2.3: Sentencias y Conjuntos Abiertos
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La teoría de conjuntos es fundamental para las matemáticas en el sentido de que muchas áreas de las matemáticas utilizan la teoría de conjuntos y su lenguaje y notación. Este lenguaje y notación hay que entender si queremos comunicarnos de manera efectiva en matemáticas. En este punto, daremos una introducción muy breve a parte de la terminología utilizada en la teoría de conjuntos.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos que se puede considerar como una sola entidad misma. Por ejemplo, podemos pensar en el conjunto de enteros que son mayores a 4. A pesar de que no podemos anotar todos los enteros que están en este conjunto, sigue siendo un conjunto perfectamente bien definido. Esto significa que si se nos da un entero específico, podemos decir si está o no en el conjunto de todos los enteros pares.
La forma más básica de especificar los elementos de un conjunto es enumerar los elementos de ese conjunto. Esto funciona bien cuando el conjunto contiene solo un pequeño número de objetos. La práctica habitual es enumerar estos elementos entre llaves. Por ejemplo, si el conjunto\(C\) consiste en las soluciones enteras de la ecuación\(x^2 = 9\), escribiríamos
\(C\)= {-3, 3}.
Para conjuntos más grandes, a veces es inconveniente enumerar todos los elementos del conjunto. En este caso, muchas veces enumeramos varios de ellos y luego escribimos una serie de tres puntos (...) para indicar que el patrón continúa. Por ejemplo,
\(D\)= {1, 3, 5, 7,... 49}
es el conjunto de todos los números naturales impares del 1 al 49, inclusive.
Para algunos conjuntos, no es posible enumerar todos los elementos de un conjunto; luego enumeramos varios de los elementos del conjunto y nuevamente usamos una serie de tres puntos (...) para indicar que el patrón continúa. Por ejemplo, si F es el conjunto de todos los números naturales pares, podríamos escribir
\(F\)= {2, 4, 6,...}.
También podemos usar los tres puntos antes de enumerar elementos específicos para indicar el patrón antes de esos elementos. Por ejemplo, si E es el conjunto de todos los enteros pares, podríamos escribir
\(E\)= {... -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,...}.
Listar los elementos de un conjunto dentro de llaves se llama el método roster de especificar los elementos del conjunto. Aprenderemos otras formas de especificar los elementos de un conjunto más adelante en esta sección.
- Utilice el método roster para especificar los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
(a) El conjunto de números reales que son soluciones de la ecuación\(x^2 -5x =0\).
b) El conjunto de números naturales que sean menores o iguales a 10.
c) El conjunto de números enteros que sean mayores que -2. - Cada uno de los siguientes conjuntos se define usando el método de roster. Para cada conjunto, determine cuatro elementos del conjunto distintos de los enumerados utilizando el método roster.
\(A\)= {1, 4, 7, 10,...}
\(B\)= {2, 4, 8, 16,...}
\(C\)= {..., -8, -6, -4, -2, 0}
\(D\) = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}
No todas las oraciones matemáticas son declaraciones. Por ejemplo, una ecuación como
\(x^2 -5 = 0\)
no es una declaración. En esta oración, el símbolo\(x\) es una variable. Representa un número que puede elegirse de algún conjunto específico de números. La oración (ecuación) se vuelve verdadera o falsa cuando se sustituye un número específico\(x\).
- (a) ¿La ecuación\(x^2 - 25 = 0\) se convierte en una declaración verdadera si se sustituye -5\(x\)?
b) ¿La ecuación\(x^2 - 25 = 0\) se convierte en una declaración verdadera si\(\sqrt 5\) se sustituye por\(x\)?Una variable es un símbolo que representa un objeto no especificado que se puede elegir de un conjunto dado\(U\). El conjunto\(U\) se llama el conjunto universal para la variable. Es el conjunto de objetos especificados a partir del cual se pueden elegir objetos para sustituir a la variable. Una constante es un miembro específico del conjunto universal.
