2.4: Cuantificadores y Negaciones
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Vista previa Actividad 1 (Una introducción a los cuantificadores)
Hemos visto que una forma de crear una declaración a partir de una oración abierta es sustituir un elemento específico del conjunto universal por cada variable en la oración abierta. Otra forma es hacer alguna afirmación sobre el conjunto de verdad de la sentencia abierta. Esto a menudo se hace mediante el uso de un cuantificador. Por ejemplo, si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), entonces la siguiente oración es una declaración.
Por cada número real\(x\),\(x^2 > 0\).
Se dice que la frase “Por cada número real x” cuantifica la variable que le sigue en el sentido de que la oración está reclamando que algo es cierto para todos los números reales. Entonces esta frase es una declaración (que pasa a ser falsa).
La frase “para cada” (o sus equivalentes) se denomina cuantificador universal. La frase “existe” (o sus equivalentes) se denomina cuantificador existencial. El símbolo\(\forall\) se usa para denotar un cuantificador universal, y el símbolo\(\exists\) se usa para denotar un cuantificador existencial.
Usando esta notación, la declaración “Por cada número real\(x\),\(x^2\) > 0” podría escribirse en forma simbólica como:\((\forall x \in \mathbb{R}) (x^2 > 0)\). El siguiente es un ejemplo de una declaración que involucra a un cuantificador existencial.
Existe un entero\(x\) tal que\(3x - 2 = 0\).
Esto podría escribirse en forma simbólica como
\((\exists x \in \mathbb{Z})(3x - 2 = 0)\).
Esta afirmación es falsa porque no hay números enteros que sean soluciones de la ecuación lineal\(3x - 2 = 0\). En el Cuadro 2.4 se resumen los hechos sobre los dos tipos de cuantificadores.
| Una declaración que implica | A menudo tiene la forma | La afirmación es cierta siempre que |
|---|---|---|
| Un cuantificador universal: (\(\forall x, P(x)\)) | “Para cada”\(x\)\(P(x)\), donde\(P(x)\) es un predicado. | Cada valor de\(x\) en el conjunto universal se hace\(P(x)\) realidad. |
| Un cuantificador existencial: (\(\exists x, P(x)\)) | “Existe\(x\) tal que”\(P(x)\), donde\(P(x)\) es un predicado. | Hay al menos un valor de\(x\) en el conjunto universal que hace\(P(x)\) realidad. |
Tabla 2.4: Propiedades de los cuantificadores
En efecto, la tabla indica que la afirmación universalmente cuantificada es verdadera siempre que el conjunto de verdad del predicado sea igual al conjunto universal, y la declaración cuantificada existencialmente es verdadera siempre que el conjunto de verdad del predicado contenga al menos un elemento.
Cada una de las siguientes frases es una declaración o una oración abierta. Supongamos que el conjunto universal para cada variable en estas oraciones es el conjunto de todos los números reales. Si una oración es una oración abierta (predicado), determinar su conjunto de verdad. Si una oración es una declaración, determine si es verdadera o falsa.
- \((\forall a \in \mathbb{R})(a + 0 = a)\).
- \(3x -5 = 9\).
- \(\sqrt x \in \mathbb{R}\).
- \(sin(2x) = 2(sin x)(cos x)\).
- \((\forall x \in \mathbb{R})(sin(2x) = 2(sin x)(cos x))\).
- \((\exists x \in \mathbb{R})(x^2 + 1 = 0)\).
- \((\forall x \in \mathbb{R})(x^3 \ge x^2)\).
- \(x^2 + 1 =0\).
- Si\(x^2 \ge 1\), entonces\(x \ge 1\).
- \((\forall x \in \mathbb{R})\)(Si\(x^2 \ge 1\), entonces\(x \ge 1\)).
Vista previa de la Actividad 2 (Intentando Negar Declaraciones Cuantificadas)
- Considera la siguiente declaración escrita en forma simbólica:
(\(\forall x \in \mathbb{Z}\)) (\(x\)es un múltiplo de 2).
(a) Escribir esta declaración como una oración en inglés.
b) ¿La afirmación es verdadera o falsa? ¿Por qué?
c) ¿Cómo escribiría la negación de esta declaración como frase en inglés?
(d) Si es posible, escriba su negación de esta afirmación desde la parte (2) simbólicamente (usando un cuantificador). - Considera la siguiente declaración escrita en forma simbólica:
(\(\exists x \in \mathbb{Z}\)) (\(x^3 > 0\)).
