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# 4: Integrales de Línea y Superficie

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Una integral de línea es una integral donde la función a integrar se evalúa a lo largo de una curva y una integral de superficie es una generalización de múltiples integrales a la integración sobre superficies. Se puede pensar como el doble análogo integral de la línea integral. Dada una superficie, uno puede integrar sobre sus campos escalares (es decir, funciones que devuelven escalares como valores), y campos vectoriales (es decir, funciones que devuelven vectores como valores). Las integrales superficiales tienen aplicaciones en física, particularmente con las teorías del electromagnetismo clásico.

• 4.1: Integrales de línea
En esta sección, veremos cómo definir la integral de una función (ya sea de valor real o vectorizado) de dos variables sobre una ruta general (es decir, una curva) en$$\mathbb{R}^2$$. Esta definición estará motivada por la noción física de trabajo. Comenzaremos con funciones de valor real de dos variables.
• 4.2: Propiedades de Integrales de Línea
Sabemos por la sección anterior que para integrales de línea de funciones de valor real (campos escalares), invertir la dirección en la que se toma la integral a lo largo de una curva no cambia el valor de la integral de línea.
• 4.3: Teorema de Green
Ahora veremos una manera de evaluar la integral de línea de un campo vectorial suave alrededor de una curva cerrada simple. Un campo vectorial$$\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i} + Q(x, y)\textbf{j}$$ es suave si su componente funciona$$P(x, y)$$ y$$Q(x, y)$$ son suaves. Utilizaremos el Teorema de Green (a veces llamado Teorema de Green en el plano) para relacionar la línea integral alrededor de una curva cerrada con una doble integral sobre la región dentro de la curva:
• 4.4: Integrales superficiales y teorema de divergencia
Ahora aprenderemos a realizar la integración sobre una superficie en$$\mathbb{R}^3$$, como una esfera o un paraboloide. Recordemos de la Sección 1.8 cómo identificamos puntos$$(x, y, z)$$ en una curva$$C$$ en$$\mathbb{R}^3$$, parametrizados por$$x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b$$, con los puntos terminales del vector de posición.
• 4.5: Teorema de Stokes
Hasta ahora los únicos tipos de integrales de línea que hemos discutido son aquellos a lo largo de las curvas en$$\mathbb{R}^ 2$$. Pero las definiciones y propiedades que se cubrieron en las Secciones 4.1 y 4.2 se pueden extender fácilmente para incluir funciones de tres variables, de manera que ahora podemos discutir integrales de línea a lo largo de curvas en$$\mathbb{R}^ 3$$.
• 4.6: Gradiente, divergencia, rizo y laplaciano
En esta sección final estableceremos algunas relaciones entre el gradiente, la divergencia y el rizo, y también introduciremos una nueva cantidad llamada laplaciana. A continuación, mostraremos cómo escribir estas cantidades en coordenadas cilíndricas y esféricas.
• 4.E: Integrales de Línea y Superficie (Ejercicios)
Problemas y soluciones selectas al capítulo.

Miniaturas: El flujo total a través de la superficie se encuentra sumando para cada parche. En el límite a medida que los parches se vuelven infinitesimalmente pequeños, esta es la integral de superficie. (CC0; Chetvorno vía Wikipedia)

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