4.E: Integrales de Línea y Superficie (Ejercicios)
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4.1: Integrales de línea
A
Para los Ejercicios 1-4, calcule\(\int_C f (x, y)\,ds\) para la función\(f (x, y)\) y curva dadas\(C\).
4.1.1. \(f (x, y) = x y;\quad C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ π/2\)
4.1.2. \(f (x, y) = \frac{x}{ x^ 2} +1 ;\quad C : x = t, y = 0, 0 ≤ t ≤ 1\)
4.1.3. \(f (x, y) = 2x+ y;\quad C:\text{ polygonal path from }(0,0) \text{ to }(3,0)\text{ to }(3,2)\)
4.1.4. \(f (x, y) = x + y^2 ;\quad C: \text{ path from }(2,0)\text{ counterclockwise along the circle }x^ 2 + y^ 2 = 4 \text{ to the point }(−2,0)\text{ and then back to }(2,0)\text{ along the }x\text{-axis}\)
4.1.5. Use una línea integral para encontrar el área de superficie lateral de la parte del cilindro\(x^ 2 + y^ 2 = 4\) debajo del plano\(x+2y+ z = 6\) y por encima del\(x y\) plano.
Para los Ejercicios 6-11, calcule\(\int_C \textbf{f}· d\textbf{r}\) para el campo vectorial\(\textbf{f}(x, y)\) y la curva dados\(C\).
4.1.6. \(\textbf{f}(x, y) = \textbf{i}−\textbf{j};\quad C : x = 3t, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1\)
4.1.7. \(\textbf{f}(x, y) = y\textbf{i}− x\textbf{j};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π\)
4.1.8. \(\textbf{f}(x, y) = x\textbf{i}+ y\textbf{j};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π\)
4.1.9. \(\textbf{f}(x, y) = (x^ 2 − y)\textbf{i}+(x− y^ 2 )\textbf{j};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π\)
4.1.10. \(\textbf{f}(x, y) = x y^2 \textbf{i}+ x y^3 \textbf{j};\quad C :\text{ the polygonal path from }(0,0)\text{ to }(1,0)\text{ to }(0,1)\text{ to }(0,0)\)
4.1.11. \(\textbf{f}(x, y) = (x^ 2 + y^ 2 )\textbf{i};\quad C : x = 2+\cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π\)
B
4.1.12. Verificar que el valor de la integral de línea en el Ejemplo 4.1 no cambie al usar la parametrización del círculo\(C\) dado en las fórmulas Ecuación (4.8).
4.1.13. Mostrar que si\(\textbf{f} ⊥ \textbf{r} ′ (t)\) en cada punto a\(\textbf{r}(t)\) lo largo de una curva suave\(C\), entonces\(\int_C \textbf{f}· d\textbf{r} = 0\).
4.1.14. Mostrar que si\(\textbf{f}\) apunta en la misma dirección que\(\textbf{r} ′ (t)\) en cada punto a\(\textbf{r}(t)\) lo largo de una curva suave\(C\), entonces\(\int_C \textbf{f}· d\textbf{r} = \int_C \norm{ \textbf{f}}\,ds\).
c
4.1.15. \(\int_C f (x, y)\,ds = \int_{−C} f (x, y)\,ds\)Demuéstralo. (Pista: Usar fórmulas Ecuación (4.9).)
4.1.16. Dejar\(C\) ser una curva suave con longitud de arco\(L\), y supongamos que\(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i}+Q(x, y)\textbf{j}\) es un campo vectorial tal que\(\norm{\textbf{f}(x, y)} ≤ M\) para todos\((x, y) \text{ on }C\). Demostrar eso\(\left | \int_C \textbf{f}· d\textbf{r} \right | ≤ ML\). (Pista: Recordemos eso\(\left | \int_a^b g(x)\,dx \right | ≤ \int_a^b | g(x) |\,dx\) para las integrales de Riemann. )
4.1.17. Demostrar que la integral de Riemann\(\int_a^b f (x)\,dx\) es un caso especial de una integral de línea.
4.2: Propiedades de Integrales de Línea
A
4.2.1. Evaluar\(\oint_C (x^ 2 + y^ 2 )\,dx+2x y\, d y\) para\(C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π.\)
4.2.2. Evaluar\(\int_C (x^2 + y^ 2 )\,dx+2x y\, d y\) para\(C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ π\)
4.2.3. ¿Existe un potencial\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = y\textbf{i}− x\textbf{j}\)? Si es así, encuentra uno.