(a) Escribir esta declaración como una oración en inglés.
b) ¿La afirmación es verdadera o falsa? ¿Por qué?
c) ¿Cómo escribiría la negación de esta declaración como frase en inglés?
(d) Si es posible, escriba su negación de esta afirmación desde la parte (2) simbólicamente (usando un cuantificador).
Introdujimos los conceptos de oraciones abiertas y cuantificadores en la Sección 2.3
Formularios de declaraciones cuantificadas en inglés
Hay muchas formas de escribir declaraciones que involucren cuantificadores en inglés. En algunos casos, los cuantificadores no son aparentes, y esto suele suceder con declaraciones condicionales. Los siguientes ejemplos ilustran estos puntos. Cada ejemplo contiene una declaración cuantificada escrita en forma simbólica seguida de varias formas de escribir la declaración en inglés.
- (\(\forall x \in \mathbb{R}\)) (\(x^2 > 0\)).
\(\bullet\)Por cada número real\(x\),\(x^2 > 0\).
\(\bullet\)El cuadrado de cada número real es mayor que 0.
\(\bullet\)El cuadrado de un número real es mayor que 0.
\(\bullet\)Si\(x \in \mathbb{R}\), entonces\(x^2 > 0\).
En el segundo al último ejemplo, el cuantificador no se expresa explícitamente. Hay que tener cuidado al leer esto porque realmente dice lo mismo que los ejemplos anteriores. El último ejemplo ilustra el hecho de que las declaraciones condicionales a menudo contienen un cuantificador universal “oculto”.
Si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), entonces el conjunto de verdad de la oración abierta\(x^2 > 0\) es el conjunto de todos los números reales distintos de cero. Es decir, el conjunto de la verdad es
{\(x \in \mathbb{R} | x \ne 0\)}
Entonces las declaraciones anteriores son falsas. Para la declaración condicional, el ejemplo usando\(x = 0\) produce una hipótesis verdadera y una conclusión falsa. Este es un contraejemplo que demuestra que la afirmación con un cuantificador universal es falsa.
- (\(\exists x \in \mathbb{R}\)) (\(x^2 = 5\)).
\(\bullet\)Existe un número real\(x\) tal que\(x^2 = 5\).
\(\bullet\)\(x^2 = 5\)para algún número real\(x\).
\(\bullet\)Hay un número real cuyo cuadrado equivale a 5.
El segundo ejemplo generalmente no se usa ya que no se considera una buena práctica de escritura iniciar una oración con un símbolo matemático.
Si el conjunto universal es\(\mathbb{R}\), entonces el conjunto de verdad del predicado "\(x^2 = 5\)" es {\(-sqrt 5\),\(sqrt 5\)}. Entonces todas estas son afirmaciones verdaderas.
Negaciones de Declaraciones Cuantificadas
En Preview Activity\(\PageIndex{1}\), escribimos negaciones de algunas declaraciones cuantificadas. Esta es una actividad matemática muy importante. Como veremos en secciones futuras, a veces es tan importante poder describir cuando algún objeto no satisface una determinada propiedad como lo es describir cuando el objeto satisface la propiedad. Nuestra siguiente tarea es aprender a escribir negaciones de declaraciones cuantificadas en una forma útil en inglés.
Primero analizamos la negación de una afirmación que involucra un cuantificador universal. La forma general para tal declaración puede escribirse como (\(\forall x \in U\)) (\(P(x)\)), donde\(P(x)\) es una oración abierta y\(U\) es el conjunto universal para la variable\(x\). Cuando escribimos
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x)]\),
estamos aseverando que la afirmación\(\forall x \in U) [P(x)]\) es falsa. Esto equivale a decir que el conjunto de verdad de la oración abierta no\(P(x)\) es el conjunto universal. Es decir, existe un elemento x en el conjunto universal\(U\) tal que\(P(x)\) es falso. Esto a su vez significa que existe un elemento\(x\) en\(U\) tal que\(\urcorner P(x)\) es cierto, lo que equivale a decir que eso\((\exists x \in U)[\urcorner P(x)]\) es cierto. Esto explica por qué el siguiente resultado es cierto:
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x)] \equiv (\exists x \in U)[\urcorner P(x)]\)
Del mismo modo, cuando escribimos
\(\urcorner (\exists x \in U) [P(x)]\)
estamos aseverando que la afirmación\((\exists x \in U) [P(x)]\) es falsa. Esto equivale a decir que el conjunto de verdad de la oración abierta\(P(x)\) es el conjunto vacío. Es decir, no hay elemento x en el conjunto universal\(U\) tal que\(P(x)\) es cierto. Esto a su vez significa que para cada elemento\(x\) en\(U\),\(\urcorner P(x)\) es cierto, y esto equivale a decir que eso\((\forall x \in U) [\urcorner P(x)]\) es cierto. Esto explica por qué el siguiente resultado es cierto:
\(\urcorner (\exists x \in U) [P(x)] \equiv (\forall x \in U) [\urcorner P(x)]\)
Resumimos estos resultados en el siguiente teorema.
