5.2: Álgebra Abstracta - Grupos Conmutativos

Cada alumno aprende sobre la suma (\(+\)), la resta (\(−\)) y la multiplicación (\(\times\)). Cada uno de estos es una “operación binaria” sobre el conjunto de números reales, lo que significa que toma dos números, y devuelve algún otro número. En esta sección, discutimos las operaciones binarias en un conjunto arbitrario; es decir, consideramos varias formas de tomar dos elementos del conjunto y devolver algún otro elemento del conjunto. (La definición oficial del término “operación binaria” se encuentra en Ejemplo\(6.3.6\), pero basta con tener un entendimiento informal para los presentes fines.)

Definición\(5.2.1\). (unofficial).

\(A\)Déjese ser un conjunto. Decimos que\(+\) es una operación binaria sobre\(A\) si, para cada\(a, b \in A\), tenemos un elemento correspondiente\(a + b\) de\(A\).

(El elemento\(a + b\) debe existir para todos\(a, b \in A\). Además, la suma\(a + b\) debe depender únicamente de los valores de\(a\) y\(b\), no de ninguna otra información.)

Ejemplo\(5.2.2\).

1. La suma (\(+\)), la resta (\(−\)) y la multiplicación (\(\times\)) son ejemplos de operaciones binarias en\(\mathbb{R}\). También proporcionan operaciones binarias en\(\mathbb{Q}\) y\(\mathbb{Z}\). Sin embargo, resta (\(−\)) no proporciona una operación binaria on\(\mathbb{N}\), porque no\(x − y\) está en\(\mathbb{N}\) cuándo\(x < y\) (mientras que los valores de una operación binaria en un conjunto deben pertenecer todos al conjunto dado).
2. La división (\(\div\)) no es una operación binaria en\(\mathbb{R}\). Esto se debe a que\(x \div y\) no existe cuando\(y = 0\) (mientras que una operación binaria en un conjunto necesita ser definida para todos los pares de elementos del conjunto). (Por otro lado, la división es una operación binaria en el conjunto\(\mathbb{R} \backslash\{0\}\) de todos los números reales distintos de cero.)
3. Union (\(\cup\)), intersección (\(\cap\)) y set difference (\(\backslash\)) son operaciones binarias en la colección de todos los conjuntos.
4. Si un conjunto no tiene demasiados elementos, entonces se puede especificar una operación binaria en él proporcionando una “tabla de adición”. Por ejemplo, la siguiente tabla define una operación binaria\(+\) en\(\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}, \mathrm{f}\}\):\ [\ begin {array} {c|cccccc}
   + &\ mathrm {a} &\ mathrm {b} &\ mathrm {c} &\ mathrm {d} &\ mathrm {e} &\ mathrm {f}\
   \ hline\ mathrm {a} &\ mathrm {a} &\ mathrm {b} & amp;\ mathrm {c} &\ mathrm {d} &\ mathrm {e} &\ mathrm {f}\
   \ mathrm {b} &\ mathrm {b} &\ mathrm {c} &\ mathrm {a} &\ mathrm {e} &\ mathrm {f} &\ mathrm {d}\
   \ mathrm {c} &\ mathrm {c} &\ mathrm {a} &\ mathrm {b} &\ mathrm {f} &\ mathrm {d} &\ mathrm {e}\\ mathrm {d} &
   \ mathrm {d} &\ mathrm {e} &\ mathrm {f} &\ mathrm {a} &\ mathrm {b} &\ mathrm {c}\\ mathrm {e} &\ mathrm {e} &
   \ mathrm {e} &\ mathrm {f} &\ mathrm {d} &\ mathrm {d} &\ mathrm {d} &\ mathrm {e} rm {b} &\ mathrm {c} &\ mathrm {a}\\
   \ mathrm {f} &\ mathrm {f} &\ mathrm {d} &\ mathrm {e} &\ mathrm {c} &\ mathrm {a} &\ mathrm {b}
   \ end {array}\]
   Para calcular\(x + y\), encuentra la fila que tiene\(x\) en su extremo izquierdo, y encuentra la columna que tiene\(y\) en la parte superior. El valor\(x + y\) es la entrada de la tabla que está en esa fila y esa columna. Por ejemplo,\(f\) está a la izquierda de la fila inferior y\(e\) está en la parte superior de la penúltima columna, entonces\(f + e = a\), porque a es la penúltima entrada de la fila inferior.

Definición\(5.2.3\).

Dejar\(+\) ser una operación binaria en un conjunto\(G\).