Algunos conjuntos que usaremos frecuentemente son los sistemas numéricos habituales. Recordemos que usamos el símbolo\(\mathbb{R}\) para que representara el conjunto de todos los números reales, el símbolo\(\mathbb{Q}\) para que representara el conjunto de todos los números racionales, el símbolo\(\mathbb{Z}\) para que representara el conjunto de todos los números enteros, y el símbolo\(\mathbb{N}\) para que representara el conjunto de todos números naturales.
Una variable es un símbolo que representa un objeto no especificado que se puede elegir de algún conjunto específico de objetos. Este conjunto especificado de objetos se acuerda de antemano y con frecuencia se llama el conjunto universal.
- ¿Qué números reales harán de la oración “\(y^2 - 2y - 15 = 0\)” una declaración verdadera cuando se sustituya\(y\)?
- ¿Qué números naturales harán que la oración “\(y^2 - 2y - 15 = 0\)” sea una declaración verdadera cuando se sustituya\(y\)?
- ¿Qué números reales harán que la frase "\(\sqrt x\)es un número real” sea una declaración verdadera cuando se sustituya\(x\)?
- ¿Qué números reales harán de la oración "\(sin^2 x +cos^2 x = 1\)" una declaración verdadera cuando se sustituya\(x\)?
- ¿Qué números naturales harán que la frase "\(\sqrt n\)es un número natural” sea una declaración verdadera cuando se sustituya\(n\)?
- ¿Qué números reales harán de la oración
\(\int_{0}^{y} t^2 dt > 9\)
una declaración verdadera cuando se sustituya\(y\)?
Algo de notación de conjunto
En Preview Activity\(\PageIndex{1}\), indicamos que un conjunto es una colección bien definida de objetos que pueden considerarse como una entidad misma.
- Si\(A\) es un conjunto y\(y\) es uno de los objetos del conjunto\(A\), escribimos\(y \in A\) y leemos esto como “\(y\)es un elemento de\(A\)” o “\(y\)es miembro de”\(A\). Por ejemplo, si\(B\) es el conjunto de todos los enteros mayores que 4, entonces podríamos escribir\(5 \in B\) y\(10 \in B\).
- Si un objeto no\(z\) es un elemento en el conjunto\(A\), escribimos\(z \notin A\) y leemos esto como “no\(z\) es un elemento de”\(A\). Por ejemplo, si\(B\) es el conjunto de todos los enteros mayores que 4, entonces podríamos escribir\(2 \notin B\) y\(4 \notin B\).
Cuando se trabaja con un objeto matemático, como set, necesitamos definir cuándo dos de estos objetos son iguales. También a menudo nos interesa si un conjunto está o no contenido en otro conjunto.
Dos conjuntos,\(A\) y\(B\), son iguales cuando tienen precisamente los mismos elementos. En este caso, escribimos\(A = B\). Cuando los conjuntos A y B no son iguales, escribimos\(A \notin B\).
El conjunto\(A\) es un subconjunto de un conjunto\(B\) siempre que cada elemento de\(A\) sea un elemento de\(B\). En este caso, escribimos\(A \subseteq B\) y también decimos que\(A\) está contenido en\(B\). Cuando no\(A\) es un subconjunto de\(B\), escribimos\(A \nsubseteq B\).
Usando estas definiciones, vemos eso para cualquier conjunto\(A\),\(A = A\) y como es cierto que para cada uno\(x \in U\), si\(x \in A\), entonces\(x \in A\), también vemos eso\(A \subseteq A\). Es decir, cualquier conjunto es igual a sí mismo y cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo. Para algunos ejemplos específicos, vemos que:
- {1, 3, 5} = {3, 5, 1}
- {5, 10} = {5, 10, 5}
- {4, 8, 12} = {4, 4, 8, 12, 12}
- {5, 10}\(\ne\) {5, 10, 15} pero {5,10}\(\subseteq\) {5, 10, 15} y {5, 10, 15}\(\nsubseteq\) {5, 10}.
En cada uno de los tres primeros ejemplos, los dos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos aunque los elementos puedan repetirse o escribirse en un orden diferente.
