6.9: Imagen y Pre-Imagen

A veces es necesario reunir muchos valores de una función. Empecemos con un ejemplo del mundo real.

Ejemplo\(6.9.1\).

Supongamos que el club de astronomía de una escuela primaria decide tener una fiesta del Día del Padre. Entonces deberían hacer una lista de todos sus padres, para que se puedan enviar invitaciones. Matemáticamente hablando, quieren hacer un set que contenga precisamente a las personas que son el padre de alguien en el club. Es decir, si A1 es el conjunto de personas en el club, entonces les interesa\[\left\{x \mid \exists a \in A_{1},(x=\text { father }(a))\right\} .\]

Otra forma de pensar de esto es que deben aplicar la\(\text {father}\) función a cada elemento del conjunto\(A_{1}\), y reunir todos los valores resultantes en un conjunto. La notación matemática para este conjunto que reúne los valores es\[\left\{\text { father }(a) \mid a \in A_{1}\right\} .\]

En inglés, podríamos llamar a este conjunto “los padres de los elementos de”\(A_{1}\), pero los matemáticos lo abrevian como “”\(\text {father} (A_{1})\). En resumen, el mismo conjunto tiene tres nombres:\[\text { father }\left(A_{1}\right)=\left\{\text { father }(a) \mid a \in A_{1}\right\}=\left\{x \mid \exists a \in A_{1},(x=\text { father }(a))\right\} .\]

Una idea similar se puede aplicar a cualquier función\(f : A \rightarrow B\). Es decir\(A_{1} \subset A\), si, entonces podemos aplicar\(f\) a cada elemento del conjunto\(A_{1}\), y reunir todos los valores resultantes en un conjunto. A esto lo llamamos conjunto\(f(A_{1})\).

Definición\(6.9.2\).

Supongamos\(f : A \rightarrow B\), y\(A_{1} \subset A\). La imagen de\(A_{1}\) debajo\(f\) es\[f\left(A_{1}\right)=\left\{f(a) \mid a \in A_{1}\right\} .\]

Es un subconjunto de\(B\). La notación significa que, para todos\(x\), tenemos\[x \in f\left(A_{1}\right) \quad \Leftrightarrow \quad \exists a \in A_{1},(x=f(a)).\]

Obrar\(6.9.3\).

Podemos tomar la imagen de cualquier subconjunto del dominio de\(f\), y el resultado será algún subconjunto del rango de\(f\). En el caso especial donde tomamos todo el dominio de\(f\) como nuestro conjunto\(A_{1}\), obtenemos toda la gama de\(f\) como la imagen.

Se espera que puedas combinar la definición de “imagen” con las técnicas de prueba que ya conoces.

Ejemplo\(6.9.4\).

Asumir\(f : A \rightarrow B\). Mostrar que si\(A_{1}\) y\(A_{2}\) son subconjuntos de\(A\), y\(f\) es uno a uno, entonces\[f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right) \subset f\left(A_{1} \cap A_{2}\right) .\]

Solución

Dado\(b \in f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right)\), sabemos\(b \in f\left(A_{1}\right)\) y\(b \in f\left(A_{2}\right)\). Por lo tanto\(b \in f\left(A_{1}\right)\), ya que, sabemos que hay algunos\(a_{1} \in f\left(A_{1}\right)\), tal que\(b = f(a_{1})\). También, ya que\(b \in f\left(A_{2}\right)\), sabemos que hay algunos\(a_{2} \in f\left(A_{2}\right)\), tal que\(b = f(a_{2})\). Entonces\[f\left(a_{1}\right)=b=f\left(a_{2}\right) .\]

Ya que\(f\) es uno a uno, esto implica\(a_{1} = a_{2} \in A_{2}\). Ya que también sabemos eso\(a_{1} \in A_{1}\), esto implica\(a_{1} \in A_{1} \cap A_{2}\). Entonces\(f(a_{1}) \in f(A_{1} \cap A_{2})\). Ya que\(b = f(a_{1})\), esto significa\(b \in f(A_{1} \cap A_{2})\). Dado que\(b\) es un elemento arbitrario de\(f(A_{1}) \cap f(A_{2})\), concluimos que\[f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right) \subset f\left(A_{1} \cap A_{2}\right) .\]

Ejercicio\(6.9.5\).

Asumir\(f : A \rightarrow B\).

1. Demostrar que si\(A_{1}\) y\(A_{2}\) son subconjuntos de\(A\), tal que\(A_{2} \subset A_{1}\), entonces\(f(A_{2}) \subset f(A_{1})\).
2. Supongamos que\(f\) es uno a uno, y\(a \in A\). Demuéstralo si\(f(a) \in f(A_{1})\), entonces\(a \in A_{1}\).

Al tomar la imagen de un subconjunto del dominio se obtiene un subconjunto del codominio. A veces necesitamos ir en otra dirección.

Ejemplo\(6.9.6\).

