1.4: Conectivos

Las conectivas lógicas se utilizan para construir aserciones complejas a partir de piezas más simples. Hay cinco conectivos lógicos en la Lógica Proposicional. Esta tabla los resume, y se explican a continuación.

símbolo	apodo	lo que significa
\(\lnot\)	no	“No es el caso que ______”
\(\&\)	y	“Tanto ______ como ______”
\(\lor\)	o	“Ya sea ______ o ______”
\(\Rightarrow\)	implica	“Si ______ entonces ______”
\(\Leftrightarrow\)	iff	“______ si y solo si ______”

OBSERVACIÓN\(1.4.1\).

A medida que aprendamos a escribir pruebas, será importante poder producir una deducción en Lógica Proposicional a partir de una secuencia de aseveraciones en inglés. También será importante poder recuperar el significado inglés a partir de una secuencia de aserciones en la Lógica Proposicional, dada una clave de simbolización. El cuadro anterior debería resultar útil en ambas tareas.

1.4A. No\((\lnot)\).

Como ejemplo, consideremos cómo podríamos simbolizar estas afirmaciones:

1. Mary está en Barcelona.
2. María no está en Barcelona.
3. Mary está en otro lugar que no sea Barcelona.

Para simbolizar la Aserción 1, necesitaremos una letra. Podemos proporcionar una clave de simbolización:

\(B\): Mary está en Barcelona.

Tenga en cuenta que aquí estamos dando\(B\) una interpretación diferente a la que hicimos en el apartado anterior. La clave de simbolización sólo especifica qué\(B\) significa en un contexto específico. Es vital que sigamos usando este significado de mientras\(B\) estemos hablando de María y Barcelona. Posteriormente, cuando estamos simbolizando diferentes aserciones, podemos escribir una nueva clave de simbolización y usarla\(B\) para significar otra cosa.

Ahora bien, la Aserción 1 es simplemente\(B\).

Dado que la Aserción 2 está obviamente relacionada con la Aserción 1, no queremos introducir una letra diferente para representarla. Para ponerlo en parte en inglés, la aserción significa “No es cierto eso”\(B\). Para abreviar, los lógicos dicen “No”\(B\). A esto se le llama la negación lógica de\(B\). Para convertirlo completamente en símbolos, usaremos “\(\lnot\)” para denotar negación lógica. Entonces podemos simbolizar “No\(B\)” como\(\lnot B\).

La afirmación 3 se refiere a si María está o no en Barcelona, pero no contiene la palabra “no”. Sin embargo, ambos significan “no es el caso de que María esté en Barcelona”. Como tal, podemos traducir tanto la Aserción 2 como la Aserción 3 como\(\lnot B\). \[\text{An assertion can be symbolized as \(\lnot A\) if it can be paraphrased in English as "It is not the case that \(A\)''}\]

Considere estos ejemplos adicionales:

4. El widget se puede reemplazar si se rompe.
5. El widget es insustituible.
6. El widget no es insustituible.

Si dejamos que\(R\) signifique “El widget es reemplazable”, entonces la aserción 4 puede traducirse como\(R\).

¿Qué pasa con la aserción 5? Decir que el widget es insustituible significa que no es el caso de que el widget sea reemplazable. Entonces, aunque la aserción 5 no es negativa en inglés, la simbolizamos usando la negación como\(\lnot{R}\).

La aserción 6 puede parafrasearse como “No es el caso de que el widget sea insustituible”. Ahora, como ya hemos comentado, “El widget es insustituible” puede simbolizarse como “”\(\lnot R\). Por lo tanto, la Aserción 6, puede formularse como “no es así lo que sucede”\(\lnot R\). De ahí que sea la negación de\(\lnot R\), por lo que se puede simbolizar como\(\lnot \lnot R\). Esto es una doble negación. (No obstante, si piensas en la aserción en inglés, es otra forma de decir lo mismo que Assertion 4. En general, veremos que si\(A\) hay alguna aserción, entonces\(A\) y\(\lnot\lnot A\) son “lógicamente equivalentes”).

Más ejemplos:

7. Elliott es bajito.
8. Elliott es alto.

Si dejamos que\(S\) signifique “Elliot es corto”, entonces podemos simbolizar la Aserción 7 como\(S\).

