6.8: Composición de las funciones

Nada pasa por suerte en la composición. Permite de no hacer trucos.

Henry David Thoreau (1817—1862), autor estadounidense

El término “composición” es un nombre que los matemáticos utilizan para una idea que surge con bastante frecuencia en la vida cotidiana.

Ejemplo\(6.8.1\).

1. El padre de la madre de una persona es el abuelo de la persona. (Para ser precisos, es el abuelo materno de la persona —y su otro abuelo es paterno). Para expresar la relación en una fórmula matemática, podemos escribir:\[\forall x,(\operatorname{grandfather}(x)=\text { father }(\operatorname{mother}(x))) .\]
   Un matemático abrevia esta fórmula escribiendo\[\text { grandfather }=\text { father } \circ \text { mother }\]
   y dice que la\(\text {grandfather}\) función (materna) es la composición de\(\text {father}\) y\(\text {mother}\).
2. El hermano de la madre de una persona es tío de la persona, así\(\text {uncle}\) es la composición de\(\text {brother}\) y\(\text {mother}\):\[\forall x,(\text { uncle }(x)=\operatorname{brother}(\operatorname{mother}(x))) ,\]
   o, más brevemente,\[\text { uncle }=\text { brother o mother. }\]
   (Por el bien de este ejemplo, hagamos caso omiso del tema que\(\text {uncle}\) y no\(\text {brother}\) son funciones, porque algunas personas no tienen tío ni hermano, o tienen más de uno.)
3. La hija de un niño es nieta, así\(\text {granddaughter}\) es una composición de\(\text {daughter}\) y\(\text {child}\):\[\text { granddaughter }=\text { daughter } \circ \text { child. }\]
   (Ignoramos el hecho de que\(\text {granddaughter}\),\(\text {daughter}\), y no\(\text {child}\) son funciones.)

Ejercicio\(6.8.2\).

Anota el nombre habitual para cada composición. (Ignorar el hecho de que\(\text {sister}\)\(\text {daughter}\),, y muchas de las otras relaciones no son funciones.)

1. \(\text { husband } \circ \text{ sister }=\)
2. \(\text { husband } \circ \text{ mother }=\)
3. \(\text { husband } \circ \text{ wife }=\)
4. \(\text { husband } \circ \text{ daughter }=\)
5. \(\text { mother } \circ \text{ sister }=\)
6. \(\text { daughter } \circ \text{ sister }=\)
7. \(\text { parent } \circ \text{ parent }=\)
8. \(\text { child } \circ \text{ child }=\)
9. \(\text { parent } \circ \text{ parent } \circ \text { parent }=\)
10. \(\text { child } \circ \text{ brother } \circ \text { parent }=\)

Definición\(6.8.3\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\). La composición\(g \circ f\) de\(g\) y\(f\) es la función de\(A\) a\(C\) definida por\[(g \circ f)(a)=g(f(a)) \text { for all } a \in A .\]

Ejemplo\(6.8.4\).

Define f:\ mathbb {R}\ fila derecha\ mathbb {R}\) y\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\(f(x) = 3x\) y\(g(x) = x^{2}\). Entonces\(g \circ f\) y\(f \circ g\) son funciones de\(\mathbb{R} \text { to } \mathbb{R}\). Para todos\(x \in \mathbb{R}\), tenemos\[(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(3 x)=(3 x)^{2}=9 x^{2}\]

y\[(f \circ g)(x)=f(g(x))=f\left(x^{2}\right)=3\left(x^{2}\right)=3 x^{2} .\]

Observe que (en este ejemplo)\(f \circ g \neq g \circ f\), por lo que la composición no es conmutativa.

Ejercicio\(6.8.5\).

Las fórmulas definen funciones\(f\) y\(g\) de\(\mathbb{R} \text { to } \mathbb{R}\). Encuentra fórmulas para\((f \circ g)(x)\) y\((g \circ f)(x)\).