- Dejar\(A\) = {-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8,...}. Utilice la notación de conjunto correcta para indicar cuáles de los siguientes enteros están en el conjunto\(A\) y cuáles no están en el conjunto\(A\). Por ejemplo, podríamos escribir\(6 \in A\) y\(5 \notin A\).
10 22 13 -3 0 -12 - Utilice la notación de conjunto correcta (usando = o\(\subseteq\)) para indicar cuáles de los siguientes conjuntos son iguales y cuáles son subconjuntos de uno de los otros conjuntos.
\(A\)= {3, 6, 9}. \(B\)= {6, 9, 3, 6}
\(C\) = {3, 6, 9,...}\(D\) = {3, 6, 7, 9}
\(E\) = {9, 12, 15,...}\(F\) = {9, 7, 6, 2}
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Variables y Oraciones Abiertas
Como hemos visto en las Actividades de Vista Previa, no todas las oraciones matemáticas son declaraciones. Esto suele ser cierto si la oración contiene una variable. La siguiente terminología es útil para trabajar con oraciones y enunciados.
Una oración abierta es una oración\(P(x_1, x_2, ... , x_n)\) que involucra variables\(x_1, x_2, ... , x_n\) con la propiedad que cuando se asignan valores específicos del conjunto universal\(x_1, x_2, ... , x_n\), entonces la oración resultante es verdadera o falsa. Es decir, la frase resultante es una declaración. Una oración abierta también se llama predicado o función proposicional.
Notación: Una razón por la que una oración abierta a veces se llama función proposicional es el hecho de que usamos notación de función\(P(x_1, x_2, ... , x_n)\) para una oración abierta en\(n\) variables. Cuando sólo hay una variable, como\(x\), escribimos\(P(X)\), que se lee “\(P\)de”\(x\). En esta notación,\(x\) representa un elemento arbitrario del conjunto universal, y\(P(x)\) representa una oración. Cuando sustituimos un elemento específico del conjunto universal por\(x\), la oración resultante se convierte en una declaración. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
Si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), entonces la oración “\(x^2 - 3x - 10 = 0\)” es una oración abierta que involucra a una variable\(x\).
- Si sustituimos\(x = 2\), obtenemos la declaración falsa "”\(2^2 -3 \cdot 2 - 10 = 0\).
- Si sustituimos\(x = 5\), obtenemos la verdadera afirmación "”\(5^2 -3 \cdot 5 - 10 = 0\).
En este ejemplo, podemos dejar que\(P(x)\) sea el predicado “\(x^2 - 3x - 10 = 0\)” y luego decir que\(P(2)\) es falso y\(P(5)\) es cierto.
Usando notación similar, podemos dejar que\(Q(x,y)\) sea el predicado "”\(x + 2y = 7\). Este predicado involucra dos variables. Entonces,
- \(Q(1,1)\)es falso ya que "\(1 + 2 \cdot 1 = 7\)" es falso; y
- \(Q(3,2)\)es cierto ya que "\(3 + 2 \cdot 2 = 7\)" es falso.
- Supongamos que el conjunto universal para todas las variables es\(\mathbb{Z}\) y deja\(P(x)\) ser el predicado "”\(x^2 \le 4\).
(a) Encontrar dos valores\(x\) para los cuales\(P(x)\) es falso.
(b) Encontrar dos valores de\(x\) para los cuales\(P(x)\) es verdadero.
(c) Utilizar el método roster para especificar el conjunto de todos\(x\) para los cuales\(P(x)\) es true. - Supongamos que el conjunto universal para todas las variables es\(\mathbb{Z}\) y deja\(R(x, y, z)\) ser el predicado "”\(x^2 + y^2 = z^2\).
(a) Encuentra dos ejemplos diferentes para los cuales\(R(x, y, z)\) es falso.
(b) Encontrar dos ejemplos diferentes para los cuales\(R(x, y, z)\) es cierto.
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Sin usar el término, el Ejemplo 2.10 y la Comprobación de Progreso 2.11 (y Actividad de Vista Previa\(\PageIndex{2}\)) trataron un concepto llamado conjunto de verdad de un predicado.