No obstante, sería un error simbolizar la Aserción 8 como\(\lnot{S}\). Si Elliott es alto, entonces no es bajo—pero Aserción 8 no significa lo mismo que “no es el caso de que Elliott sea bajito”. Podría ser que no sea alto pero que tampoco sea bajo: quizá esté en algún lugar entre los dos (estatura media). Para simbolizar la Aserción 8, necesitaríamos una nueva carta de aserción.

Para cualquier aseveración\(A\):

• Si\(A\) es cierto, entonces\(\lnot{A}\) es falso.
• Si\(\lnot{A}\) es cierto, entonces\(A\) es falso.

Usando “\(\mathsf{T}\)” para true y “\(\mathsf{F}\)” para false, podemos resumir esto en una tabla de verdad para negación:\ [\ begin {array} {c||c}
\ mathcal {A} &\ neg\ mathcal {A}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\ mathrm {F} &
\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\ fin {matriz}\]

Ejercicio\(1.4.2\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada afirmación en inglés a.

\(M\): Esas criaturas son hombres de traje.
\(C\): Esas criaturas son chimpancés.
\(G\): Esas criaturas son gorilas.

1. Esas criaturas no son hombres de traje.
2. No es el caso de que esas criaturas no sean gorilas.
3. ¡Claro que esas criaturas no son chimpancés!

Ejercicio\(1.4.3\).

Usando la misma clave de simbolización, traduzca cada aserción simbólica al inglés:

1. \(G\)
2. \(\lnot M\)
3. \(\lnot\lnot C\)

1.4B. Y\((\&)\).

Considera estas aseveraciones:

9. Adam es atlético.
10. Bárbara es atlética.
11. Adam es atlético, y Bárbara también es atlética.

Necesitaremos letras de aserción separadas para las Aserciones 9 y 10, así definimos esta clave de simbolización:

\(A\): Adam es atlético.
\(B\): Bárbara es atlética.

La aserción 9 puede simbolizarse como\(A\).

La aserción 10 puede simbolizarse como\(B\).

La aserción 11 puede parafrasearse como “\(A\)y”\(B\). para simbolizar plenamente esta afirmación, necesitamos otro símbolo. Vamos a utilizar “\(\&\).” Traducimos “\(A\)y\(B\)” como\(A\& B\). A esto lo llamaremos conectivo “y” (pero muchos logísticos lo llaman conjunción).

Observe que no hacemos ningún intento de simbolizar “también” en la Aserción 11. Palabras como “ambos” y “también” funcionan para llamar nuestra atención sobre el hecho de que dos cosas están siendo unidas. No están haciendo ningún otro trabajo lógico, así que no necesitamos representarlos en la Lógica Proposicional.

Algunos ejemplos más:

12. Barbara es atlética y enérgica.
13. Barbara y Adam son ambos atléticos.
14. A pesar de que Bárbara es enérgica, no es atlética.
15. Barbara es atlética, pero Adam es más atlético que ella.

La aserción 12 es obviamente una conjunción. El asevero dice dos cosas sobre Bárbara, por lo que en inglés es permisible referirse a Bárbara sólo una vez. Podría ser tentador probar esto al traducir la deducción: Dado que\(B\) significa “Bárbara es atlética”, uno podría parafrasear las aseveraciones como “\(B\)y enérgico”. Esto sería un error. Una vez que traducimos parte de una aserción como\(B\), cualquier otra estructura se pierde. \(B\)es una afirmación atómica; no es más que verdadera o falsa. Por el contrario, “energético” no es una afirmación; por sí sola no es ni verdadera ni falsa. En cambio, deberíamos parafrasear la afirmación como “\(B\)y Bárbara es enérgica”. Ahora necesitamos agregar una carta de aserción a la clave de simbolización. Vamos a\(E\) decir “Bárbara es enérgica”. Ahora la aseveración puede traducirse como\(B\& E\). \[\text{An assertion can be symbolized as \(A \& B\) if it can be paraphrased in English as "both A, and B"}\]

La aserción 13 dice una cosa sobre dos temas diferentes. Dice tanto de Bárbara como de Adam que son atléticos, y en inglés usamos la palabra “athletic” solo una vez. Al traducir a la Lógica Proposicional, es importante darse cuenta de que la afirmación puede parafrasearse como, “Bárbara es atlética, y Adán es atlético”. Así, esto se traduce como\(B\& A\).

