5.3: Análisis Real - Secuencias Convergentes

Notación\(5.3.1\).

For\(x \in \mathbb{R}\),\(|x|\) denota el valor absoluto de\(x\):\ [|x|=\ left\ {\ begin {aligned}
x &\ text {if} x\ geq 0,\\
-x &\ text {if} x<0.
\ end {alineado}\ derecho.\]

Puede asumir las siguientes propiedades básicas de valor absoluto (sin prueba):

Lema\(5.3.2\).

Para\(x, y, z \in \mathbb{R}\), contamos con:

1. \(|x| \geq 0\)(y\(|x|=0 \Leftrightarrow x=0\)).
2. \(|x| = |−x|\).
3. \(|x+y| \leq |x|+|y|\). (“desigualdad triangular”)
4. \(|x y|=|x| \cdot|y|\).
5. \(−|x| \leq x \leq |x|\).
6. \(\exists N \in \mathbb{N}, N>|x|\).
7. Si\(|x| < |y|\) y\(z \neq 0\), entonces\(|xz| < |yz|\).
8. Si\(|x| > |y| \neq 0\), entonces\(1/|x| < 1/|y|\).

Definición\(5.3.3\).

Supongamos que\(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\) es una secuencia infinita de números reales, y\(L \in \mathbb{R}\). Decimos que la secuencia converge a\(L\) (y escribe\(a_{n} \rightarrow L\)) iff\[\forall \epsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n>N,\left|a_{n}-L\right|<\epsilon .\]

Otra Terminología.

Cuando\(a_{n} \rightarrow L\), también podemos decir que el límite de la secuencia es\(L\).

Ejemplo\(5.3.4\).

Vamos\(t \in \mathbb{R}\). Si\(a_{n} = t\) por todos\(n\), entonces\(a_{n} \rightarrow t\).

Solución

PRUEBA.

Dado\(\epsilon>0\), vamos\(N = 0\). Dado\(n > N\), tenemos\(\left|a_{n}-t\right|=|t-t|=|0|=0<\epsilon\).

Ejemplo\(5.3.5\).

Si\(a_{n} = 1/n\) por todos\(n\), entonces\(a_{n} \rightarrow 0\).

Scratchwork. Para probarlo\(a_{n} \rightarrow 0\), queremos:\[\left|a_{n}-0\right| \stackrel{?}{<} \epsilon \quad 1 / n \stackrel{?}{<} \epsilon \quad 1 / \epsilon \stackrel{?}{<} n\]
Ya que\(n > N\), basta con elegir\(N > 1 / \epsilon\).

Solución

PRUEBA.

Dado\(\epsilon > 0\), Lemma nos\(5.3.2(6)\) dice que existe\(N \in \mathbb{N}\), tal que\(N > 1 / \epsilon\). Dado\(n > N\), tenemos\ [\ begin {alineado}
\ izquierda|a_ {n} -0\ derecha| &=1/n & &\ left (a_ {n} =1/n>0\ right)\\
&N<1/N & & (n>\ text {y Lema 5.3.2 (8))}\\ &1
/<\ epsilon & & (N>\ epsilon\ text {y Lema 5.3.2 (8))}
\ end {alineado}\]

Ejercicio\(5.3.6\).

\(a_{n} = n/(n + 1)\)Demuéstralo si por todos\(n\), entonces\(a_{n} \rightarrow 1\).

Proposición\(5.3.7\).

Si\(a_{n} \rightarrow L\) y\(b_{n} \rightarrow M\), entonces\(a_{n} + b_{n} \rightarrow L + M\).

Scratchwork. Para\[\text { we want to make }\left|\left(a_{n}+b_{n}\right)-(L+M)\right| \text { small (less than } \epsilon \text { ). }\]
probarlo\(a_{n} + b_{n} \rightarrow L + M\), lo que sabemos es que podemos hacer\(\left|a_{n}-L\right|\) y\(\left|b_{n}-M\right|\) tan pequeños como queramos. Por la desigualdad triangular, tenemos\[\left|\left(a_{n}-L\right)+\left(b_{n}-M\right)\right|<\left|a_{n}-L\right|+\left|b_{n}-M\right|\]
Por álgebra simple, el lado izquierdo es igual a\(\left|\left(a_{n}+b_{n}\right)-(L+M)\right|\), así que solo necesitamos hacer que el lado derecho sea menor que\(\epsilon\). Esto será cierto si\(\left|a_{n}-L\right|\) y ambos\(\left|b_{n}-M\right|\) son menores que\(\epsilon / 2\).

