\) converge para todos\(x\) entonces también lo hace su derivada. Así la serie de Taylor's para\(\cos\,x\) converge para todos\(x\).
    Observe que la serie de Taylor para solo\(\cos\,x\) tiene poderes pares de\(x\), mientras que la serie para solo\(\sin\,x\) tiene poderes extraños de\(x\). Esto tiene sentido ya\(\cos\,x\) y\(\sin\,x\) son funciones pares e impares, respectivamente.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): taylorlog

    Agrega texto aquí.

    Solución

    La función no\(\ln\,x\) está definida en\(x=0\) nd por lo tanto no tiene serie de Taylor sobre\(x=0\). En cambio, encuentra la serie de Taylor's por\(f(x)=\ln\,(1+x)\) aproximadamente\(x=0\).

    Solución: Tomar derivados sucesivos:

    \[f(x) ~=~ \ln\,(1+x) \quad,\quad f'(x) ~=~ \frac{1}{1+x} \quad,\quad f''(x) ~=~ -\frac{1}{(1+x)^2} \quad,\quad f'''(x) ~=~ \frac{1 \,\cdot\, 2}{(1+x)^3} \quad,\quad f^{(4)}(x) ~=~ -\frac{1 \,\cdot\, 2 \,\cdot\, 3}{(1+x)^4}\]Entonces\(f(0)=0\) y para\(n\ge 1\):

    \[f^{(n)}(x) ~=~ (-1)^{n-1}\,\frac{(n-1) !}{(1+x)^n} \quad\Rightarrow\quad f^{(n)}(0) ~=~ (-1)^{n-1}\,(n-1) !\]Así, por la fórmula de Taylor,

    \[\begin{aligned} \ln\,(1+x) ~&=~ \bigsum{n=0}{\infty}~ \frac{f^{(n)}(0)}{n !}\,x^n ~=~ \bigsum{n=1}{\infty}~ (-1)^{n-1}\,\frac{(n-1) !\,x^{n}}{n !}\

    \ [4pt] &=~\ bigsum {n=1} {\ infty} ~ (-1) ^ {n-1}\,\ frac {x^ {n}} {n}\

    \ [4pt] &=~ x ~-~\ frac {x^2} {2} ~+~\ frac {x^3} {3} ~-~\ frac {x^4} {4} ~+~\ frac {x^5} {5} ~-~\ cdots\ end {alineado}\] Usa la Prueba de Relación para encontrar el intervalo de convergencia:

    \[r(x) ~=~ \lim_{n \to \infty} \;\left|\dfrac{(-1)^{n}\,\dfrac{x^{n+1}}{n+1}} {(-1)^{n-1}\,\dfrac{x^{n}}{n}}\right| ~=~ \abs{x} \;\cdot\; \lim_{n \to \infty} \;\Biggl|\frac{n}{n+1}\Biggr| ~=~ \abs{x} \,\cdot\, 1 ~=~ \abs{x}\]Entonces la serie converge cuando\(\abs{x} < 1\). Revisa las cajas\(r(x)=\abs{x}=1\) individualmente. Para\(x=1\) la serie es la serie armónica alterna\(\sum_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\), que converge. Para\(x=-1\) la serie es\(-\sum_{n=1} \frac{1}{n}\), el negativo de la serie armónica, que diverge. Así, la serie converge para\(-1<x\le 1\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): taylorexp2

    Agrega texto aquí.

    Solución

    Encuentra la serie de Taylor durante\(f(x)=e^{x^2}\) aproximadamente\(x=0\).

    Solución: La serie Taylor's se puede encontrar usando el mismo procedimiento que en Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): taylorexp

    Agrega texto aquí.

    Solución

    , pero es más sencillo simplemente reemplazar cada aparición de\(x\) en la serie de Taylor's por\(e^{x^2}\) por\(x^2\). Es decir, hacer la sustitución\(u=x^2\) en la serie de Taylor's por\(e^u\) aproximadamente\(u=0\):

    \[\begin{aligned} e^u ~&=~ \bigsum{n=0}{\infty}~ \frac{u^n}{n !}\

    \ [4pt] e^ {x^2} ~&=~\ bigsum {n=0} {\ infty} ~\ frac {(x^2) ^n} {n!} ~=~\ bigsum {n=0} {\ infty} ~\ frac {x^ {2n}} {n!} \

    \ [4pt] &=~ 1 ~+~ x^2 ~+~\ frac {x^4} {2!} ~+~\ frac {x^6} {3!} ~+~\ frac {x^8} {4!} ~+~\ frac {x^ {10}} {5!} ~+~\ cdots\ final {alineado}\]