La aserción 14 es un poco más complicada. La palabra “aunque” establece un contraste entre la primera parte de la aseveración y la segunda parte. No obstante, la aseveración dice tanto que Bárbara es enérgica como que no es atlética. Para hacer de la segunda parte una aserción atómica, necesitamos reemplazar a “ella” por “Bárbara”.

Entonces podemos parafrasear la Aserción 14 como: “Tanto Bárbara es enérgica como Bárbara no es atlética”. La segunda parte contiene una negación, por lo que parafraseamos más: “Tanto Bárbara es enérgica y no es el caso de que Bárbara sea atlética”. Esto se traduce como\(E\&\lnot B\).

La aserción 15 contiene una estructura contrastiva similar. Es irrelevante con el propósito de traducirlo a la Lógica Proposicional, por lo que podemos parafrasear la afirmación como “Tanto Bárbara es atlética, y Adán es más atlético que Bárbara”. (Observe que una vez más reemplazamos el pronombre “ella” por su nombre.) ¿Cómo debemos traducir la segunda parte? Ya tenemos la carta de aseveración\(A\) que se trata de que Adam sea atlético y\(B\) que se trata de que Bárbara sea atlética, pero tampoco se trata de que uno de ellos sea más atlético que el otro. Necesitamos una nueva carta de aserción. Digamos\(M\) que “Adam es más atlético que Bárbara”. Ahora la aserción se traduce como\(B\& M\). \[\text{Assertions that can be paraphrased "\(A\), but \(B\)" or "Although \(A\), \(B\)" are best symbolized using "and": \(A \& B\).}\]

Es importante tener en cuenta que las cartas de aserción\(A\),\(B\), y\(M\) son aseveraciones atómicas. Considerados como símbolos de la Lógica Proposicional, no tienen ningún significado más allá de ser verdaderos o falsos. Los hemos usado para simbolizar diferentes aseveraciones del idioma inglés que tienen que ver con que las personas sean atléticas, pero esta similitud se pierde por completo cuando traducimos a. Ningún lenguaje formal puede capturar toda la estructura del idioma inglés, pero mientras esta estructura no sea importante para la deducción no se pierde nada al dejarla fuera.

Para cualquier aseveración\(A\) y\(B\),

\[\text{\(A \& B\) is true if and only if both \(A\) and \(B\) are true}\]

Podemos resumir esto en la tabla de verdad para “and”:\ [\ begin {array} {c|c||c}
\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ &\ mathcal {B}\
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\
\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}
\ end {array}\]

Ejercicio\(1.4.4\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada afirmación en inglés a Lógica Proposicional.

E ₁: Ava es electricista.
E ₂: Harrison es electricista.
F ₁: Ava es bombero.
F ₂: Harrison es bombero.
S ₁: Ava está satisfecha con su carrera.
S ₂: Harrison está satisfecho con su carrera.

1. Ava y Harrison son ambos electricistas.
2. Harrison es un electricista insatisfecho.
3. Ni Ava ni Harrison son electricistas.
4. Tanto Ava como Harrison son electricistas, pero ninguno de ellos lo encuentra satisfactorio.
5. No puede ser que Harrison sea tanto electricista como bombero.
6. Ava no es ni electricista, ni bombero.

Ejercicio\(1.4.5\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada aserción simbólica al inglés.

\(J\): A Romeo le gusta Julieta.
\(M\): A Mercutio le gusta Julieta.
\(T\): A Romeo le gusta Tybalt.

1. \(M \& J\)
2. \(J \& \lnot T\)
3. \(\lnot M \& J\)

1.4C. O\((\lor)\).

Considera estas aseveraciones:

16. O Denison jugará al golf conmigo, o verá películas.
17. Ya sea Denison o Ellery jugarán al golf conmigo.

Para estas aseveraciones podemos usar esta clave de simbolización:

\(D\): Denison jugará al golf conmigo.
\(E\): Ellery jugará al golf conmigo.
\(M\): Denison verá películas.

La aserción 16 es “Cualquiera\(D\) o”\(M\). Para simbolizar completamente esto, introducimos un nuevo símbolo. La aserción se convierte\(D \lor M\). Llamaremos a esto conectivo “o” (pero muchos logísticos lo llaman disyunción).