Para cualquier sentencia abierta\(P(x)\),
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x)] \equiv (\exists x \in U) [\urcorner P(x)]\), y
\(\urcorner (\exists x \in U) [P(x)] \equiv (\forall x \in U) [\urcorner P(x)]\)
Considera la siguiente declaración:\((\forall x \in \mathbb{R}) (x^3 \ge x^2)\).
Podemos escribir esta declaración como una oración en inglés de varias maneras. A continuación se presentan dos formas diferentes de hacerlo.
- Por cada número real\(x\),\(x^3 \ge x^2\).
- Si\(x\) es un número real, entonces\(x^3\) es mayor o igual a\(x^2\).
El segundo enunciado muestra que en una declaración condicional, a menudo hay un cuantificador universal oculto. Esta afirmación es falsa ya que hay números reales\(x\) para los cuales no\(x^3\) es mayor o igual a\(x^2\). Por ejemplo, podríamos usar\(x = -1\) o\(x = \frac{1}{2}\). Esto quiere decir que la negación debe ser cierta. Podemos formar la negación de la siguiente manera:
\(\urcorner (\forall x \in \mathbb{R}) (x^3 \ge x^2) \equiv (\exists x \in \mathbb{R}) \urcorner (x^3 \ge x^2)\).
En la mayoría de los casos, queremos escribir esta negación de una manera que no utilice el símbolo de negación. En este caso, ahora podemos escribir la oración abierta\(\urcorner (x^3 \ge x^2)\) como (\(x^3 < x^2\)). (Es decir, la negación de “es mayor o igual a” es “es menor que”.) Por lo que obtenemos lo siguiente:
\(\urcorner (\forall x \in \mathbb{R}) (x^3 \ge x^2) \equiv (\exists x \in \mathbb{R}) (x^3 < x^2)\).
El comunicado\((\exists x \in \mathbb{R}) (x^3 < x^2)\) podría redactarse en inglés de la siguiente manera:
- Existe un número real\(x\) tal que\(x^3 < x^2\).
- Existe\(x\) tal que\(x\) es un número real y\(x^3 < x^2\).
Para cada una de las siguientes declaraciones
- Escribe la declaración en forma de una oración en inglés que no use los símbolos para cuantificadores.
- Escribir la negación de la declaración en una forma simbólica que no utilice el símbolo de negación.
- Escribir la negación de la declaración en forma de una oración en inglés que no utilice los símbolos para cuantificadores.
- \((\forall a \in \mathbb{R}) (a + 0 = a)\).
- \((\forall x \in \mathbb{R}) [sin(2x) = 2(sin x)(cos x)]\).
- \((\forall x \in \mathbb{R}) (tan^2 x + 1 = sec^2 x)\).
- \((\exists x \in \mathbb{Q}) (x^2 - 3x - 7 = 0)\).
- \((\exists x \in \mathbb{R}) (x^2 + 1 = 0)\).
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Contraejemplos y negaciones de declaraciones condicionales
El número real\(x = -1\) en el ejemplo anterior se utilizó para mostrar que la declaración\((\forall x \in \mathbb{R}) (x^3 \ge x^2)\) es falsa. A esto se le llama contraejemplo a la declaración. En general, un contraejemplo a una declaración de la forma\((\forall x) [P(x)]\) es un objeto a en el conjunto universal\(U\) para el cual\(P(a)\) es falso. Es un ejemplo que prueba que\((\forall x) [P(x)]\) es una declaración falsa, y de ahí su negación,\((\exists x) [\urcorner P(x)]\), es una afirmación verdadera.
En el ejemplo anterior, también escribimos la declaración universalmente cuantificada como una declaración condicional. El número\(x = -1\) es un contraejemplo para la sentencia
Si\(x\) es un número real, entonces\(x^3\) es mayor o igual a\(x^2\).