El conjunto de verdad de una oración abierta con una variable es la colección de objetos en el conjunto universal que pueden ser sustituidos por la variable para hacer del predicado una declaración verdadera.
Una parte de las matemáticas elementales consiste en aprender a resolver ecuaciones. En términos más formales, el proceso de resolver una ecuación es una forma de determinar la verdad establecida para la ecuación, que es una oración abierta. En este caso, a menudo llamamos al conjunto de la verdad el conjunto de soluciones. A continuación se presentan tres ejemplos de conjuntos de verdad.
- Si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), entonces el conjunto de verdad de la ecuación\(3x - 8 = 10\) es el conjunto {6}.
- Si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), entonces el conjunto de verdad de la ecuación\(x^2 - 3x - 10 = 0\) es {-2, 5}.
- Si el conjunto universal es\(\mathbb{N}\), entonces el conjunto de verdad de la oración abierta "\(\sqrt n \in \mathbb{N}\)" es {1, 4, 9, 16,...}.
Notación del constructor de conjuntos
A veces no es posible enumerar todos los elementos de un conjunto. Por ejemplo, si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), no podemos enumerar todos los elementos del conjunto de verdad de “”\(x^2 < 4\). En este caso, a veces es conveniente usar la denominada notación de constructor de conjuntos en la que el conjunto se define estableciendo una regla que todos los elementos del conjunto deben satisfacer. Si\(P(x)\) es un predicado en la variable\(x\), entonces la notación
{\(x \in U | P(x)\)}
representa el conjunto de todos los elementos\(x\) en el conjunto universal\(U\) para lo cual\(P(x)\) es cierto. Si está claro qué conjunto se está usando para el conjunto universal, esta notación a veces se acorta a {\(x | P(x)\)}. Esto suele leerse como “el conjunto de todo\(x\) tal que”\(P(x)\). La barra vertical representa la frase “tal que”. Algunos escritores usarán dos puntos (:) en lugar de la barra vertical.
Para un ejemplo no matemático,\(P\) podría ser la propiedad de que un estudiante universitario sea un estudiante de matemáticas. Entonces {\(x | P(x)\)} denota el conjunto de todos los estudiantes universitarios que son carreras de matemáticas. Esto podría escribirse como
{\(x\)|\(x\) es un estudiante universitario que es un estudiante de matemáticas}.
Supongamos que el conjunto universal es\(\mathbb{R}\) y\(P(x)\) es "”\(x^2 < 4\). Podemos describir el conjunto de verdad\(P(x)\) como el conjunto de todos los números reales cuyo cuadrado es menor que 4. También podemos usar la notación del constructor de conjuntos para escribir el conjunto de verdad\(P(x)\) como
{\(x \in \mathbb{R} | x^2 < 4\)}
No obstante, si resolvemos la desigualdad\(x^2 < 4\), obtenemos\(-2 < x < 2\). Así que también podríamos escribir la verdad establecida como
{\(x \in \mathbb{R} | -2 < x < 4\)}
Podríamos leer esto como el conjunto de todos los números reales que son mayores que -2 y menores que 2. También podemos escribir
{\(x \in \mathbb{R} | x^2 < 4\)} = {\(x \in \mathbb{R} | -2 < x < 4\)}
\(P(x)\)Sea el predicado "”\(x^2 \le 9\).
- Si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), describa el conjunto de verdad de\(P(x)\) usar inglés y escriba el conjunto de verdad de\(P(x)\) usar notación de constructor de conjuntos.
- Si el conjunto universal es\(\mathbb{Z}\), entonces ¿cuál es el conjunto de la verdad\(P(x)\)? Describa este conjunto usando el inglés y luego use el método roster para especificar todos los elementos de este conjunto de verdad.
- ¿Son iguales los conjuntos de verdad en Partes (1) y (2)? Explique.
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Hasta ahora, nuestra forma estándar para la notación del constructor de conjuntos ha sido {\(x \in U | P(x)\)}. A veces es posible modificar esta forma y poner primero el predicado. Por ejemplo, el conjunto
{\(A = 3n+1 | n \in \mathbb{N}\)}
describe el conjunto de todos los números naturales de la forma\(3n + 1\) para algún número natural.