La aserción 17 es sólo un poco más complicada. Hay dos temas, pero la afirmación inglesa sólo da el verbo una vez. Al traducir, podemos parafrasearlo como. “O Denison jugará al golf conmigo, o Ellery jugará al golf conmigo”. Ahora obviamente se traduce como\(D \lor E\). \[\text{An assertion can be symbolized as \(A \lor B\) if it can be paraphrased in English as "Either \(A\), or \(B\)"}\]

A veces en inglés, la palabra “or” excluye la posibilidad de que ambos disjuntos sean ciertos. Esto se llama exclusivo o. Una exclusiva o está claramente pensada cuando dice, en el menú de un restaurante, “Los platos principales vienen con sopa o ensalada”. Puede que tengas sopa; puedes tener ensalada; pero, si quieres tanto sopa como ensalada, entonces tienes que pagar extra.

En otras ocasiones, la palabra “o” permite la posibilidad de que ambos disjuntos puedan ser ciertos. Este es probablemente el caso de la Aserción 17, arriba. Podría jugar con Denison, con Ellery, o con ambos Denison y Ellery. simplemente dice que voy a jugar con al menos uno de ellos. Esto se llama inclusivo o.

El símbolo “\(\lor'\)'representa un inclusivo o. Entonces\(D \lor E\) es verdad si\(D\) es verdad, si\(E\) es verdad, o si ambas\(D\) y\(E\) son verdaderas. Es falso sólo si ambos\(D\) y\(E\) son falsos. Podemos resumir esto con la tabla de verdad para “or”:\ [\ begin {array} {c|c||c}
\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ vee\ mathcal {B}\\\ hline\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} rm {F} &\ mathrm {T}\\
\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}
\ end {array}\]

Al igual que “y”, el conectivo “o” es conmutativo:\({A}\lor{B}\) es lógicamente equivalente a\({B}\lor{A}\) (ver Ejercicio\(1.7.5(2)\)). \[\text{In mathematical writing, "or" always means inclusive or}\]

Estas aseveraciones son algo más complicadas:

18. O no vas a tener sopa, o no vas a tener ensalada.
19. No tendrás ni sopa ni ensalada.
20. Se obtiene sopa o ensalada, pero no ambas.

Dejamos\(S_1\) decir que obtienes sopa y\(S_2\) significa que obtienes ensalada.

La aserción 18 se puede parafrasear de esta manera: “O no es el caso de que te den sopa, o no es el caso de que te den ensalada”. Traducir esto requiere tanto “o” como “no”. Se vuelve\(\lnot S_1 \lor \lnot S_2\).

La aserción 19 también requiere de negación. Se puede parafrasear como, “No es el caso de que o se obtiene sopa o se obtiene ensalada”. Usamos paréntesis para indicar que “no” niega toda la aseveración\(S_1 \lor S_2\), no solo\(S_1\) o\(S_2\): “No es así”\((S_1 \lor S_2)\). Esto se vuelve simple\(\lnot (S_1 \lor S_2)\).

Observe que los paréntesis están haciendo un trabajo importante aquí. La aseveración\(\lnot S_1 \lor S_2\) significaría “O no vas a tener sopa, o vas a tener ensalada”.

Aserción 20 es una exclusiva o. Podemos romper la aseveración en dos partes. La primera parte dice que obtienes uno u otro. Traducimos esto como\((S_1 \lor S_2)\). La segunda parte dice que no se obtienen las dos. Podemos parafrasear esto como: “No es el caso de que tanto te den sopa como a la ensalada”. Usando tanto “no” como “y”, traducimos esto como\(\lnot(S_1 \& S_2)\). Ahora sólo tenemos que juntar las dos partes. Como vimos anteriormente, “pero” generalmente se puede traducir como “y”. Así, la aserción 20 puede traducirse como\((S_1 \lor S_2) \& \lnot(S_1 \& S_2)\).

Si bien “\(\lor'\)'es una o inclusiva, el párrafo anterior ilustra que podemos simbolizar una lógica exclusiva o en Proposicional. Solo necesitamos más de un conectivo para hacerlo.

Ejercicio\(1.4.6\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada afirmación en inglés a Lógica Proposicional.

\(M\): Esas criaturas son hombres de traje.
\(C\): Esas criaturas son chimpancés.
\(G\): Esas criaturas son gorilas.