4.2.4. ¿Existe un potencial\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = x\textbf{i}− y\textbf{j}\)? Si es así, encuentra uno.
4.2.5. ¿Existe un potencial\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = x y^2 \textbf{i}+ x^ 3 y\textbf{j}\)? Si es así, encuentra uno.
B
4.2.6. Let\(\textbf{f}(x, y) \text{ and }\textbf{g}(x, y)\) be vector fields, let\(a \text{ and }b\) be constants, y let\(C\) be a curve in\(\mathbb{R}^ 2\). Demostrar que
\[\int_C (a\textbf{f}± b\textbf{g})· d\textbf{r} = a \int_C \textbf{f}· d\textbf{r} ± b \int_C \textbf{g}· d\textbf{r} .\]
4.2.7. Dejar\(C\) ser una curva cuya longitud de arco es\(L\). Demostrar eso\(\int_C 1\,ds = L\).
4.2.8. Dejar\(f (x, y) \text{ and }g(x, y)\) ser funciones continuamente diferenciables de valor real en una región\(R\). Demostrar que
\[\oint_C f ∇g · d\textbf{r} = −\oint_C g∇f · d\textbf{r}\]
para cualquier curva cerrada\(C\) en\(R\). (Pista: Utilice el Ejercicio 21 en la Sección 2.4. )
4.2.9. Que\(\textbf{f}(x, y) = \frac{−y}{ x^ 2+y^ 2} \textbf{i}+ \frac{x}{ x^ 2+y^ 2} \textbf{j}\) para todos\((x, y) \neq (0,0)\), y\(C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π.\)
(a) Demostrar eso\(\textbf{f} = ∇F,\text{ for }F(x, y) = \tan^{−1} (y/x)\).
b) Demostrar eso\(\oint_C \textbf{f}· d\textbf{r} = 2π\). ¿Esto contradice el Corolario 4.6? Explique.
C
4.2.10. Dejar\(g(x) \text{ and }h(y)\) ser funciones diferenciables, y dejar\(\textbf{f}(x, y) = h(y)\textbf{i}+ g(x)\textbf{j}\). ¿Puede f tener un potencial\(F(x, y)\)? Si es así, encuéntralo. Se puede asumir que\(F\) sería suave. (Pista: Considere las derivadas parciales mixtas de\(F\).)
4.3: Teorema de Green
A
Para los Ejercicios 1-4, use el Teorema de Green para evaluar la integral de línea dada alrededor de la curva\(C\), atravesada en sentido antihorario.
4.3.1. \(\oint_C (x^ 2 − y^ 2 )\,dx+2x y \,d y; C\text{ is the boundary of }R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 2x^ 2 ≤ y ≤ 2x}\)
4.3.2. \(\oint_C x^ 2 y \,dx+2x y \,d y; C \text{ is the boundary of }R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x^ 2 ≤ y ≤ x}\)
4.3.3. \(\oint_C 2y\, dx−3x\, d y; C \text{ is the circle }x^ 2 + y^ 2 = 1\)
4.3.4. \(\oint_C (e^{ x^ 2} + y^ 2 )\,dx + (e^{ y^ 2} + x^ 2 )\,d y; C \text{ is the boundary of the triangle with vertices }(0,0), (4,0) \text{ and }(0,4)\)
4.3.5. ¿Existe un potencial\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = (y^ 2 +3x^ 2 )\textbf{i}+2x y\textbf{j}\)? Si es así, encuentra uno.