    Definir el polinomio de Taylor de grado\(\bm{n}\) -ésimo\(P_n(x)\) para una función\(f(x)\) acerca\(x=c\) de

    \[\begin{aligned} P_n(x) ~&=~ \bigsum{k=0}{n}~ \frac{f^{(k)}(c)}{k !}\,(x-c)^k\\ &=~ f(c) ~+~ \frac{f'(c)}{1 !}\,(x-c) ~+~ \frac{f''(c)}{2 !}\,(x-c)^2 ~+~ \cdots ~+~ \frac{f^{(n)}(c)}{n !}\,(x-c)^n\end{aligned}\]para\(x\) en el intervalo de convergencia para la serie completa de Taylor's. En otras palabras,\(P_n(x)\) es la\(n\) -ésima suma parcial de la serie de Taylor's. Dado que algunos de los coeficientes podrían ser cero,\(P_n(x)\) es un polinomio de grado como máximo\(n\). Por lo tanto,\(P_n(x) = O(x^n)\). Por esa razón a veces\(P_n(x)\) se llama la \(\bm{O(x^n)}\)aproximación a\(f(x)\).

    La figura [fig:sinetaylor] muestra una comparación de\(\sin\,x\) con algunas de sus aproximaciones:

    \ sin\, x y aproximaciones de las series de Taylor
    \(\sin\,x\)y las aproximaciones de la serie Taylor

    Como se puede ver, los polinomios Taylor de grado 7, 11 y 15 son todos buenas aproximaciones a lo largo del intervalo\(\ival{-2}{2}\), siendo la\(O(x^{15})\) aproximación todavía bastante buena sobre\(\ival{-6}{6}\). Claramente esas aproximaciones todas se vuelven pobres con bastante rapidez para\(\abs{x} > 6\); se acercan\(\pm\infty\), a diferencia\(\sin\,x\).

    El siguiente teorema muestra cómo medir la precisión de las aproximaciones:

    Dado que el número\(\theta\) es desconocido en la ecuación ([eqn:taylorrem1]), generalmente solo se\(R_n(x)\) puede encontrar un límite superior en el resto por esa fórmula. Para fines prácticos fórmula ([eqn:taylorrem2]) para\(R_n(x)\) podría ser más fácil de usar (vía integración numérica).

    Un error común es que las calculadoras de mano utilizan la serie de Taylor para calcular valores de funciones como\(\sin\,x\)\(\cos\,x\)\(e^x\),, etc. Sin embargo, esa suele ser su capacidad, especialmente para valores grandes de\(x\) —demasiados términos serían necesarios. En cambio, muchas calculadoras utilizan un algoritmo llamado CORDIC (Computadora Digital de Rotación de Coordenadas) y, quizás sorprendentemente, tablas de consulta. CORDIC utiliza la operación computacionalmente económica de desplazamiento de bits para traducir grandes valores de entrada en un rango más pequeño, luego usa tablas almacenadas en memoria para valores en ese rango, junto con interpolación para números entre los de las tablas. 13

    [sec9dot5]

    Para los Ejercicios 1-9 escribe los tres primeros términos distintos de cero en la serie de Taylor para la función dada\(f(x)\) sobre el valor dado\(c\). Puedes usar cualquier método que te guste.

    3

    \(f(x) = \sin\,x\);\(c = \pi/2\)

    \(f(x) = \sinh\,x\);\(c = 0\)

    \(f(x) = \cosh\,x\);\(c = 0\)

    3

    [exer:taylortan]\(f(x) = \tan\,x\);\(c = 0\)

    [exer:taylortanh]\(f(x) = \tanh\,x\);\(c = 0\)

    \(f(x) = \sec\,x\);\(c = 0\)

    3

    [exer:tayloratan]\(f(x) = \dfrac{1}{1 +x^2}\);\(c = 0\)

    \(f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\);\(c = 1\)

    [exer:taylorsq]\(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\);\(c = 0\vphantom{\dfrac{1}{x^2 ~+~ 1}}\)

    Ejemplo de uso

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): seriesderivxn

    Agrega texto aquí.

    Solución

    de la Sección 9.4 para escribir los primeros tres términos distintos de cero en la serie de Taylor's durante\(f(x) = \frac{1}{(1 - x)^3}\) aproximadamente\(x=0\).