Al sustituir 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente, por n, podemos usar el método roster para escribir
\(A\)= {\(3n+1 | n \in \mathbb{N}\)} = {4, 7, 10, 13,...}.
A veces podemos “revertir este proceso” comenzando con un conjunto especificado por el método roster y luego escribiendo el mismo conjunto usando la notación set builder.
Dejar\(B\) = {..., -11. -7, -3, 1, 5, 9, 13,...}. La clave para escribir este conjunto usando la notación del constructor de conjuntos es reconocer el patrón involucrado. Vemos que una vez que tenemos un entero en\(B\), podemos obtener otro entero en\(B\) sumando 4. Esto sugiere que el predicado que usaremos implicará multiplicar por 4.
Dado que suele ser más fácil trabajar con números positivos, notamos que\(1 \in B\) y\(5 \in B\). Observe que
\(1 = 4 \cdot 0 + 1\)y\(5 = 4 \cdot 1 + 1\).
Esto sugiere que podríamos intentarlo\({4n + 1 | n \in \mathbb{z}}\). De hecho, al probar otros enteros para\(n\), podemos ver que
\(B\)= {..., -11, -7, -3, 1, 5, 9, 13,...} = {\(4n + 1 | n \in \mathbb{Z}\)}.
Cada uno de los siguientes conjuntos se define usando el método de roster.
\(A\)= {1, 5, 9, 13,...} \(C\)= {\(\sqrt 2\),\((\sqrt 2)^3\),\((\sqrt 2)^5\),...}
\(B\)= {..., -8, -6, -4, -2, 0}\(D\) = {1, 3, 9, 27,...}
- Determine cuatro elementos de cada conjunto distintos de los enumerados usando el método de roster.
- Utilice la notación del constructor de conjuntos para describir cada conjunto.
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El conjunto vacío
Cuando un conjunto no contiene elementos, decimos que el conjunto es el conjunto vacío. Por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales que son soluciones de la ecuación\(x^2 = -��2\) es el conjunto vacío ya que esta ecuación no tiene soluciones que sean números racionales.
En matemáticas, el conjunto vacío suele ser designado por el símbolo\(\emptyset\). Normalmente leemos el símbolo\(\emptyset\) como “el conjunto vacío” o “el conjunto nulo”. (El símbolo\(\emptyset\) es en realidad la última letra del alfabeto daneso-noruego.)
Cuando el conjunto de la verdad es el conjunto universal
El conjunto de verdad de un predicado puede ser el conjunto universal. Por ejemplo, si el conjunto universal es el conjunto de números reales\(\mathbb{R}\), entonces el conjunto de verdad del predicado “\(x + 0 = x\)” es\(\mathbb{R}\).
Observe que la frase “\(x + 0 = x\)” no ha sido cuantificada y un elemento particular del conjunto universal no ha sido sustituido por la variable\(x\). A pesar de que la verdad establecida para esta oración es el conjunto universal, adoptaremos la convención de que a menos que se declare explícitamente el cuantificador, consideraremos que la oración es un predicado o una oración abierta. Entonces, con esta convención, si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), entonces
- \(x + 0 = x\)es un predicado;
- Por cada número real\(x\),\(x + 0 = x\) es una declaración.
- Utilice el método roster para especificar los elementos en cada uno de los siguientes conjuntos y luego escribir una oración en inglés describiendo el conjunto.
(a) {\(x \in \mathbb{R} | 2x^2 + 3x -2 = 0\)}
(b) {\(x \in \mathbb{Z} | 2x^2 + 3x -2 = 0\)}
(c) {\(x \in \mathbb{Z} | x^2 < 25\)}
(d) {\(x \in \mathbb{N} | x^2 < 25\)}
(e) {\(y \in \mathbb{Q} | |y - 2| = 2.5\)}
(f) {\(y \in \mathbb{Z} | |y - 2| \le 2.5\)} - Cada uno de los siguientes conjuntos se define usando el método de roster.