1. \(f(x)=3 x+1 \text { and } g(x)=x^{2}+2 .\)
2. \(f(x)=3 x+1 \text { and } g(x)=(x-1) / 3 .\)
3. \(f(x)=a x+b \text { and } g(x)=c x+d \text { (where } a, b, c, d \in \mathbb{R}) .\)
4. \(f(x)=|x| \text { and } g(x)=x^{2} .\)
5. \(f(x)=|x| \text { and } g(x)=-x .\)

ADVERTENCIA. Para calcular el valor de la función\(g \circ f\) en el punto\(a\), no comience por calcular\(g(a)\). En su lugar, es necesario calcular\(f(a)\). Luego enchufa ese valor a la función\(g\).

Ejemplo\(6.8.6\).

La Figura\(6C\) proporciona un diagrama de flechas para ilustrar la composición\(g \circ f\).

• Partiendo de cualquier punto de\(A\), siga la flecha (para la función\(f\)) que comienza ahí para llegar a algún punto de\(B\).
• Después sigue la flecha (para la función\(g\)) que empieza ahí para llegar a un punto de\(C\).

Por ejemplo, la\(f\) -flecha de\(a\) conduce a\(m\) y la\(g\) -flecha de\(m\) conduce a\(u\). Entonces\((g \circ f)(a) = u\).

Figura\(6C\). Las flechas para la composición\(g \circ f\) están punteadas.

Observe que aunque\(g\) aparezca a la izquierda en la expresión\(g \circ f\), el diagrama de flechas para\(g\) aparece a la derecha en la figura. Esta es una consecuencia desafortunada de la forma en que calculamos\(g(f(x))\) — ver la advertencia anterior.

Ejercicio\(6.8.7\).

Dejar\(A = \{1, 2, 3, 4\}\),\(B = \{a, b, c, d\}\), y\(C = \{\) ♣, ♦, ♥, ♠\(\}\). Los conjuntos de pares ordenados en cada parte son funciones\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\). Representar\(g \circ f\) como un conjunto de pares ordenados.

1. \(f=\{(1, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{c}),(4, \mathrm{~d})\}\),\(g = \) {(a, ♣), (b, ♦), (c, ♥), (d, ♠)}
2. \(f=\{(1, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{c}),(4, \mathrm{~d})\}\),\(g = \) {(a, ♣), (b, ♣), (c, ♣), (d, ♣)}
3. \(f=\{(1, \mathrm{~b}),(2, \mathrm{c}),(3, \mathrm{~d}),(4, \mathrm{a})\}\),\(g = \) {(a, ♣), (b, ♠), (c, ♥), (d, ♦)}
4. \(f=\{(1, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{c}),(4, \mathrm{~d})\}\),\(g = \) {(a, ♣), (b, ♣), (c, ♥), (d, ♠)}
5. \(f=\{(1, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{a}),(4, \mathrm{~b})\}\),\(g = \) {(a, ♣), (b, ♣), (c, ♥), (d, ♠)}

Ejercicio\(6.8.8\).

La definición de\(g \circ f\) requiere que el dominio de\(g\) sea igual al codominio de\(f\). (Ambos son llamados\(B\) en la definición, por lo que se requiere que sean iguales). ¿Por qué?

Aquí algunos ejemplos de pruebas que combinan la composición con otras ideas importantes que hemos visto.

Ejemplo\(6.8.9\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\). Demuestre que si\(g \circ f\) es uno a uno, entonces\(f\) es uno a uno.

Solución

Dado\(a_{1}, a_{2} \in A\), tal que\(f(a_{1}) = f(a_{2})\), tenemos\[g\left(f\left(a_{1}\right)\right)=g\left(f\left(a_{2}\right)\right) ,\]

por lo\[(g \circ f)\left(a_{1}\right)=(g \circ f)\left(a_{2}\right) .\]

Ya que\(g \circ f\) es uno a uno, esto implica\(a_{1} = a_{2}\). Así\(f\) es uno a uno.

Ejemplo\(6.8.10\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\). Demuestre que si\(f\) y\(g\) están en, entonces\(g \circ f\) está en.