Entonces el número -1 es un ejemplo que hace que la hipótesis de la declaración condicional sea verdadera y la conclusión falsa. Recuerde que una declaración condicional a menudo contiene un cuantificador universal “oculto”. También, recordemos que en la Sección 2.2 vimos que la negación del enunciado condicional “Si\(P\) entonces\(Q\)” es el enunciado “\(P\)y no”\(Q\). Simbólicamente, esto se puede escribir de la siguiente manera:
\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\).
Entonces, cuando incluimos específicamente el cuantificador universal, la forma simbólica de la negación de una declaración condicional es
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x) \to Q(x)] \equiv (\exists x \in U) \urcorner [ P(x) \to Q(x)] \equiv (\exists x \in U) [P(x) \wedge \urcorner Q(x)]\).
Es decir,
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x) \to Q(x)] \equiv (\exists x \in U) [P(x) \wedge \urcorner Q(x)]\).
Use contraejemplos para explicar por qué cada una de las siguientes declaraciones es falsa.
- Para cada entero\(n\), (\(n^2 + n + 1\)) es un número primo.
- Por cada número real\(x\), si\(x\) es positivo, entonces\(2x^2 > x\).
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Cuantificadores en Definiciones
Las definiciones de términos en matemáticas a menudo involucran cuantificadores. Estas definiciones a menudo se dan en una forma que no usa los símbolos para los cuantificadores. No sólo es importante conocer una definición, también es importante poder escribir una negación de la definición. Esto se ilustrará con la definición de lo que significa decir que un número natural es un cuadrado perfecto.
Un número natural n es un cuadrado perfecto siempre que exista un número natural\(k\) tal que\(n = k^2\).
Esta definición se puede escribir en forma simbólica utilizando cuantificadores apropiados de la siguiente manera:
Un número natural n es un cuadrado perfecto proporcionado\((\exists k \in \mathbb{N}) (n = k^2)\).
Frecuentemente utilizamos los siguientes pasos para comprender mejor una definición.
- Ejemplos de números naturales que son cuadrados perfectos son 1, 4, 9, y 81 ya que\(1 = 1^2\),\(4 = 2^2\),\(9 = 3^2\), y\(81 = 9^2\).
- Ejemplos de números naturales que no son cuadrados perfectos son 2, 5, 10 y 50.
- Esta definición da dos “condiciones”. Una es que el número natural\(n\) es un cuadrado perfecto y la otra es que existe un número natural\(k\) tal que\(n = k^2\). En la definición se afirma que estos significan lo mismo. Entonces cuando decimos que un número natural n no es un cuadrado perfecto, necesitamos negar la condición de que exista un número natural k tal que\(n = k^2\). Podemos usar la forma simbólica para hacer esto.
\(\urcorner (\exists k \in \mathbb{N}) (n = k^2) \equiv (\forall k \in \mathbb{N}) (n \ne k^2)\)
Observe que en lugar de escribir\(\urcorner (n = k^2)\), utilizamos la forma equivalente de (\(n \ne k^2\)). Esto será más fácil de traducir a una oración en inglés. Así podemos escribir,
Un número natural no\(n\) es un cuadrado perfecto proporcionado taht para cada número natural\(k\),\(n \ne k^2\).
El método anterior ilustra un buen método para tratar de entender una nueva definición. La mayoría de los libros de texto simplemente definirán un concepto y dejarán que el lector haga los pasos anteriores. Frecuentemente, no basta con leer una definición y esperar entender el nuevo término. Debemos proporcionar ejemplos que satisfagan la definición, así como ejemplos que no satisfagan la definición, y debemos ser capaces de escribir una negación coherente de la definición
Un entero\(n\) es un múltiplo de 3 siempre que exista un entero\(k\) tal que\(n = 3k\).
- Escribe esta definición en forma simbólica usando cuantificadores completando lo siguiente:
Un entero\(n\) es un múltiplo de 3 siempre que... - Dar varios ejemplos de enteros (incluyendo enteros negativos) que son múltiplos de 3.
- Dar varios ejemplos de enteros (incluyendo enteros negativos) que no son múltiplos de 3.
- Utilice la forma simbólica de la definición de un múltiplo de 3 para completar la siguiente oración: “Un entero no\(n\) es un múltiplo de 3 siempre que.”.
- Sin usar los símbolos para los cuantificadores, complete la siguiente frase: “Un entero\ (n\ 0 no es un múltiplo de 3 proporcionar eso.”.
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Declaraciones con más de un cuantificador
Cuando un predicado contiene más de una variable, cada variable debe ser cuantificada para crear una sentencia. Por ejemplo, supongamos que el conjunto universal es el conjunto de enteros,\(\mathbb{Z}\), y dejar que\(P(x, y)\) sea el predicado, “\(x + y = 0\).” Podemos crear una declaración a partir de este predicado de varias maneras.