1. Esas criaturas son hombres de traje, o no lo son.
2. Esas criaturas son o gorilas o chimpancés.
3. O esas criaturas son chimpancés, o no son gorilas.

Ejercicio\(1.4.7\).

Dar una clave de simbolización y simbolizar las siguientes afirmaciones en la Lógica Proposicional.

1. O Alice o Bob es espía, pero no ambos.
2. O Bob es un espía, o es el caso tanto de que el código se ha roto y la embajada alemana está alborotada.
3. O el código se ha roto o no lo ha hecho, pero la embajada alemana está alborotada independientemente.
4. Alice puede o no ser una espía, pero el código se ha roto en cualquier caso.

Ejercicio\(1.4.8\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada aserción al inglés.

J: A Romeo le gusta Julieta.
M: A Mercutio le gusta Julieta.
T: A Romeo le gusta Tybalt.

1. \(M \lor T\)
2. \(T \lor (\lnot J \& M)\)
3. \(\lnot (M \lor J) \& \lnot T\)

1.4D. Implica\((\Rightarrow)\).

Para las siguientes aseveraciones, digamos\(R\) “Cortarás el cable rojo” y\(B\) significa “La bomba explotará”.

21. Si cortas el cable rojo, entonces la bomba explotará.
22. La bomba explotará si cortas el cable rojo.
23. La bomba explotará sólo si cortas el cable rojo.

La aserción 21 puede traducirse parcialmente como “Si\(R\), entonces”\(B\). Podemos reformular esto como “\(R\)implica”\(B\). Utilizaremos el símbolo “\(\Rightarrow\)” para representar “implica”: la aserción se vuelve\(R\Rightarrow B\). A esto lo llamamos conectivo “implica” o “si-entonces” (pero muchos logísticos lo llaman condicional). La aserción en el lado izquierdo (\(R\)en este ejemplo) se llama hipótesis, y la aserción en el lado derecho (\(B\)) se llama conclusión.

La aserción 22 nos dice que si cortas el cable rojo, entonces la bomba explotará. Así, es lógicamente equivalente a la Aserción 21, por lo que puede simbolizarse como\(R \Rightarrow B\).

La aserción 23 es también una afirmación condicional que nos dice que algo debe ser cierto si alguna otra cosa es cierta. Dado que la palabra “si” aparece en la segunda mitad de la aseveración, podría ser tentador simbolizar esto de la misma manera que las Aserciones 21 y 22. Eso sería un error.

\(R\Rightarrow B\)Dice la implicación que si\(R\) fuera verdad, entonces también\(B\) lo sería. No dice que su corte del cable rojo sea la única forma en que la bomba podría explotar. Alguien más podría cortar el cable, o la bomba podría estar en un temporizador. La aseveración\(R\Rightarrow B\) no dice nada sobre qué esperar si\(R\) es falso. La aserción 3 es diferente. Dice que las únicas condiciones en las que explotará la bomba implican que hayas cortado el cable rojo; es decir, si la bomba explota, entonces debes haber cortado el cable. Como tal, la Aserción 3 debe simbolizarse como\(B \Rightarrow R\).

OBSERVACIÓN\(1.4.9\).

La afirmación parafraseada “\(A\)sólo si\(B\)” es lógicamente equivalente a “Si\(A\), entonces”\(B\).

“Si\(A\), entonces\(B\)” significa que si\(A\) es verdad, entonces así es\(B\). Entonces sabemos que si la hipótesis es verdadera, pero la conclusión es falsa, entonces la implicación “Si\(A\), entonces\(B\)” es falsa. (Por ejemplo, si cortas el cable rojo, pero la bomba no explota, entonces la Aserción 21 es obviamente falsa). Consideramos ahora las demás situaciones posibles, y determinamos si la afirmación “Si\(A\), entonces\(B\)” es cierta o no.

• Supongamos, por ejemplo, que no corta el cable rojo. Entonces Aserción 21 no es mentira, ya sea que la bomba explote o no, porque la aseveración no promete nada en este caso. Por lo tanto, consideramos que la Aserción 21 es cierta en este caso. En general, si\({A}\) es falso, entonces la implicación “\({A} \Rightarrow {B}\)” es verdadera. (No importa si\({B}\) es verdad o no.)
• El único caso restante a considerar es cuando cortas el cable rojo y la bomba sí explota. En este caso, la Aserción 21 ha dicho la verdad. En general, si\({A}\) y\({B}\) son ciertas, entonces la implicación “\({A} \Rightarrow {B}\)” es cierta. \[\text{A \(\Rightarrow\) B is true unless A is true and B is false. In that case, the implication is false.}\]

Podemos resumir esto con una tabla de verdad para “implica”. \ [\ begin {array} {c|c||c}
\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ Mathcal {A}\ Rightarrow
\ mathcal {B}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\ end {array}\]

OBSERVACIÓN\(1.4.10\).

