7.5: Las funciones deben estar bien definidas
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
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\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
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\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
La discusión de la aritmética modular ignoró un punto muy importante: las operaciones de suma, resta y multiplicación necesitan estar bien definidas. Es decir, si\(\overline{a_{1}}=\overline{a_{2}}\) y\(\overline{b_{1}}=\overline{b_{2}}\), entonces necesitamos saber que
- \(\overline{a_{1}}+{ }_{n} \overline{b_{1}}=\overline{a_{2}}+_{n} \overline{b_{2}}\),
- \(\overline{a_{1}}-_{n} \overline{b_{1}}=\overline{a_{2}}-{ }_{n} \overline{b_{2}}\), y
- \(\overline{a_{1}} \times_{n} \overline{b_{1}}=\overline{a_{2}} \times_{n} \overline{b_{2}}\).
Afortunadamente, todas estas afirmaciones son ciertas. En efecto, siguen fácilmente desde Ejercicio\(5.1.19\):
- Desde\(\overline{a_{1}}=\overline{a_{2}}\) y\(\overline{b_{1}}=\overline{b_{2}}\), tenemos\(a_{1} \equiv a_{2}(\bmod n)\) y\(b_{1} \equiv b_{2}(\bmod n)\), entonces Ejercicio nos\(5.1.19(1)\) dice eso\(a_{1} + b_{1} \equiv a_{2} + b_{2} (\bmod n)\). Por lo tanto\(\overline{a_{1}+b_{1}}=\overline{a_{2}+b_{2}}\), como se desee.
Las pruebas para\(-_{n} \text { and } \times_{n}\) son similares.
Se podría tratar de definir una operación de exponenciación mediante:\[\bar{a} \wedge_{n} \bar{b}=\overline{a^{b}} \quad \text { for } \bar{a}, \bar{b} \in \mathbb{Z}_{n} .\]
Desafortunadamente, esto no funciona, porque n no está bien definido:
Encontrar\(a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in \mathbb{Z}\), tal que\(\left[a_{1}\right]_{3}=\left[a_{2}\right]_{3}\) y\(\left[b_{1}\right]_{3}=\left[b_{2}\right]_{3}\), pero\(\left[a_{1}^{b_{1}}\right]_{3} \neq\left[a_{2}^{b_{2}}\right]_{3}\).
Asumir\(m, n \in \mathbb{N}^{+}\).
- Mostrar que si\(n > 2\), entonces el valor absoluto no proporciona una función bien definida de\(\mathbb{Z}_{n}\) a\(\mathbb{Z}_{n}\). Es decir, mostrar que existen\(a, b \in \mathbb{Z}\), tal que\([a]_{n}=[b]_{n}, \text { but }[|a|]_{n} \neq[|b|]_{n}\).
- Mostrar que si\(m \mid n\), entonces hay una función bien definida\[f: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{Z}_{m}, \text { given by } f\left([a]_{n}\right)=[a]_{m} .\]
- Mostrar que si tratamos de definir una función\(g: \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{2}\) por\ (g\ left ([a] _ {3}\ right) = [a] _ {2}), entonces el resultado no está bien definido.