- \((\forall x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Podríamos leer esto como, “Para todos los enteros\(x\) y\(y\),”\(x + y = 0\). Esta es una declaración falsa ya que es posible encontrar dos enteros cuya suma no sea cero\(2 + 3 \ne 0\). - \((\forall x \in \mathbb{Z})(\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Podríamos leer esto como, “Por cada entero\(x\), there exists an integer \(y\) tal que\(x + y = 0\).” This is a true statement. - \((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Podríamos leer esto como, “Existe un entero\(x\) tal que para cada entero\(y\),”\(x + y = 0\). Esta es una declaración falsa ya que no hay un entero cuya suma con cada entero sea cero. - \((\exists x \in \mathbb{Z})(\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Podríamos leer esto como, “Existen enteros\(x\) and y such that \(x + y = 0\).” This is a true statement. For example, \(2 + (-2) = 0\)
Cuando negamos una declaración con más de un cuantificador, consideramos cada cuantificador a su vez y aplicamos la parte apropiada del Teorema 2.16. Como ejemplo, vamos a negar la Declaración (3) de la lista anterior. El comunicado es
\((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Primero tratamos esto como una declaración en la siguiente forma:\((\exists x \in \mathbb{Z}) (P(x))\) dónde\(P(x)\) está el predicado\((\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\). Usando el Teorema 2.16, tenemos
\(\urcorner (\exists x \in \mathbb{Z}) (P(x)) \equiv (\forall x \in \mathbb{Z}) (\urcorner P(x))\).
Usando nuevamente el Teorema 2.16, obtenemos lo siguiente:
\(\urcorner P(x) \equiv \urcorner (\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y =0)\)
\(\equiv (\exists y \in \mathbb{Z}) \urcorner (x + y =0)\)
\(\equiv (\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y \ne 0)\).
Combinando estos dos resultados, obtenemos
\(\urcorner (\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0) \equiv (\forall x \in \mathbb{Z}) (\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y \ne 0)\).
Los resultados se resumen en la siguiente tabla.
| Forma Simbólica | Formulario en inglés | |
| Declaración | \((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\) | Existe un entero\(x\) tal que para cada entero\(y\),\(x + y = 0\). |
| Negación | \((\forall x \in \mathbb{Z}) (\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y \ne 0)\) | Para cada entero\(x\), existe un entero\(y\) tal que\(x + y \ne 0\). |
Dado que la afirmación dada es falsa, su negación es verdadera.
Podemos construir una tabla similar para cada una de las cuatro sentencias. En la siguiente tabla se muestra la Declaración (2), que es verdadera, y su negación, que es falsa.
| Forma Simbólica | Formulario en inglés | |
| Declaración | \((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\) | Por cada entero\(x\), existe un entero\(y\) tal que\(x + y = 0\). |
| Negación | \((\forall x \in \mathbb{Z}) (\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y \ne 0)\) | Existe un entero\(x\) tal que por cada entero\(y\),\(x + y \ne 0\). |
Escribir la negación de la declaración
\((\forall x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\)
en forma simbólica y como frase escrita en inglés.
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Guideario de escritura
Trate de usar el inglés y minimizar el uso de la notación engorrosa. No utilice los símbolos especiales para cuantificadores\(\forall\) (para todos),\(\exists\) (existe), (tal que), o\(backepsilon\)\(\therefore\) (por lo tanto) en la escritura matemática formal. A menudo es más fácil de escribir y generalmente más fácil de leer, si se usan las palabras en inglés en lugar de los símbolos. Por ejemplo, por qué hacer que el lector interprete
\((\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) (x + y = 0)\)
cuando es posible escribir
Para cada número real\(x\), existe un número real\(y\) tal que\(x + y = 0\), o, de manera más sucinta (si procede),
Cada número real tiene una inversa aditiva.
- Para cada una de las siguientes, escriba la declaración como una oración en inglés y luego explique por qué la declaración es falsa.
a)\((\exists x \in \mathbb{Q}) (x^2 - 3x - 7 = 0)\).
b)\((\exists x \in \mathbb{R}) (x^2 + 1 = 0)\).
c)\((\exists m \in \mathbb{N}) (m^ < 1)\). - Para cada uno de los siguientes, use un contraejemplo para mostrar que la sentencia es falsa. Después escribe la negación de la declaración en inglés, sin usar símbolos para cuantificadores.