4.3.6. ¿Existe un potencial\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = (x^ 3 \cos (x y) + 2x\sin (x y))\textbf{i} + x^ 2 y\cos (x y)\textbf{j}\)? Si es así, encuentra uno.
4.3.7. ¿Existe un potencial\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = (8x y+3)\textbf{i}+4(x^ 2 + y)\textbf{j}\)? Si es así, encuentra uno.
4.3.8. Demuéstralo para cualquier constante\(a, b \text{ and any closed simple curve }C, \oint_C a\, dx+ b \,d y = 0\).
B
4.3.9. Para el campo vectorial f como en el Ejemplo 4.8, mostrar directamente eso\(\oint_C \textbf{f}· d\textbf{r} = 0\), donde\(C\) está el límite del anillo\(R = {(x, y) : 1/4 ≤ x^ 2 + y^ 2 ≤ 1}\) atravesado de manera que\(R\) esté siempre a la izquierda.
4.3.10. Evaluar\(\oint_C e^ x \sin y \,dx+(y^ 3 + e^ x \cos y)\,d y\), donde\(C\) está el límite del rectángulo con vértices\((1,−1), (1,1), (−1,1) \text{ and }(−1,−1)\), atravesado en sentido antihorario.
C
4.3.11. Para una región\(R\) delimitada por una curva cerrada simple\(C\), mostrar que el área\(A \text{ of }R\) es
\[A = −\oint_C y\, dx = \oint_C x \,d y = \frac{1}{ 2}\oint_C x \,d y− y \,dx ,\]
donde\(C\) se recorre para que\(R\) esté siempre a la izquierda. (Pista: Utilice el teorema de Green y el hecho de que\(A = \iint\limits_R 1\,d A.\))
4.4: Integrales superficiales y teorema de divergencia
A
Para los Ejercicios 1-4, utilice el Teorema de Divergencia para evaluar la integral superficial\(\iint_Σ \textbf{f}· d\textbf{σ}\) del campo vectorial dado\(\textbf{f}(x, y, z)\) sobre la superficie\(Σ\).
4.4.1. \(\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i}+2y\textbf{j}+3z\textbf{k}, Σ : x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 9\)
4.4.2. \(\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i}+ y\textbf{j}+ z\textbf{k}, Σ :\text{ boundary of the solid cube }S = {(x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ 1}\)
4.4.3. \(\textbf{f}(x, y, z) = x^ 3 \textbf{i}+ y^ 3 \textbf{j}+ z^ 3\textbf{k}, Σ : x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 1\)
4.4.4. \(\textbf{f}(x, y, z) = 2\textbf{i}+3\textbf{j}+5\textbf{k}, Σ : x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 1\)
B
4.4.5. Mostrar que el flujo de cualquier campo vectorial constante a través de cualquier superficie cerrada es cero.
4.4.6. Evaluar la integral de superficie del Ejercicio 2 sin usar el Teorema de Divergencia, es decir, usando solo la Definición 4.3, como en el Ejemplo 4.10. Tenga en cuenta que habrá un vector normal de unidad exterior diferente para cada una de las seis caras del cubo.
4.4.7. Evaluar la integral de superficie\(\iint_Σ \textbf{f}· d\textbf{σ}\), donde\(\textbf{f}(x, y, z) = x^ 2 \textbf{i}+ x y\textbf{j}+ z\textbf{k}\text{ and }Σ\) está la parte del plano\(6x + 3y + 2z = 6 \text{ with }x ≥ 0, y ≥ 0, \text{ and }z ≥ 0\), con la unidad exterior normal n apuntando en la\(z\) dirección positiva.