\(A\)= {1, 4, 9, 16, 25,...}
\(B\)= {..., -\(\pi^4\), -\(\pi^3\), -\(\pi^2\), -\(\pi\), 0...}
\(C\)= {3, 9, 15, 21, 27,...}
\(D\)= {0, 4, 8,..., 96, 100}
(a) Determinar cuatro elementos de cada conjunto distintos de los enumerados utilizando el método roster.
(b) Utilice la notación del constructor de conjuntos para describir cada conjunto. - Vamos\(A\) = {\(x \in \mathbb{R} | x(x + 2)^2(x - \dfrac{3}{2} = 0\)}. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales al conjunto\(A\) y cuáles son los subconjuntos de\(A\)?
(a) {\(-2, 0, 3\)}
(b) {\(-2, -2, 0, \dfrac{3}{2}\)}
(c) {\(\dfrac{3}{2}, -2, 0\)}
(d) {\(-2, \dfrac{3}{2}\)} - Utilice el método roster para especificar el conjunto de verdad para cada una de las siguientes oraciones abiertas. El conjunto universal para cada oración abierta es el conjunto de enteros\(\mathbb{Z}\).
a)\(n + 7 =4\).
b)\(n^2 = 64\).
c)\(\sqrt n \in \mathbb{N}\) y\(n\) es inferior a 50.
(d)\(n\) es un número entero impar que es mayor que 2 y menor que 14.
(e)\(n\) es un número entero par que es mayor que 10. - Utilice la notación del constructor de conjuntos para especificar los siguientes conjuntos:
(a) El conjunto de todos los enteros mayores o iguales a 5.
b) El conjunto de todos los enteros pares.
c) El conjunto de todos los números racionales positivos.
d) El conjunto de todos los números reales mayores que 1 e inferiores a 7.
e) El conjunto de todos los números reales cuyo cuadrado sea mayor a 10. - Para cada uno de los siguientes conjuntos, use el inglés para describir el conjunto y, cuando corresponda, use el método roster para especificar todos los elementos del conjunto.
(a) {\(x \in \mathbb{R} | -3 \le x \le 5\)}
(b) {\(x \in \mathbb{Z} | -3 \le x \le 5\)}
(c) {\(x \in \mathbb{R} | x^2 = 16\)}
(d) {\(x \in \mathbb{R} | x^2 + 16 = 0\)}
(e) {\(x \in \mathbb{Z} | x\)es impar}
(f) {\(x \in \mathbb{R} | 3x - 4 \ge 17\)}
Exploraciones y actividades - Exploraciones de Cierre. En la Sección 1.1 se estudiaron algunas de las propiedades de cierre de los sistemas numéricos estándar. (Ver página 10.) Podemos extender esta idea a otros conjuntos de números. Entonces decimos que:
\(\bullet\) Un conjunto\(A\) de números se cierra bajo suma siempre que siempre\(x\) y\(y\) estén en el conjunto\(A\),\(x + y\) esté en el conjunto\(A\).
\(\bullet\)Un conjunto\(A\) de números se cierra bajo multiplicación siempre que siempre\(x\) y\(y\) estén en el conjunto\(A\),\(x \cdot y\) esté en el conjunto\(A\).
\(\bullet\)Un conjunto\(A\) de números se cierra bajo resta siempre que cuando\(x\) y\(y\) estén en el conjunto\(A\),\(x - y\) esté en el conjunto\(A\).
Para cada uno de los siguientes conjuntos, haga una conjetura sobre si se cierra o no bajo suma y si se cierra o no bajo multiplicación. En algunos casos, es posible que pueda encontrar un contraejemplo que demuestre que el conjunto no está cerrado bajo una de estas operaciones.
(a) El conjunto de todos los números naturales impares
(b) El conjunto de todos los enteros pares
(c)\(A\) = {1, 4, 7, 10, 13,...}
(d)\(B\) = {..., -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}
(e)\(C\) = {\(3n + 1 | n \in \mathbb{Z}\)}
(f)\(D\) = {\(\dfrac{1}{2^n} | n \in \mathbb{N}\)}
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