Solución

Dejar\(c\) ser un elemento arbitrario de\(C\). Ya que\(g\) está en, hay algunos\(b \in B\0, such that \(g(b) = c\). Entonces, ya que\(f\) está sobre, hay algunos\(a \in A\), tal que\(f(a) = b\). Por lo tanto\[(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=c .\]

Dado que\(c\) es un elemento arbitrario de\(C\), esto implica que\(g \circ f\) está en.

Ejemplo\(6.8.11\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\). Demostrar que si\(f\) y\(g \circ f\) son bijecciones, entonces g es una bijección.

Solución

Baste con demostrar que\(g\) es tanto uno a uno como a uno.

(uno-a-uno) Dejar\(b_{1}\) y\(b_{2}\) ser elementos arbitrarios de\(B\), tal que\(g(b_{1}) = g(b_{2})\). Ya que\(f\) es una bijección, es sobre, entonces existen\(a_{1}, a_{2} \in A\), tal que\(f(a_{1}) = b_{1}\) y\(f(a_{2}) = b_{2}\). Entonces,\[(g \circ f)\left(a_{1}\right)=g\left(f\left(a_{1}\right)\right)=g\left(b_{1}\right)=g\left(b_{2}\right)=g\left(f\left(a_{2}\right)\right)=(g \circ f)\left(a_{2}\right) .\]
ya que\(g \circ f\) es una bijección, es uno a uno, por lo que concluimos que\(a_{1} = a_{2}\). Por lo tanto,\[b_{1}=f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=b_{2} .\]
ya\(b_{1}\) que\(b_{2}\) son elementos arbitrarios de\(B\), tal que\(g(b_{1}) = g(b_{2})\), esto implica que\(g\) es uno-a-uno.

(onto) Dejar\(c\) ser un elemento arbitrario de\(C\). Ya que\(g \circ f\) es una biyección, está sobre, entonces existe\(a \in A\), tal que\((g \circ f)(a) = c\). Vamos\(b = f(a)\). Entonces,\[g(b)=g(f(a))=(g \circ f)(a)=c .\]
ya que\(c\) es un elemento arbitrario de\(C\), concluimos que\(g\) es sobre.

Ejercicio\(6.8.12\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\).

1. Demostrar que si\(f\) y\(g\) son bijecciones, entonces\(g \circ f\) es una bijección.
2. Demostrar que si\(g\) y\(g \circ f\) son bijecciones, entonces\(f\) es una bijección.
3. Mostrar que si\(f\) y\(g\) son biyecciones, entonces\ ((g\ circ f) ^ {−1} = f^ {−1}\ circ g^ {−1}.

Ejercicio\(6.8.13\).

Asumir\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow A\) (y ver Notación\(6.6.8\) para la definición de los mapas de identidad\(I_{A}\) y\(I_{B}\)).

1. Mostrar que\(g\) es lo inverso de\(f\) si y solo si\(f \circ g = I_{B}\) y\(g \circ f = I_{A}\).
2. ¿Qué son\(f \circ I_{A}\) y\(I_{B} \circ f\)?

Ejercicio\(6.8.14\).

1. Dar un ejemplo de funciones\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\), tal que\(g \circ f\) está encendido, pero no\(f\) es sobre. [Pista: Vamos\(A = B = \mathbb{R}\),\(C = [0, \infty)\),\(f(x) = x^{2}\), y\(g(x) = x^{2}\).]
2. Definir\(f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) por\(f(x) = x\) y\(g :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\(g(x) = |x|\). Demostrar que\(g \circ f\) es uno a uno, pero no\(g\) es uno a uno.
3. (más difícil) Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(g: B \rightarrow C\). Escribir una definición de\(g \circ f\) puramente en términos de conjuntos de pares ordenados. Es decir, encontrar un predicado\(P(x, y)\), tal que\[g \circ f=\{(a, c) \in A \times C \mid P(a, c)\} .\]
   El predicado no puede usar la notación\(f(x)\) o\(g(x)\). En cambio, debería referirse a los pares ordenados que son elementos de\(f\) y\(g\).