1.5: Determinar si una afirmación es verdadera

Para ponerlos todos en un solo lugar, las tablas de verdad para las conectivas de la Lógica Proposicional se repiten aquí:\ [\ begin {array} {c||c}
\ mathcal {A} &\ neg\ mathcal {A}
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\ end {array}\]
\ [\ begin {array} {c|c||c|c|c|c}
\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ vee\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ mathcal {A}\ Mathcal {A} &\ mathcal {A}\ Izquierda fila\ mathcal {B}\\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ mathrm {T} &
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} & {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\ end {array}\]

Tablas de verdad para los conectivos de la Lógica Proposicional.

Todo estudiante avanzado de matemáticas necesita poder reproducir rápidamente todas estas tablas de verdad, sin buscarlas.

Usando estas tablas, deberías poder decidir si alguna afirmación dada es verdadera o falsa, para cualquier valor particular de sus letras de aserción. (En esto, a menudo nos referimos a las letras de aserción como “variables”).

Ejemplo\(1.5.1\).

Supongamos que\(A\)\(B\) es verdad, es falso, y\(C\) es falso. ¿Es\((A \lor B) \Rightarrow (B \& \lnot C)\) verdad?

Solución

Tenemos\[\begin{aligned} (A \lor B) \Rightarrow (B \& \lnot C) &\quad= \quad(\mathsf{T} \lor \mathsf{F}) \Rightarrow (\mathsf{F} \& \lnot \mathsf{F}) \\&\quad= \quad\mathsf{T} \Rightarrow (\mathsf{F} \& \mathsf{T}) \\&\quad= \quad\mathsf{T} \Rightarrow \mathsf{F} \\&\quad= \quad\mathsf{F} . \end{aligned}\] La aseveración no es cierta.

¿Qué significa esto en inglés? Supongamos, por ejemplo, que tenemos la clave de simbolización

A: Bill horneó un pastel de manzana,

B: Bill horneó un pastel de plátano,

C: Bill horneó un pastel de cerezas.

También supongamos que Ellen nos dice (tal vez porque sabe qué ingredientes tiene Bill):

Si Bill horneó un pastel de manzana o un pastel de plátano, entonces horneó un pastel de plátano, pero no horneó un pastel de cerezas.

Ahora, resulta que\[\text{Bill baked an apple pie, but did not bake a banana pie, and did not bake a cherry pie.}\] Entonces el cálculo anterior muestra que Ellen estaba equivocada; su aseveración es falsa.

Ejemplo\(1.5.2\).

Supongamos que\(A\)\(B\) es verdad, es falso, y\(C\) es verdad. ¿Es\((A \lor C) \Rightarrow \lnot (A \Rightarrow B)\) verdad?

Solución

Tenemos\[\begin{aligned} (A \lor C) \Rightarrow \lnot (A \Rightarrow B) &\quad= \quad (\mathsf{T} \lor \mathsf{T}) \Rightarrow \lnot (\mathsf{T} \Rightarrow \mathsf{F}) \\& \quad= \quad \mathsf{T} \Rightarrow \lnot \mathsf{F} \\& \quad= \quad \mathsf{T} \Rightarrow \mathsf{T} \\& \quad= \quad \mathsf{T} . \end{aligned}\] La aseveración es cierta.

Ejercicio\(1.5.3\).

Determinar si cada aserción es verdadera para los valores dados de las variables.

1. \((A \lor C) \Rightarrow \lnot (A \Rightarrow B)\)
   1. \(A\)es verdad,\(B\) es falso, y\(C\) es falso.
   2. \(A\)es falso,\(B\) es verdadero, y\(C\) es falso.
2. \(\bigl(P \lor \lnot (Q \Rightarrow R) \bigr) \Rightarrow \bigl( (P \lor Q) \& R \bigr)\)
   1. \(P\),\(Q\), y\(R\) son todas ciertas.
   2. \(P\)es verdad,\(Q\) es falso, y\(R\) es verdad.
   3. \(P\)es falso,\(Q\) es verdadero, y\(R\) es falso.
   4. \(P\),\(Q\), y\(R\) son todas falsas.
3. \(\bigl( (U \& \lnot V) \lor (V \& \lnot W) \lor (W \& \lnot U) \bigr)\)4em\(\Rightarrow \lnot (U \& V \& W)\)
   1. \(U\),\(V\), y\(W\) son todas ciertas.
   2. \(U\)es verdad,\(V\) es verdad, y\(W\) es falsa.
   3. \(U\)es falso,\(V\) es verdadero, y\(W\) es falso.
   4. \(U\),\(V\), y\(W\) son todas falsas.
4. \((X \lor \lnot Y) \& (X \Rightarrow Y)\)
   1. \(X\)y ambos\(Y\) son ciertos.
   2. \(X\)es verdadero y\(Y\) es falso.
   3. \(X\)es falso y\(Y\) es cierto.
   4. \(X\)y ambos\(Y\) son falsos.