1. \(+\)es conmutativo iff\(g + h = h + g\) para todos\(g, h \in G\).
2. \(+\)es asociativo iff\(g + (h + k) = (g + h) + k\) para todos\(g, h, k \in G\).
3. Un elemento 0 de\(G\) es un elemento de identidad iff\(g + 0 = g\), para todos\(g \in G\).
4. Porque\(g \in G\), un negativo de\(g\) es un elemento\(−g\) de\(G\), tal que\(g + (−g) = 0\), donde\(0\) es un elemento de identidad de\(G\).
5. Decimos (\(G, +\)) es un grupo conmutativo si se cumplen las tres condiciones siguientes (o “axiomas”):
   • \(+\)es conmutativo y asociativo,
   • hay un elemento de identidad, y
   • cada elemento de\(G\) tiene un negativo.

Otra Terminología.

Por razones históricas, la mayoría de los matemáticos utilizan el término “grupo abeliano”, en lugar de “grupo conmutativo”, pero estarían de acuerdo en que “grupo conmutativo” también es aceptable.

Ejemplo\(5.2.4\).

1. (\(\mathbb{R}, +\)) es un grupo conmutativo: todos aprendimos en la primaria que la adición es conmutativa y asociativa, eso\(g + 0 = g\), y aquello\(g + (−g) = 0\). (Lo mismo es cierto para (\(\mathbb{Q}, +\)) y (\(\mathbb{Z}, +\)).)
2. (\(\mathbb{N}, +\)) no es un grupo conmutativo (aunque la suma es conmutativa y asociativa, y 0 es un elemento de identidad), porque ningún elemento distinto de cero tiene una entrada negativa\(\mathbb{N}\).
3. (\(\mathbb{R}, −\)) no es un grupo conmutativo, porque la resta no es conmutativa: generalmente no\(g − h\) es igual a\(h − g\). (Otra razón (\(\mathbb{R}, −\)) no es un grupo conmutativo es que la resta no es asociativa: generalmente no\((g − h) − k\) es igual a\(g − (h − k)\).)
4. (\(\mathbb{R}, \times\)) no es un grupo conmutativo (aunque la suma sea conmutativa y asociativa, y 1 es un elemento de identidad para la multiplicación), porque 0 no tiene un “negativo” o “inverso multiplicativo”: no existe\(h \in \mathbb{R}\), tal que\(0 \times h = 1\).

Otra Terminología.

Nuestra condición de ser un elemento de identidad es lo que generalmente se llama un “elemento de identidad correcto”. Para que 0 sea un elemento de identidad, debería ser cierto no sólo eso\(g + 0 = g\), sino también eso\(0 + g = g\). No obstante, las únicas operaciones binarias de interés para nosotros son los grupos conmutativos, donde también se cumple la segunda condición (ver Ejercicio\(5.2.11(1)\) a continuación), por lo que no es necesario que hagamos esta distinción.

Ejercicio\(5.2.5\).

Para la operación binaria\(\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}, \mathrm{f}\}\) en Ejemplo\(5.2.2(4)\), verifique que:

1. \(a\)es un elemento de identidad, y
2. cada elemento tiene un negativo, a saber:\(-\mathrm{a}=\mathrm{a},-\mathrm{b}=\mathrm{c},-\mathrm{c}=\mathrm{b},-\mathrm{d}=\mathrm{d},-\mathrm{e}=\mathrm{f}, -\mathrm{f}=\mathrm{e}\).

El siguiente resultado nos dice que, en lugar de un elemento identitario de un grupo conmutativo, podemos hablar del elemento identitario.

Proposición\(5.2.6\).

El elemento de identidad de cualquier grupo conmutativo es único.

Prueba

Supongamos 0 y\(\theta\) son elementos de identidad cualesquiera de un grupo conmutativo (\(G, +\)). Entonces\ [\ begin {aligned}
0 &=0+\ theta & & (\ theta\ text {es un elemento de identidad)}\\
&=\ theta+0 & & (+\ text {es conmutativo)}\\
&=\ theta & & (0\ text {es un elemento de identidad).}
\ end {alineado}\]
Dado que 0 y\(\theta\) son elementos de identidad arbitrarios de (\(G, +\)), esto implica que todos los elementos de identidad son iguales entre sí, por lo que el elemento de identidad es único (solo hay uno de ellos).

Notación\(5.2.7\).

En esta sección, el símbolo 0 siempre representará el elemento de identidad de cualquier grupo conmutativo que se esté considerando.

Advertencia: Esto significa que 0 generalmente no representará el número cero. Por ejemplo, en Ejemplo\(5.2.2(4)\), tenemos\(0 = a\).

Del mismo modo, en lugar de un negativo, podemos hablar de lo negativo de un elemento de\(G\):

Proposición\(5.2.8\).