4.4.8. Utilice una integral de superficie para mostrar que el área de superficie de una esfera de radio\(r\) es\(4πr^2\). (Pista: Usa coordenadas esféricas para parametrizar la esfera. )
4.4.9. Utilice una integral de superficie para mostrar que el área de superficie de un cono circular derecho de radio\(R\) y altura\(h\) es\(πR \sqrt{ h^ 2 + R^2}\). (Pista: Usar la parametrización\(x = r \cos θ, y = r \sin θ, z = \frac{h}{ R} r, \text{ for }0 ≤ r ≤ R \text{ and }0 ≤ θ ≤ 2π.\))
4.4.10. El elipsoide se\(\frac{x^ 2}{ a^ 2} + \frac{y^ 2}{ b^ 2} + \frac{z^ 2}{ c^ 2} = 1\) puede parametrizar usando coordenadas elipsoidales
\[x = a\sin φ \cos θ ,\, y = b\sin φ \sin θ , \,z = c \cos φ ,\text{ for } 0 ≤ θ ≤ 2π \text{ and }0 ≤ φ ≤ π.\]
Mostrar que el área\(S\) de superficie del elipsoide es
\[S = \int_0^π \int_0^2π \sin φ \sqrt{ a^ 2 b^ 2 \cos^2 φ+ c^ 2(a^ 2 \sin^2 θ + b^ 2 \cos^2 θ)\sin^2 φ}\, dθ\, dφ .\]
(Nota: La doble integral anterior no puede ser evaluada por medios elementales. Para valores específicos de la\(a, b \text{ and }c\) misma se pueden evaluar utilizando métodos numéricos. Una alternativa es expresar la superficie en términos de integrales elípticas.)
C
4.4.11. Utilice la definición 4.3 para demostrar que el área de superficie\(S\) sobre una\(R\) región\(\mathbb{R}^ 2\) de una superficie\(z = f (x, y)\) viene dada por la fórmula
\[S = \iint\limits_R \sqrt{ 1+ \left ( \frac{∂f}{ ∂x} \right )^2 + \left ( \frac{ ∂f}{ ∂y} \right )^2} \,d A .\]
(Pista: Piense en la parametrización de la superficie. )
4.5: Teorema de Stokes
A
Para los Ejercicios 1-3, calcule\(\int_C f (x, y, z)\,ds\) para la función\(f (x, y, z)\) y curva dadas\(C\).
4.5.1. \(f (x, y, z) = z; \quad C : x = \cos t, y = \sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π\)
4.5.2. \(f (x, y, z) = \frac{x}{ y} + y+2yz;\quad C : x = t^ 2 , y = t, z = 1, 1 ≤ t ≤ 2\)
4.5.3. \(f (x, y, z) = z^ 2 ;\quad C : x = t\sin t, y = t \cos t, z = \frac{2 \sqrt{ 2}}{ 3} t^{ 3/2}, 0 ≤ t ≤ 1\)
Para Ejercicios 4-9, calcule\(\int_C \textbf{f}· d\textbf{r}\) para el campo vectorial dado\(\textbf{f}(x, y, z) \text{ and curve }C\).
4.5.4. \(\textbf{f}(x, y, z) = \textbf{i}−\textbf{j}+\textbf{k};\quad C : x = 3t, y = 2t, z = t, 0 ≤ t ≤ 1\)
4.5.5. \(\textbf{f}(x, y, z) = y\textbf{i}− x\textbf{j}+ z\textbf{k};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π\)
4.5.6. \(\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i}+ y\textbf{j}+ z\textbf{k};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, z = 2, 0 ≤ t ≤ 2π\)
4.5.7. \(\textbf{f}(x, y, z) = (y−2z)\textbf{i}+ x y\textbf{j}+(2xz + y)\textbf{k};\quad C : x = t, y = 2t, z = t^ 2 −1, 0 ≤ t ≤ 1\)
4.5.8. \(\textbf{f}(x, y, z) = yz \textbf{i}+ xz \textbf{j}+ x y\textbf{k};\quad C : \text{ the polygonal path from }(0,0,0) \text{ to }(1,0,0)\text{ to }(1,2,0)\)
4.5.9. \(\textbf{f}(x, y, z) = x y\textbf{i}+(z − x)\textbf{j}+2yz\textbf{k};\quad C :\text{ the polygonal path from }(0,0,0) \text{ to }(1,0,0) \text{ to }(1,2,0) \text{ to }(1,2,−2)\)
Para los Ejercicios 10-13, indica si el campo vectorial\(\textbf{f}(x, y, z)\) tiene o no un potencial en\(\mathbb{R}^ 3\) (no es necesario encontrar el potencial en sí mismo).