Los estudiantes de lógica a veces se confunden por el hecho de que\({A}\Rightarrow {B}\)\({A}\) es cierto siempre que es falso, pero en realidad es bastante natural. Por ejemplo, supongamos que un maestro promete: “Si haces toda la tarea, entonces pasarás el curso”. Un estudiante que no haga toda la tarea no puede acusar al maestro de una falsedad, pase o no el curso.

Además, la gente suele utilizar este principio cuando se habla sarcásticamente. Un ejemplo es la afirmación: “Si Rudy es el mejor jugador del equipo, entonces los cerdos pueden volar”. Todos sabemos que los cerdos no pueden volar, pero, lógicamente, la aseveración es cierta siempre y cuando Rudy no sea el mejor jugador del equipo.

Advertencia.

El “implica” conectivo no es conmutativo: no se puede intercambiar la hipótesis y la conclusión sin cambiar el sentido de la aserción, porque es fácil encontrar una situación en la que\({A}\Rightarrow{B}\) es verdadera, pero\({B}\Rightarrow{A}\) es falsa. (Es decir, supongamos que es falso y es cierto.)

Volvamos al ejemplo con el que iniciamos nuestra discusión de “\(\Rightarrow\),” en el que\(R\) está la afirmación “Cortarás el cable rojo”, y\(B\) significa “La bomba va a explotar”. Hay muchas formas diferentes de decir\(R \Rightarrow B\) en inglés. Estas son algunas de las formas; ¡todas estas significan lo mismo!

• Si cortas el cable rojo, entonces la bomba explotará.
• Cortar el cable rojo implica que la bomba explotará.
• En cualquier circunstancia en la que cortes el cable rojo, la bomba explotará.
• Siempre que cortes el cable rojo, la bomba explotará.
• La bomba explotará cada vez que cortes el cable rojo.
• La explosión de la bomba es una consecuencia necesaria de que cortes el cable rojo.
• Cortar el cable rojo es suficiente para asegurar que la bomba explote.
• Usted cortando el cable rojo garantiza que la bomba explotará.
• Cortas el cable rojo sólo si la bomba explota.
• Si la bomba no explota, no debes haber cortado el cable rojo.
• O no cortarás el cable rojo, o la bomba explotará.

Ejercicio\(1.4.11\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada afirmación en inglés a Lógica Proposicional.

\(A\): El señor Ace fue asesinado.
\(B\): El mayordomo cometió el asesinato.
\(C\): El cocinero cometió el asesinato.
\(D\): La duquesa está mintiendo.
\(E\): El señor Edge fue asesinado.
\(F\): El arma homicida era una sartén.

1. Si el señor Ace fue asesinado, entonces el cocinero lo hizo.
2. Si Mister Edge fue asesinado, entonces el cocinero no lo hizo.
3. Si el arma homicida era una sartén, entonces el culpable debió haber sido el cocinero.
4. Si el arma homicida no era una sartén, entonces el culpable era el cocinero o el mayordomo.
5. O la duquesa miente, o fue Mister Edge quien fue asesinado.
6. Si el señor Ace fue asesinado, se le acabó con una sartén.
7. La cocinera asesinó a Mister Edge, pero ella no usó la sartén.

Ejercicio\(1.4.12\).

Dar una clave de simbolización y simbolizar las siguientes afirmaciones en la Lógica Proposicional.

1. Si Gregor juega primera base, entonces el equipo perderá.
2. Si ya sea Gregor o Evan juegan primera base, entonces no habrá milagro.
3. Si ni Gregor ni Evan juegan de primera base, entonces habrá un milagro.
4. El equipo perderá si no hay milagro.
5. Si hay un milagro, entonces la mamá de Gregor no horneará galletas.

Ejercicio\(1.4.13\).

Para cada deducción, escribir una clave de simbolización y traducir la deducción lo mejor posible en.