Quizás nos gustaría hacer una lista de todas las personas cuyo padre es amigo del cantante pop Bono. Si\(B_{1}\) es el conjunto de amigos de Bono, entonces la notación matemática para el conjunto de estas personas es\[\left\{x \in \text { PEOPLE } \mid \text { father }(x) \in B_{1}\right\} .\]

Observe que si la\(\text {father}\) función tuviera una inversa, entonces se podría obtener el mismo conjunto aplicando\(\text{father}^{−1}\) a los elementos de\(B_{1}\). Es decir, el conjunto sería\(\text{father}^{−1}(B_{1})\). Los matemáticos utilizan esta notación para el conjunto aunque no haya una función inversa.

Definición\(6.9.7\).

Supongamos\(f : A \rightarrow B\), y\(B_{1} \subset B\). La pre-imagen (o imagen inversa) de\(B_{1}\) under\(f\) es\[f^{-1}\left(B_{1}\right)=\left\{a \in A \mid f(a) \in B_{1}\right\} .\]

Es un subconjunto de\(A\). Cuando\(B_{1} = \{b\}\) tiene un solo elemento, solemos escribir\(f^{−1}(b)\), en lugar de\(f^{−1} (\{b\})\).

ADVERTENCIA. El hecho de que escribamos\(f^{−1} (B_{1})\) no implica que\(f\) tenga una inversa, o que\(f^{−1}\) sea una función. Esto es simplemente una notación que hace referencia al conjunto que hemos definido.

Ejemplo\(6.9.8\).

1. Para la función madre:\(\text {PEOPLE } \rightarrow \text { WOMEN}\),\(\text {mother^{−1} (m)\) es el conjunto de todos los hijos de\(m\).
2. Para la función\(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por\(f(x) = x^{2}\):
   1. Tenemos\(f^{−1}(4) = \{2, −2\}\), porque 2 y −2 son todas de las raíces cuadradas de 4.
   2. Tenemos\(f^{−1}([0, 4]) = [−2, 2]\), porque\(0 \leq x^{2} \leq 4 \text { iff } −2 \leq x \leq 2\).

Aquí hay ejemplos de pruebas que involucran imágenes inversas:

Ejemplo\(6.9.9\).

Supongamos\(f: A \rightarrow B\) y\(B_{1} \subset B\).

1. Tenemos\(f(f^{−1}(B_{1})) \subset B_{1}\).
2. Si\(f\) está en, entonces\(f(f^{−1}(B_{1})) = B_{1}\).

Solución

1. Vamos\(b \in f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)\). Por definición, tenemos\[f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)=\left\{f(a) \mid a \in f^{-1}\left(B_{1}\right)\right\} ,\]
   así que debemos tener\(b = f(a_{1})\), para algunos\(a_{1} \in f^{−1}(B_{1})\). Por la definición de\(f^{−1}(B_{1})\), lo sabemos\(f(a_{1}) \in B_{1}\). Por lo tanto\(b = f(a_{1}) \in B_{1}\). Ya que\(b\) es un elemento arbitrario de\(f(f^{−1}(B_{1}))\), esto implica que\(f(f^{−1}(B_{1})) \subset B_{1}\), como se desee.
2. Asumir\(f\) está en. Sabemos, a partir del (1)\(f(f^{−1}(B_{1})) \subset B_{1}\), eso, por lo que basta con mostrar eso\(B_{1} \subset f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)\).

Que\(b \in B_{1}\) sea arbitrario. Porque\(f\) está sobre, sabemos que existe\(a_{1} \in A\), tal que\(f(a_{1}) = b\). Entonces\(f(a_{1}) = b \in B_{1}\), entonces\(a_{1} \in f^{−1}(B_{1})\). Por lo tanto\[f\left(a_{1}\right) \in\left\{f(a) \mid a \in f^{-1}\left(B_{1}\right)\right\}=f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right) .\]

Ya que\(f(a_{1}) = b\), concluimos que\(b \in f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)\). Ya que\(b\) es un elemento arbitrario de\(B_{1}\), esto implica que\(B_{1} \subset f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)\), como se desee.

Ejercicio\(6.9.10\).

Supongamos eso\(f: A \rightarrow B\), eso\(A_{1} \subset A\), y aquello\(B_{1} \subset B\).

1. Demuéstralo si\(B_{2} \subset B_{1}\), entonces\(f^{-1}\left(B_{2}\right) \subset f^{-1}\left(B_{1}\right)\).
2. Espectáculo\(A_{1} \subset f^{-1}\left(f\left(A_{1}\right)\right)\).

Ejercicio\(6.9.11\).

Supongamos\(f: X \rightarrow Y\)\(A \subset Y\),, y\(B \subset Y\). Mostrar\[f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)=f^{-1}(A \cap B) .\]

Ejercicio\(6.9.12\).

Supongamos\(f: X \rightarrow Y\)\(g: Y \rightarrow Z\),\(X_{1} \subset X\),\(Z_{1} \subset Z\),, y\((g \circ f)\left(X_{1}\right) \subset Z_{1}\). Espectáculo\(f(X_{1}) \subset g^{−1}(Z_{1})\).