(a)\((\forall m \in \mathbb{Z})\) (\(m^2\)es par).
b)\((\forall x \in \mathbb{R}) (x^2 > 0)\).
c) Por cada número real\(x\),\(\sqrt x \in \mathbb{R}\).
d)\((\forall m \in \mathbb{Z}) (\dfrac{m}{3} \in \mathbb{Z})\).
e)\((\forall a \in \mathbb{Z}) (\sqrt {a^2} = a)\).
f)\((\forall x \in \mathbb{R}) (tan^2 x + 1 = sec^2 x)\). - Para cada una de las siguientes declaraciones
\(\bullet\) Escribe la declaración como una oración en inglés que no utilice los símbolos para cuantificadores.
\(\bullet\)Escribir la negación de la declaración en forma simbólica en la que no se utilice el símbolo de negación.
\(\bullet\)Escribe una negación útil de la declaración en una oración en inglés que no use los símbolos para cuantificadores.
a)\((\exists x \in \mathbb{Q}) (x > \sqrt 2)\).
b)\((\forall x \in \mathbb{Q}) (x^2 - 2 \ne 0)\).
(c)\((\forall x \in \mathbb{Z})\) (\(x\)es par o\(x\) impar).
d)\((\exists x \in \mathbb{Q}) (\sqrt 2 < x < \sqrt 3)\). Nota: La frase "\(\sqrt 2 < x < \sqrt 3\)" es en realidad una conjunción. Significa\(\sqrt 2 < x\) y\(x < \sqrt 3\).
(e)\((\forall x \in \mathbb{Z})\) (Si\(x^2\) es impar, entonces\(x\) es impar).
f)\((\forall n \in \mathbb{N})\) [Si\(n\) es un sqare perfecto, entonces (\(2^n -1\)) no es un número primo].
g)\((\forall n \in \mathbb{N})\) (\(n^2 -n + 41\)es un número primo).
h)\((\exists x \in \mathbb{R}) (cos(2x) = 2(cos x))\). - Escriba cada una de las siguientes declaraciones como una oración en inglés que no utilice los símbolos para los cuantificadores.
a)\((\exists m \in \mathbb{Z}) (\exists n \in \mathbb{Z}) (m > n)\)
b\((\exists m \in \mathbb{Z}) (\forall n \in \mathbb{Z}) (m > n)\)
) c\((\forall m \in \mathbb{Z}) (\exists n \in \mathbb{Z}) (m > n)\)
) d\((\forall m \in \mathbb{Z}) (\forall n \in \mathbb{Z}) (m > n)\)
) e\((\exists m \in \mathbb{Z}) (\forall n \in \mathbb{Z}) (m^2 > n)\)
) f\((\forall m \in \mathbb{Z}) (\exists n \in \mathbb{Z}) (m^2 > n)\) - Escribir la negación de cada enunciado en el Ejercicio (4) en forma simbólica y como una oración en inglés que no utilice los símbolos para cuantificadores.
- Supongamos que el conjunto universal es\(\mathbb{Z}\). Considerar la siguiente frase:
\((\exists t \in \mathbb{Z}) (t \cdot x = 20)\).
a) Explique por qué esta frase es una oración abierta y no una declaración.
b) Si se sustituye por 5\(x\), ¿la frase resultante es una declaración? Si se trata de una declaración, ¿la afirmación es verdadera o falsa?
c) Si se sustituye por 8\(x\), ¿la frase resultante es una declaración? Si se trata de una declaración, ¿la afirmación es verdadera o falsa?
d) Si se sustituye por 2\(x\), ¿la frase resultante es una declaración? Si se trata de una declaración, ¿la afirmación es verdadera o falsa?
e) ¿Cuál es el conjunto de verdad de la sentencia abierta\((\exists t \in \mathbb{Z}) (t \cdot x = 20)\)? - Supongamos que el conjunto universal es\(\mathbb{R}\). Considerar la siguiente frase:
\((\exists t \in \mathbb{R}) (t \cdot x = 20)\).
a) Explique por qué esta frase es una oración abierta y no una declaración.
b) Si se sustituye por 5\(x\), ¿la frase resultante es una declaración? Si se trata de una declaración, ¿la afirmación es verdadera o falsa?
c) Si\(\pi\) se sustituye\(x\), ¿la frase resultante es una declaración? Si se trata de una declaración, ¿la afirmación es verdadera o falsa?
d) Si se sustituye 0\(x\), ¿la frase resultante es una declaración? Si se trata de una declaración, ¿la afirmación es verdadera o falsa?
e) ¿Cuál es el conjunto de verdad de la sentencia abierta\((\exists t \in \mathbb{R}) (t \cdot x = 20)\)? - Dejar\(\mathbb{Z^*}\) ser el conjunto de todos los enteros distintos de cero.