1. Si Dorothy toca el piano por la mañana, entonces Roger se despierta de mal gusto. Dorothy toca el piano por la mañana si no se distrae. Entonces, si Roger no despierta de mal estado, entonces Dorothy debe estar distraída.
2. Ya sea lloverá o nevará el martes. Si llueve, Neville estará triste. Si nieva, Neville hará frío. Por lo tanto, Neville estará triste o frío el martes.
3. Si Zoog se acordaba de hacer sus quehaceres, entonces las cosas están limpias pero no limpias. Si se le olvidó, entonces las cosas están limpias pero no limpias. Por lo tanto, las cosas están bien limpias o bien limpias, pero no ambas.

Ejercicio\(1.4.14\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada aserción al inglés.

\(J\): A Remeo le gusta Julieta.
\(M\): A Mercutio le gusta Juleit.
\(T\): A Romeo le gusta Tybalt.

1. \(M \Rightarrow J\)
2. \(J \vee(M \Rightarrow \neg T)\)
3. \((T \Rightarrow J) \&(M \Rightarrow J)\)

1.4E. Iff\((\Leftrightarrow)\).

Considera estas aseveraciones:

24. La figura en el tablero es un triángulo si tiene exactamente tres lados.
25. La figura en el tablero es un triángulo sólo si tiene exactamente tres lados.
26. La figura en el tablero es un triángulo si y sólo si tiene exactamente tres lados.

Que\(T\) signifique “La figura es un triángulo” y\(S\) significa “La figura tiene exactamente tres lados”.

La aserción 24 puede reformularse como: “Si la figura tiene exactamente tres lados, entonces es un triángulo”. Por lo que se puede traducir como\(S \Rightarrow T\).

La aserción 25 es muy diferente. El comentario nos\(1.4.9\) dice que se puede traducir como\(T\Rightarrow S\).

La aserción 26 dice dos cosas: que “\(T\)es verdad si\(S\) es verdad” y esa “\(T\)es verdad sólo si\(S\) es verdad”. La primera mitad es Aserción 1, y la segunda mitad es Aserción 25; así, puede traducirse como\[(S\Rightarrow T) \& (T \Rightarrow S) .\]
Sin embargo, este “si y sólo si” surge tan a menudo que tiene su propio nombre. A esto lo llamamos conectivo “iff”, que es la abreviatura de “si y solo si” (pero muchos logísticos lo llaman bicondicional).

Debido a que siempre podríamos escribir\(({A}\Rightarrow{B})\&({B}\Rightarrow{A})\) en lugar de\({A}\Leftrightarrow{B}\), no estrictamente hablando necesitamos introducir un nuevo símbolo para “iff”. Sin embargo, es útil tan a menudo que es comúnmente aceptado como una de las conectivas lógicas básicas. \[\text{A \(\Leftrightarrow\) B is true if and only if A and B have the same truth value (either both are true or both are false).}\]

Esta es la tabla de verdad para “iff”:\ [\ begin {array} {c|c||c}
\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ Leftrightarrow\ mathcal {B}\\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} {F} &\ mathrm {F}\
\\ mathrm {F} & amp;\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\ end {array}\]

Ejercicio\(1.4.15\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada afirmación en inglés a Lógica Proposicional.

E ₁: Ava es electricista.
E ₂: Harrison es electricista.
F ₁: Ava es bombero.
F ₂: Harrison es bombero.
S ₁: Ava está satisfecha con su carrera.
S ₂: Harrison está satisfecho con su carrera.

1. Si Ava no es electricista, entonces tampoco lo es Harrison, pero si ella lo es, entonces él también lo es.
2. Ava está satisfecha con su carrera si y sólo si Harrison no está satisfecho con la suya.
3. Harrison y Ava son ambos bomberos si y sólo si ninguno de ellos es electricista.

Ejercicio\(1.4.16\).

Usando la clave de simbolización dada, traduzca cada aserción al inglés.

\(J\): A Romeo le gusta Julieta.
\(M\): A Mercutio le gusta Julieta.
\(T\): A Romeo le gusta Tybalt.
\(Y\): A Romeo le gusta Yorick.

1. \(T \Leftrightarrow Y\)
2. \(M \Leftrightarrow(J \vee Y)\)
3. \((J \Leftrightarrow M) \&(T \Rightarrow Y)\)