4.5.10. \(\textbf{f}(x, y, z) = y\textbf{i}− x\textbf{j}+ z\textbf{k}\)
4.5.11. \(\textbf{f}(x, y, z) = a\textbf{i}+ b\textbf{j}+ c\textbf{k} (a, b, c \text{ constant})\)
4.5.12. \(\textbf{f}(x, y, z) = (x+ y)\textbf{i}+ x\textbf{j}+ z^ 2\textbf{k}\)
4.5.13. \(\textbf{f}(x, y, z) = x y\textbf{i}−(x− yz^2 )\textbf{j}+ y^ 2 z\textbf{k}\)
B
Para los Ejercicios 14-15, verifique el Teorema de Stokes para el campo vectorial\(\textbf{f}(x, y, z)\) y la superficie dados\(Σ\).
4.5.14. \(\textbf{f}(x, y, z) = 2y\textbf{i}− x\textbf{j}+ z\textbf{k};\quad Σ : x ^2 + y^ 2 + z^ 2 = 1, z ≥ 0\)
4.5.15. \(\textbf{f}(x, y, z) = x y\textbf{i}+ xz \textbf{j}+ yz\textbf{k};\quad Σ : z = x^ 2 + y^ 2 , z ≤ 1\)
4.5.16. Construye una tira de Möbius a partir de una hoja de papel, luego dibuja una línea por su centro (como la línea punteada en la Figura 4.5.3 (b)). Corta la tira de Möbius a lo largo de esa línea central completamente alrededor de la tira. ¿En cuántas superficies resulta esto? ¿Cómo los describirías? ¿Son orientables?
4.5.17. Utilice Gnuplot (ver Apéndice C) para trazar la tira de Möbius parametrizada como:
\[\textbf{r}(u,v) = \cos u(1+ v\cos \frac{u}{ 2} )\textbf{i}+\sin u(1+ v\cos \frac{u}{ 2} )\textbf{j}+ v\sin \frac{u}{ 2} \textbf{k} ,\, 0 ≤ u ≤ 2π , -\frac{1}{ 2} ≤ v ≤ \frac{1}{ 2}\]
C
4.5.18. Dejar\(Σ\) ser una superficie cerrada y\(\textbf{f}(x, y, z)\) un campo vectorial liso. Demostrar eso\(\iint\limits_Σ (\text{curl } \textbf{f})· \textbf{n}dσ = 0\). (Pista: Dividir por\(Σ\) la mitad.)
4.5.19. Demostrar que el Teorema de Green es un caso especial del Teorema de Stokes.
4.6: Gradiente, divergencia, rizo y laplaciano
A
Para los Ejercicios 1-6, encuentra el Laplaciano de la función\(f (x, y, z)\) en coordenadas cartesianas.
4.6.1. \(f (x, y, z) = x+ y+ z \)
4.6.2. \(f (x, y, z) = x^ 5\)
4.6.3. \(f (x, y, z) = (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 )^{ 3/2}\)
4.6.4. \(f (x, y, z) = e^{ x+y+z}\)
4.6.5. \(f (x, y, z) = x^ 3 + y^ 3 + z^ 3\)
4.6.6. \(f (x, y, z) = e^{ −x^ 2−y^ 2−z^ 2}\)
4.6.7. Encuentra el Laplaciano de la función en el Ejercicio 3 en coordenadas esféricas.
4.6.8. Encuentra el Laplaciano de la función en el Ejercicio 6 en coordenadas esféricas.
4.6.9. Dejar\(f (x, y, z) = \frac{z}{ x^ 2 + y^ 2}\) entrar las coordenadas cartesianas. Encuentra\(∇f\) en coordenadas cilíndricas.