Let (\(G, +\)) ser un grupo conmutativo. Para cada uno\(g \in G\), el negativo de\(g\) es único.

Prueba

Supongamos\(−g\) y\(h\) son cualesquiera negativos de\(g\). Entonces\ [\ begin {aligned}
-g &=-g+0 & & (0\ text {es el elemento de identidad)}\\
&=-g+ (g+h) & & (h\ text {es un negativo de} g)\\
& =( -g+g) +h & & (+\ text {es asociativo})\\
&=h+ (g+ (-g)) & & (+\ text {es conmutativo)}\\
&=h+0 & & (-g\ text {es un negativo de} g)\\
&=h & & (0\ text {es el elemento de identidad).}
\ end {alineado}\]
Por lo tanto, todos los negativos de\(g\) son iguales, por lo que el negativo es único .

Proposición\(5.2.9\).

Por cada grupo conmutativo (\(G, +\)), tenemos\(−0 = 0\).

Prueba

Vamos\(g = 0\). Entonces\(g\) está el elemento de identidad, así\(0 + g = 0\). Por definición de lo negativo, esto significa que\(g = −0\). Ya que\(g = 0\), concluimos que\(0 = −0\).

Notación\(5.2.10\).

Asumir (\(G, +\)) es un grupo conmutativo. Para\(g, h \in G\), usamos\(g − h\) como abreviatura de\(g + (−h)\).

Ejercicio\(5.2.11\).

Asumir (\(G, +\)) es un grupo conmutativo, y\(g, h \in G\).
Justifica cuidadosamente cada paso de tus pruebas, utilizando únicamente los axiomas establecidos en Definición\(5.2.3\). No asuma ninguna otra propiedad de adición que te enseñaron en la escuela.

1. Espectáculo\(0 + g = g\).
2. Espectáculo\((−g) + g = 0\).
3. Espectáculo\(g − g = 0\).
4. Espectáculo\(−(−g) = g\).
5. Espectáculo\((−g) + h = h − g\).
6. Espectáculo\((g − h) + h = g\).

Eso nos dice la ley asociativa\((g +h)+k = g + (h+k)\). Por lo tanto, aprendemos en la primaria a escribir simplemente\(g+h+k\), porque no importa a dónde vayan los paréntesis. Oficialmente, la ley asociativa De hecho (como también aprendemos en la primaria), no hay necesidad de incluir paréntesis en ninguna suma (aunque tenga más de tres términos). También, eso nos dice la ley conmutativa\(g + h = h + g\). Aprendemos en la escuela primaria que esto nos permite reorganizar los términos en una suma de cualquier longitud, y lo mismo es cierto para los grupos conmutativos. Por ejemplo:\[g_{1}+g_{2}+g_{3}+g_{4}+g_{5}=g_{4}+g_{3}+g_{1}+g_{5}+g_{2} .\]
He aquí una declaración oficial de estas observaciones:

Proposición\(5.2.12\).

Si (\(G, +\)) es un grupo conmutativo\(n \in \mathbb{N}^{+}\), y\(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n} \in G\), entonces:

1. (\(+\)es asociativo) La expresión\(g_{1}+g_{2}+\cdots+g_{n}\) representa un elemento bien definido de\(G\), que no depende de cómo la expresión esté entre paréntesis.
2. (\(+\)es conmutativo) Si\(h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{n}\) es una lista de los mismos elementos de\(G\), pero tal vez en un orden diferente, entonces\[h_{1}+h_{2}+\cdots+h_{n}=g_{1}+g_{2}+\cdots+g_{n} .\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Asumir (\(G, +\)) es un grupo conmutativo, y\(g, h \in G\). Mostrar\[-(g+h)=(-g)+(-h) .\]

Prueba

Tenemos\ [\ begin {alineado}
(g+h) + ((-g) + (-h)) &=g+h+ (-g) + (-h) & (+\ text {es asociativo})\\
&=g+ (-g) +h+ (-h) & (+\ text {es conmutativo})\\
& =( g+ (-g)) + (h+ (-h)) & &\ text {(+ es asociativo)}\\
& amp; =0+0 & &\ text {(definición de} -g\ text {y} -h)\\
&=0 & & (0\ text {es el elemento de identidad)}
\ end {alineado}\]
Así\((−g) + (−h)\) es el negativo de\(g + h\). En otras palabras,\((−g) + (−h) = −(g + h)\).

Ejercicio\(5.2.14\).

Asumir (\(G, +\)) es un grupo conmutativo, y\(g, h, a \in G\).

