7.6: Particiones
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A menudo sucede que alguien divide un conjunto en varios subconjuntos disjuntos. Esto se llama una “partición” del conjunto.
Mary se va a la universidad, y ya no quiere los juguetes de su infancia, por lo que los dividirá entre sus hermanos menores: Alice, Bob y Cindy. Let
- \(T\)ser el conjunto de todos los juguetes de María, y
- \(A\),\(B\), y\(C\) ser el conjunto de juguetes que ella le dará a Alice, a Bob, y a Cindy, respectivamente.
Entonces
Solución
\(A\),\(B\), y\(C\) son subconjuntos de\(T\), y deben elegirse de manera que:
- la unión de\(A\),\(B\) y\(C\) es\(T\) (es decir,\(A \cup B \cup C=T\)), por lo que se regalan todos los juguetes, y
- los conjuntos\(A\),\(B\), y\(C\) son disjuntos por pares (es decir,,\(A \cap B=\varnothing\)\(A \cap C=\varnothing\), y\(B \cap C=\varnothing\)), por lo que no habrá ninguna confusión sobre quién es el nuevo dueño de cada juguete.
Así, vemos que María debe dividir T en tres subconjuntos disjuntos.
Una partición de un conjunto\(A\) es una colección de subconjuntos no vacíos de\(A\), de tal manera que cada elemento de\(A\) está exactamente en uno de los subconjuntos. En otras palabras:
- la unión de los subconjuntos en la colección es todo de\(A\), y
- los subconjuntos de la colección son disjuntos por pares.
En Ejemplo\(7.6.1\), la colección\(\{A, B, C\}\) es una partición de\(T\). *
En Ejemplo\(7.3.3\), las clases de equivalencia son\(\{1, 3, 4\}\) y\(\{2, 5\}\). Dado que 1, 2, 3, 4, 5 cada uno pertenece exactamente a uno de estos conjuntos, vemos que el conjunto\[\{\{1,3,4\},\{2,5\}\}\]
de clases de equivalencia es una partición de\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\).
El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del Teorema\(7.3.5\). Dice que las clases de equivalencia siempre proporcionan una partición.
Supongamos que\(\sim\) es una relación de equivalencia en un conjunto\(A\). Entonces\[\{[a] \mid a \in A\}\]
es una partición de\(A\).
- Prueba
-
De las partes (2), (3) y (5) del Teorema\(7.3.5\), sabemos que las clases de equivalencia no están vacías, que su unión es A, y que son disjuntas por pares.
El corolario nos\(7.6.5\) dice que cada relación de equivalencia nos da una partición. Por el contrario, el siguiente resultado muestra que cualquier partición proviene de una relación de equivalencia. Así, las relaciones de equivalencia y las particiones son sólo dos formas distintas de mirar lo mismo.
Supongamos que\(\mathcal{P}\) es una partición de un conjunto\(A\). Definir una relación binaria\(\sim\) en\(A\) por\[a \sim b \quad \text { iff } \quad \exists C \in \mathcal{P},(a \in C \text { and } b \in C) \text {. }\]
Demostrar que:
- \(\sim\)es una relación de equivalencia sobre\(A\), y
- el conjunto de clases de equivalencia es la partición\(\mathcal{P}\).
Recordemos que\(\mathbb{Z}_{n}\) reemplaza enteros\(a\) y\(b\) que son congruentes módulo\(n\) con objetos\(\bar{a}\) y\(\bar{b}\) que son exactamente iguales entre sí. Esto se logró dejando\(\mathbb{Z}_{n}\) ser el conjunto de todas las clases de equivalencia. El conjunto\(\mathbb{Z}_{n}\) se aplica solo al módulo de congruencia\(n\), pero lo mismo se puede hacer para cualquier relación de equivalencia:
Supongamos que\(\sim\) es una relación de equivalencia en un conjunto\(A\). El conjunto de todas las clases de equivalencia se llama A módulo\(\sim\). Se denota\(A / \sim\).
Supongamos que definimos una relación de equivalencia\(\sim\) on\(\mathbb{Z}\) por\(a \sim b\) iff\(a \equiv b(\bmod n)\). Entonces
Solución
\(\mathbb{Z} / \sim\)es simplemente otro nombre para\(\mathbb{Z}_{n}\).
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*En realidad, esto puede no ser correcto, porque, para una partición, requerimos los conjuntos\(A\)\(B\),, y que no estén vacíos, pero es posible que\(C\) a uno (o más) de los hermanos de María no se les dé ningún juguete.