    Utilice la derivada de la serie de Taylor's para\(\sqrt{1 + x^2}\) de Exercise [exer:taylorsq] para escribir los primeros tres términos distintos de cero en la serie de Taylor's durante\(f(x) ~=~ \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}\) aproximadamente\(x=0\).

    Para los Ejercicios 12-15 sustituir la función\(f(x)\) por su serie de Taylor\(x=0\) a punto de evaluar la integral indefinida dada\(\int f(x) \;\dx\) (hasta los tres primeros términos distintos de cero de la serie). [[1.] ]

    4

    \(\displaystyle\int \frac{\sin\,x}{x}~\dx\)

    \(\displaystyle\int \cos\,(x^2)~\dx\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sin\,x}{x}}\)

    \(\displaystyle\int e^{-x^2}~\dx\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sin\,x}{x}}\)

    \(\displaystyle\int \sqrt{1+x^6}~\dx\vphantom{\displaystyle\int \frac{\sin\,x}{x}}\)

    [exer:atanpi] Usar\(\ddx\,(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}\) junto con Ejercicio [exer:tayloratan] para encontrar la serie de Taylor durante\(f(x)=\tan^{-1} x\) aproximadamente\(x=0\), junto con su intervalo de convergencia.

    Usa Ejercicio [exer:atanpi] para demostrar que

    \[\pi ~=~ 4\,\left(1 \;-\; \frac{1}{3} \;+\; \frac{1}{5} \;-\; \frac{1}{7} \;-\; \cdots \right) ~.\]

    Utilizar los tres primeros términos distintos de cero en la serie de Taylor's about\(x=0\) for\(e^{-x^2/2}\) para evaluar la integral definida

    \[\int_{-1}^1 ~\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \,e^{-x^2/2}~\dx \quad .\]Nota: El valor real (redondeado a 4 decimales) es 0.6826.

    Recordemos que el área superficial\(S\) del sólido obtenida al girar la curva\(y = x^2\) alrededor del\(x\) eje -entre\(x = 0\) y\(x = 2\) está dada por la integral

    \[S ~=~ \int_0^2 ~2 \pi x^2 \,\sqrt{1 \;+\; 4x^2}~\dx \quad .\]El valor exacto de la integral redondeada a 3 decimales es\(S = 53.226\). Utilice los dos primeros términos distintos de cero en la serie de Taylor's para aproximarse\(\sqrt{1 + 4x^2}\) aproximadamente\(x=0\) a la integral. ¿Qué tan cerca está esta aproximación al valor real? ¿La aproximación se vuelve mejor si usas los tres primeros términos distintos de cero en la serie Taylor's? Justifica tu respuesta.

    El componente tangencial de la velocidad de un transbordador espacial durante el reingreso es aproximadamente

    \[v(t) ~=~ v_c \,\tanh\,\left( \frac{g}{v_c} t ~+~ \tanh^{-1} \left(\frac{v_0}{v_c}\right) \right)\]donde\(v_0\) es la velocidad en el tiempo\(t=0\) y\(v_c\) es la velocidad terminal. Si\(\tanh^{-1} \left(\frac{v_0}{v_c}\right) = \frac{1}{2}\) entonces demuéstralo\(v(t) \approx gt + \frac{1}{2}v_c\).

    La velocidad de una ola de agua de longitud\(L\) en agua de profundidad\(h\) satisface la ecuación\(v^2 = \frac{gL}{2\pi} \tanh \left( \frac{2\pi h}{L}\right)\). \(v \approx \sqrt{gh}\)Demuéstralo.

    Un disco de radio\(a\) tiene una carga de densidad constante\(\sigma\). Un punto\(P\) se encuentra a una distancia\(r\) directamente por encima del disco. El potencial eléctrico\(V\) en el punto\(P\) viene dado por\(V = 2\pi\sigma(\sqrt{r^2 + a^2} - r)\). \(V \approx \frac{\pi a^2 \sigma}{r}\)Demuéstralo para grandes\(r\) (es decir\(r \gg 1\)).

    La aproximación Padé de quinto grado utiliza funciones racionales para aproximar\(\tanh\,x\):

    \[\tanh\,x ~\approx~ \frac{x^5 + 105x^3 + 945x}{15x^4 + 420x^2 + 945}\]Comparar los valores de la aproximación Padé y la aproximación de la serie Taylor de quinto grado de Exercise [exer:taylortanh], evaluados en\(x=1\). ¿Cuál es mejor? El valor real de\(\tanh (1)\) es 0.7615941559558. ¿Cómo se comparan las dos aproximaciones\(x=2\)?


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