1. Espectáculo\(−(g − h) = h − g\).
2. Demuéstralo si\(g + a = h + a\), entonces\(g = h\).

Definición\(5.2.15\).

Let (\(G, +\)) ser un grupo conmutativo. Un subconjunto\(H\) de\(G\) es un subgrupo de (\(G, +\)) iff

1. \(H \neq \varnothing\),
2. (cerrado bajo negativos)\(−h \in H\), para todos\(h \in H\), y
3. (cerrado bajo adición)\(h_{1} + h_{2} \in H\), para todos\(h_{1}, h_{2} \in H\).

Ejemplo\(5.2.16\).

\(\mathbb{Z}\)y\(\mathbb{Q}\) son subgrupos de (\(\mathbb{R}, +\)), pero no\(\mathbb{N}\) es un subgrupo (porque no está cerrado bajo negativos).

Proposición\(5.2.17\).

Si\(H\) es un subgrupo de un grupo conmutativo (\(G, +\)), entonces\(0 \in H\) (donde, como de costumbre, 0 es el elemento de identidad de (\(G, +\))).

Prueba

Eso lo sabemos\(H \neq \varnothing\) (a partir de la definición de subgrupo), por lo que hay algunos\(h \in H\). Ya que\(H\) se cierra bajo negativos (porque es un subgrupo) esto implica\(−h \in H\). Entonces, ya que\(H\) se cierra bajo suma (porque es un subgrupo), tenemos\(h + (−h) \in H\). Ya que\(h + (−h) = 0\) (por la definición de\(−h\)), esto significa\(0 \in H\).

Ejercicio\(5.2.18\).

Supongamos que\(H\) es un subgrupo de un grupo conmutativo (\(G, +\)), y\(h, k \in H\).

1. Espectáculo\(h − k \in H\).
2. Para todos\(a \in G\), demuéstralo si\(a \notin H\), entonces\(a+h \notin H\).

Ejercicio\(5.2.19\).

Supongamos que\(H\) es un subgrupo de un grupo conmutativo (\(G, +\)), y\(a, b \in G\). Dejar\(a+H=\{a+h \mid h \in H\}\) y\(b+H=\{b+h \mid h \in H\}\).

1. Mostrar que si\(a + H\) es un subgrupo de\(G\), entonces\(a \in H\). [Pista: Cada subgrupo contiene 0.]
2. Demuéstralo si\(a \in H\), entonces\(a + H = H\).
3. Demuestre que\(a + H = b + H\) iff\(a − b \in H\).
4. Demuéstralo si\((a+H) \cap(b+H) \neq \varnothing\), entonces\(a + H = b + H\).

Proposición\(5.2.20\).

Asumir (\(G, +\)) es un grupo conmutativo, y let\(T=\{t \in G \mid t+t=0\}\). Entonces\(T\) es un subgrupo de\(G\).

Prueba

Basta con mostrar que\(T\) es: no vacío, cerrado bajo negativos, y cerrado bajo suma.

(no vacío) Tenemos\(0 \in T\) (porque es inmediato que\(0 + 0 = 0\)), entonces\(T \neq \varnothing\).
(cerrado bajo negativos) Dado\(t \in T\), tenemos\ [\ begin {aligned}
(-t) + (-t) &=- (t+t)\\
&=-0\\
&=0
\ end {aligned}\]
(Primera Línea: Ejemplo\(5.2.13\), Segunda Línea:\(t \in T\), Tercera Línea: Proposición\(5.2.9\))
Esto significa\(−t \in T\), así\(T\) se cierra bajo negativos.
(cerrado bajo adición) Dado\(s, t \in T\), tenemos\(s + s = 0\) y\(t + t = 0\). Por lo tanto\ [\ begin {alineado}
(s+t) + (s+t) & =( s+t) + (t+s) & & (+\ text {es conmutativo})\\
&=s+ (t+ (t+s)) &\ text {(} +\ text {es asociativo)}\\
&=s+ ((t+t) +s) &\ text {(+ es asociativo)}\\
& amp; =s+ (0+s) & & (t\ in T)\\
&=s+s & & (0\ text {es el elemento de identidad)}\\
&=0 & & (s\ in T)
\ end {alineado}\]
así\(s + t \in T\(). Therefore \(T\) se cierra bajo suma.

Ejercicio\(5.2.21\).

Asumir\(H\) y\(K\) son subgrupos de un grupo conmutativo (\(G, +\)).

1. Mostrar que\(H \cap K\) es un subgrupo de (\(G, +\)).
2. Vamos\(H+K=\{h+k \mid h \in H, k \in K\}\). Mostrar que\(H + K\) es un subgrupo de (\(G, +\)).