(a) Utilizar un contraejemplo para explicar por qué la siguiente afirmación es falsa:
Para cada uno\(x \in \mathbb{Z^*}\), existe\(y \in \mathbb{Z^*}\) tal que\(xy = 1\).
b) Escribir la declaración en la parte (a) en forma simbólica utilizando los símbolos apropiados para los cuantificadores.
(c) Escribir la negación del enunciado en la parte (b) en forma simbólica utilizando los símbolos apropiados para los cuantificadores.
(d) Escribir la negación de la parte (c) en inglés sin usar los símbolos para cuantificadores. - \(m\)Se dice que un entero tiene la propiedad divide siempre que para todos los enteros\(a\) y\(b\), si\(m\) divide\(ab\), entonces\(m\) divide\(a\) o\(m\) divide\(b\).
(a) Usando los símbolos para los cuantificadores, escriba lo que significa decir que el entero\(m\) tiene la propiedad divide.
(b) Usando los símbolos para los cuantificadores, escriba lo que significa decir que el entero\(m\) no tiene la propiedad divide.
(c) Escribir una frase en inglés indicando lo que significa decir que el entero\(m\) no tiene la propiedad divide. - En cálculo, definimos una función\(f\) con dominio\(\mathbb{R}\) para ser estrictamente creciente siempre que para todos los números reales\(x\) y\(y\),\(f(x) < f(y)\) cuando sea\(x < y\). Completar cada una de las siguientes frases utilizando los símbolos apropiados para los cuantificadores:
(a) Una función\(f\) con dominio\(\mathbb{R}\) es estrictamente creciente siempre que...
b) Una función\(f\) con dominio no\(\mathbb{R}\) es estrictamente creciente siempre que...
Completa la siguiente frase en inglés sin usar símbolos para cuantificadores:
(c) Una función\(f\) con dominio no\(\mathbb{R}\) está estrictamente aumentando siempre que... - En el cálculo, definimos una función\(f\) para que sea continua en un número real\(a\) siempre que para cada\(\varepsilon > 0\), exista\(\delta > 0\) tal que si\(|x - a| < \delta\), entonces\(| f(x) - f(a)| < \varepsilon\).
Nota: El símbolo\(\varepsilon\) es la letra griega minúscula épsilon, y el símbolo\(\delta\) es la letra griega minúscula delta.
Completar cada una de las siguientes frases utilizando los símbolos apropiados para los cuantificadores:
(a) Una función\(f\) es continua en el número real\(a\) siempre que...
b) Una función no\(f\) es continua al número real\(a\) siempre que...
Completa la siguiente frase en inglés sin usar símbolos para cuantificadores:
(c) Una función no\(f\) es continua en el número real\(a\) siempre que... - Los siguientes ejercicios contienen definiciones o resultados de cursos de matemáticas más avanzados. Aunque no entendamos todos los términos involucrados, todavía es posible reconocer la estructura de las declaraciones dadas y escribir una negación significativa de esa afirmación.
(a) En álgebra abstracta, una operación\(\ast\) en un conjunto\(A\) se denomina operación conmutativa siempre que para todos\(x, y \in A\),\(x \ast y = y \ast x\). Explique cuidadosamente lo que significa decir que una operación\(\ast\) en un conjunto A no es una operación conmutativa.
(b) En álgebra abstracta, un anillo consiste en un conjunto no vacío\(R\) y dos operaciones llamadas suma y multiplicación. Un elemento distinto de cero\(a\) en un anillo\(R\) se denomina divisor cero siempre que exista un elemento distinto de cero\(b\) en R tal que\(ab = 0\). Explique cuidadosamente lo que significa decir que un elemento distinto de cero\(a\) en un anillo no\(R\) es un divisor cero.
(c) Un conjunto\(M\) de números reales se denomina vecindario de un número real siempre que exista un número real positivo\(\epsilon\) tal que el intervalo abierto (\(a - \epsilon, a + \epsilon\)) esté contenido en\(M\). Explique cuidadosamente lo que significa decir que un conjunto no\(M\) es un barrio de un número real\(a\).
d) En el cálculo avanzado, una secuencia de números reales {\(x_1\),\(x_2\),...\(x_k\),...} se denomina secuencia Cauchy siempre que por cada número real positivo, exista un número natural\(N\) tal que para todos\(m\); \(n \in \mathbb{N}\), si\(m > N\) y\(n > N\), entonces\(|x_n - x_m| < \epsilon\). Explique cuidadosamente lo que significa decir que la secuencia de números reales {\(x_1\),\(x_2\),...,\(x_k\),...} no es una secuencia de Cauchy.