4.6.10. Para\(\textbf{f}(r,θ, z) = r\textbf{e}_r + z \sin θ \textbf{e}_θ + rz\textbf{e}_z\) en coordenadas cilíndricas, encuentra div f y curl f.
4.6.11. Para\(\textbf{f}(ρ,θ,φ) = \textbf{e}_ρ +ρ \cos θ \textbf{e}_θ +ρ \textbf{e}_φ\) en coordenadas esféricas, encontrar div f y curl f.
B
Para los Ejercicios 12-23, pruebe la fórmula dada (\(r = \norm{\textbf{r}}\)es la longitud del campo del vector de posición\(\textbf{r}(x, y, z) = x\textbf{i}+ y\textbf{j}+ z\textbf{k}\)).
4.6.12. \(∇(1/r) = −\textbf{r}/r^ 3\)
4.6.13. \(∆(1/r) = 0\)
4.6.14. \(∇· (\textbf{r}/r^ 3 ) = 0\)
4.6.15. \(∇(\ln r) = \textbf{r}/r^ 2\)
4.6.16. div\((\textbf{F}+\textbf{G}) = \text{div }\textbf{F} + \text{div }\textbf{G}\)
4.6.17. rizo\((\textbf{F}+\textbf{G}) = \text{curl }\textbf{F} + \text{curl }\textbf{G}\)
4.6.18. div\((f \textbf{F}) = f \text{div }\textbf{F} + \textbf{F}· ∇f\)
4.6.19. div\((\textbf{F}× \textbf{G}) = \textbf{G}· \text{curl }\textbf{F} − \textbf{F}· \text{curl }\textbf{G}\)
4.6.20. div\((∇f × ∇g) = 0\)
4.6.21. rizo\((f \textbf{F}) = f \text{curl }\textbf{F} + (∇f )× \textbf{F}\)
4.6.22. rizo (rizo\(\textbf{F}\)) =\(∇(\text{div }\textbf{F}) − ∆\textbf{F}\)
4.6.23. \(∆(f g) = f ∆ g + g∆ f + 2(∇f · ∇g)\)
C
4.6.24. Demostrar Teorema 4.17.
4.6.25. Derivar la fórmula del gradiente en coordenadas cilíndricas:\(∇F = \frac{∂F}{ ∂r} \textbf{e}_r + \frac{1}{ r} \frac{∂F}{ ∂θ} \textbf{e}_θ + \frac{∂F}{ ∂z} \textbf{e}_z\)
4.6.26. Utilizar\(\textbf{f} = u∇v\) en el Teorema de la Divergencia para demostrar:
a) La primera identidad de Green:\(\iiint\limits_S (u∆v + (∇u)· (∇v))\,dV = \iint\limits_Σ (u∇v)· dσ\)
b) La segunda identidad de Green:\(\iiint\limits_S (u∆v − v∆u)\,dV = \iint\limits_Σ (u∇v − v∇u)· dσ\)
4.6.27. Supongamos que\(∆u = 0\) (es decir,\(u\) es armónico) sobre\(\mathbb{R}^ 3\). Defina la derivada normal\(\frac{∂u}{ ∂n}\) de\(u\) sobre una superficie cerrada\(Σ\) con el vector normal unitario exterior n por\(\frac{∂u}{ ∂n} = D_n u = \textbf{n}· ∇u\). Demostrar eso\(\iint\limits_Σ \frac{∂u}{ ∂n}\, dσ = 0\). (Pista: Usa la segunda identidad de Green.)