Ya que\(a_{n} \rightarrow L\), hay algunos grandes\(N_{a}\), tal que\(\left|a_{n}-L\right|<\epsilon / 2\) para todos\(n > N_{a}\). De igual manera\(b_{n} \rightarrow M\), ya que, hay algunos grandes\(N_{b}\), tal que\(\left|b_{n}-M\right|<\epsilon / 2\) para todos\(n > N_{b}\). Ahora, solo necesitamos saber que\(n\) será más grande que ambos\(N_{a}\) y\(N_{b}\) cuando sea\(n > N\). Entonces debemos elegir\(N\) ser cualquiera de\(N_{a}\) y\(N_{b}\) es más grande. Es decir, dejamos\(N\) ser el máximo de\(N_{a}\) y\(N_{b}\), que se denota max (Na, Nb).

Prueba

Dado\(\epsilon > 0\), eso lo sabemos\(\epsilon / 2 > 0\). Por lo tanto:

• Ya que\(a_{n} \rightarrow L\), sabemos\(\exists N_{a} \in \mathbb{N}, \forall n>N_{a},\left|a_{n}-L\right|<\epsilon / 2\).
• Ya que\(b_{n} \rightarrow M\), sabemos\(\exists N_{b} \in \mathbb{N}, \forall n>N_{b},\left|b_{n}-M\right|<\epsilon / 2\).

Vamos\(N=\max \left(N_{a}, N_{b}\right) \in \mathbb{N}\), así\(N \geq N_{a}\) y\(N \geq N_{b}\).

Dado\(n > N\):

1. Tenemos\(n > N \geq N_{a}\), entonces\(\left|a_{n}-L\right|<\epsilon / 2\).
2. Tenemos\(n > N \geq N_{b}\), entonces\(\left|b_{n}-M\right|<\epsilon / 2\).

Por lo tanto\ [\ comenzar {alineado}
\ izquierda|\ izquierda (a_ {n} +b_ {n}\ derecha) - (L+M)\ derecha| &=\ izquierda|\ izquierda (a_ {n} -L\ derecha) +\ izquierda (b_ {n} -M\ derecha)\ derecha| &\ text {(álgebra de secundaria)}\\
& izquierda\ |a_ {n} -L\ derecha|+\ izquierda|b_ {n} -M\ derecha| & &\ texto {(desigualdad triangular)} \\
&<\ épsilon/2+\ épsilon/2 & & (*)\ text {y} (* *))\\
&=\ épsilon. & &
\ end {alineado}\]

Ejercicio\(5.3.8\).

Asumir\(a_{n} \rightarrow L\), y\(c \in \mathbb{R}\). Hacer estas pruebas directamente desde la definición de convergencia.

1. Espectáculo\(−a_{n} \rightarrow −L\).
2. Espectáculo\(a_{n} + c \rightarrow L + c\).
3. Espectáculo\(2a_{n} \rightarrow 2L\).
4. Mostrar\(ca_{n} \rightarrow cL\) si\(c \neq 0\).
5. Demostrar que si\(L > 0\), entonces\(\exists N \in \mathbb{N}\), tal que\(a_{n} > 0\) para todos\(n > N\).
6. (más difícil) Demostrar que si\(L = 1\), entonces\(1/a_{n} \rightarrow 1\).

Ejercicio\(5.3.9\).

Asumir\(a_{n} \rightarrow L\) y\(b_{n} \rightarrow M\).

1. \(M = 0\)Demuéstralo si, y\(|a_{n}| \leq 2\) para todos\(n\), entonces\(a_{n}b_{n} \rightarrow 0\).
2. (más difícil) Mostrar\(a_{n}b_{n} \rightarrow LM\).