Exploraciones y actividades - Números primos. La siguiente definición de número primo es muy importante en muchas áreas de las matemáticas. Utilizaremos esta definición en diversos lugares del texto. Se introduce ahora como un ejemplo de cómo trabajar con una definición en matemáticas.
Un número natural\(p\) es un número primo siempre que sea mayor que 1 y los únicos números naturales que son factores de\(p\) son 1 y\(p\). Un número natural distinto de 1 que no es un número primo es un número compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto.
Usando la definición de número primo, vemos que 2, 3, 5 y 7 son números primos. Además, 4 es un número compuesto ya que 4 =\(\cdot\) 2 2; 10 es un número compuesto desde 10 = 2\(\cdot\) 5; y 60 es un número compuesto desde 60 = 4\(\cdot\) 15.
a) Dar ejemplos de cuatro números naturales distintos de 2, 3, 5 y 7 que sean números primos.
(b) Explicar por qué un número natural\(p\) que es mayor que 1 es un número primo siempre que
Para todos\(d \in \mathbb{N}\), si\(d\) es un factor de\(p\), entonces\(d = 1\) o\(d = p\).
c) Dar ejemplos de cuatro números naturales que son números compuestos y explicar por qué son números compuestos.
d) Escribir una descripción útil de lo que significa decir que un número natural es un número compuesto (que no sea decir que no es primo). - límites superiores para subconjuntos de\(\mathbb{R}\). \(A\)Sea un subconjunto de los números reales. Un número\(b\) se denomina límite superior para el conjunto\(A\) siempre que para cada elemento\(x\) en\(A\),\(x \le b\).
(a) Escribir esta definición en forma simbólica completando lo siguiente:
\(A\) Sea un subconjunto de los números reales. Un número\(b\) se denomina límite superior para el conjunto\(A\) siempre que...
b) Dar ejemplos de tres límites superiores diferentes para el conjunto\(A\) = {\(x \in \mathbb{R} | 1 \le x \le 3\)}.
(c) ¿El conjunto\(B\) = {\(x \in \mathbb{R} | x > 0\)} tiene un límite superior? Explique.
d) Dar ejemplos de tres números reales diferentes que no sean límites superiores para el conjunto\(A\) = {\(x \in \mathbb{R} | 1 \le x \le 3\)}.
(e) Completar en forma simbólica lo siguiente: “\(A\)Sea un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Un número no\(b\) es un límite superior para el conjunto\(A\) siempre que...”
f) Sin utilizar los símbolos para los cuantificadores, complete la siguiente frase: “\(A\)Sea un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Un número no\(b\) es un límite superior para el conjunto\(A\) siempre que...”
g) ¿Sus ejemplos en la Parte (14d) son consistentes con su trabajo en la Parte (14f)? Explique. - Mínimo límite superior para un subconjunto de\(\mathbb{R}\). En el Ejercicio 14, se introdujo la definición de un límite superior para un subconjunto de los números reales. Supongamos que conocemos esta definición y que sabemos lo que significa decir que un número no es un límite superior para un subconjunto de los números reales.
Dejar\(A\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Un número real es el límite inferior superior para A siempre que\(\alpha\) sea un límite superior para\(A\), y si\(\beta\) es un límite superior para\(A\), entonces\(\alpha \le \beta\).
Nota: El símbolo\(\alpha\) es la letra griega minúscula alfa, y el símbolo\(\beta\) es la letra griega minúscula beta.Si\(P(x)\) definimos que\(x\) es “es un límite superior para”\(A\), entonces podemos escribir la definición para el límite mínimo superior de la siguiente manera:
Un número real es el límite inferior superior para\(A\) siempre que
\(P(\alpha) \wedge [(\forall \beta \in \mathbb{R}) (P(\beta) \to (\alpha \le \beta))]\).
a) ¿Por qué se utiliza un cuantificador universal para el número real\(\beta\)?
b) Cumplimentar en forma simbólica la siguiente frase: “Un número real no\(\alpha\) es el límite superior mínimo para\(A\) siempre que...
c) Completar la siguiente frase como frase en inglés: “Un número real no\(\alpha\) es el límite superior mínimo para\(A\) siempre que...”
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