6.3: Definición oficial

El apartado anterior aportó cierta intuición sobre cómo y por qué las funciones se representan como conjuntos de pares ordenados, pero no es en absoluto autoritativa. Aquí están las definiciones oficiales.

Definición\(6.3.1\).

Supongamos\(A\) y\(B\) son conjuntos.

1. Un conjunto\(f\) es una función de\(A\) a\(B\) iff
   1. cada elemento de\(f\) es un par ordenado\((a, b)\), tal que\(a \in A\) y\(b \in B\), y
   2. para cada uno\(a \in A\), hay una única\(b \in B\), tal que\((a, b) \in f\).
2. Si\(f\) es una función de\(A\) a\(B\), entonces
   • \(A\)se llama el dominio de\(f\), y
   • \(B\)es un codominio de\(f\).
3. Escribimos “\(f : A \rightarrow B\)” para denotar que\(f\) es una función de\(A\) a\(B\).

Ejercicio\(6.3.2\).

Podemos expresar la definición de una función en Lógica de Primer Orden:

1. Traducir la afirmación de la definición\(6.3.1(1a)\) a la lógica de primer orden.
2. Traducir la afirmación de la definición\(6.3.1(1b)\) a la lógica de primer orden.

Notación\(6.3.3\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\).

1. Para\(a \in A\), es conveniente tener un nombre para el elemento\(b\) de\(B\), tal que\((a, b) \in f\). El nombre que utilizamos es\(f(a)\):\[f(a)=b \text { if and only if }(a, b) \in f \text {. }\]
2. Cada elemento\(a\) de nos\(A\) proporciona un elemento\(f(a)\) de\(B\). El rango de\(f\) es el conjunto que reúne todos estos elementos\(f(a)\). Es decir,\[b \text { is in the range of } f \text { iff there is some } a \in A, \text { such that } b=f(a) \text {. }\]
   se puede denotar el rango\(\{f(a) \mid a \in A\}\).

Ejemplo\(6.3.4\).

Supongamos que la función\(f\) está definida por\(f(x) = x^{2}\), en el dominio\(\{0,1,2,4\}\). Entonces:

1. Para representar\(f\) como un conjunto de pares ordenados, cada elemento del dominio debe aparecer exactamente una vez como una primera coordenada, con la salida correspondiente dada en la segunda coordenada. Dado que hay cuatro elementos en el dominio, habrá cuatro pares ordenados:\(f=\{(0,0),(1,1),(2,4),(4,16)\}\).
2. Para dar una tabla para\(f\), incluimos una fila por cada elemento del dominio. La mesa será:

3. Si nos preguntan qué es\(f(3)\), la respuesta es que\(f(3)\) no existe, porque 3 no está en el dominio de\(f\). A pesar de que sabemos eso\(3^{2} = 9\), la fórmula que dimos para\(f\) sólo se aplica a elementos que están en el dominio de\(f!\) No es cierto que\(f(3) = 9\).
4. El rango de\(f\) es el conjunto de posibles salidas: en este caso, el rango de\(f\) es\(\{0, 1, 4, 16\}\).
5. Si se nos pregunta qué es\(f(2)\), la respuesta es\(f(2) = 4\).
6. Es\(f\) una función de\(\{n \in \mathbb{N} \mid n \leq 4\}\) a\(\{0, 1, 4, 16\}\)? La respuesta es no, porque el primer conjunto es\(\{0, 1, 2, 3, 4\}\), que incluye el valor 3, pero 3 no está en el dominio de\(f\).
7. Es\(f\) una función de\(\{0, 1, 2, 4\}\) a\(\{n \in \mathbb{N} \mid n \leq 16\}\)? La respuesta es sí; aunque el segundo conjunto tiene muchos valores que no están en el rango, es un posible codominio para\(f\). Un codominio puede ser cualquier conjunto que contenga todos los elementos del rango, por lo que cada función tiene muchos codominios diferentes (pero solo un dominio y solo un rango).

Ejercicio\(6.3.5\).

1. La tabla de la derecha describe una función determinada\(g\).
   
   1. ¿De qué es el dominio\(g\)?
   2. ¿Cuál es el rango de\(g\)?
   3. ¿Qué es\(g(6)\)?
   4. ¿Qué es\(g(7)\)?
   5. Representar\(g\) como un conjunto de pares ordenados.
   6. Dibuja un diagrama de flechas para representar\(g\).
   7. Anote una fórmula que describa\(g\).
      (Expresar\(g(n)\) en términos de\(n\), mediante el uso de operaciones aritméticas simples.)
2. Supongamos
   • \(f\)es una función cuyo dominio es\(\{0, 2, 4, 6\}\), y
   • \(f(x) = 4x − 5\), para cada uno\(x\) en el dominio.
     Describa la función de cada una de las siguientes maneras:
     1. Hacer una mesa.
     2. Dibuja un diagrama de flechas.
     3. Usa pares ordenados.
3. Para los conjuntos dados\(A\) y\(B\):
   1. Escribe cada función de\(A\) a\(B\) como un conjunto de pares ordenados.
   2. Anote el rango de cada función.
      1. \(A = \{a, b, c\}, B = \{d\}\)
      2. \(A = \{a, b\}, B = \{c, d\}\)
      3. \(A = \{a\}, B = \{b, c, d\}\)
      4. \(A = \{a, b\}, B = \{c, d, e\}\)
         [Pista: Para (i), puede asumir, sin pruebas, que si\(A\) tiene exactamente\(m\) elementos, y\(B\) tiene exactamente\(n\) elementos, entonces el número de funciones de\(A\) a\(B\) es\(n^{m}\). (¿Ves por qué este es el número correcto?)]
4. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones de\(\{x, y, z\}\) a\(\{a, b, c, d, e\}\)?
   • Si es tal función, entonces ¿cuál es su rango?
   • Si no es tal función, entonces explique por qué no.
     1. \(\{(y, a),(x, b),(y, c)\}\)
     2. \(\{(y, a),(x, b),(z, c)\}\)
     3. \(\{(y, a),(x, c),(z, a)\}\)

Ejemplo\(6.3.6\).

Si\(A\) es un conjunto, entonces cualquier función de\(A \times A\) a\(A\) se llama una operación binaria on\(A\). Sin embargo, cuando\(+\) es una operación binaria y\(a, b \in A\), escribimos\(a + b\) para el valor de la función en\((a, b)\), en lugar de escribir\(+((a, b))\). Consulte la Sección\(5.2\) para ver algunos ejemplos y muchos ejercicios sobre operaciones binarias.