5.S: Teoría de Conjuntos (Resumen)

Definiciones importantes

• Conjuntos iguales, página 55
• Subconjunto, página 55
• Subconjunto apropiado, página 218
• Power set, página 222
• Cardinalidad de un conjunto finito, página 223
• Intersección de dos conjuntos, página 216
• Unión de dos juegos, página 216
• Establecer diferencia, página 216
• Complemento de un conjunto, página 216
• Conjuntos disjuntos, página 236
• Producto cartesiano de dos juegos, páginas 256
• Par ordenado, página 256
• Unión sobre una familia de conjuntos, página 265
• Intersección sobre una familia de conjuntos, página 265
• Conjunto de indexación, página 268
• Familia de conjuntos indexados, página 268
• Unión sobre una familia indexada de conjuntos, página 269
• Intersección sobre una familia indizada de conjuntos, página 269
• Familia disjunta de conjuntos por pares, página 272

Teoremas y Resultados Importantes sobre Conjuntos

• Teorema 5.5. Dejar\(n\) ser un entero no negativo y dejar\(A\) ser un subconjunto de algún conjunto universal. Si\(A\) es un conjunto finito con\(n\) elementos, entonces\(A\) tiene\(2^n\) subconjuntos. Es decir, si\(|A| = n\), entonces\(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\).
• Teorema 5.18. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Entonces se mantienen todas las siguientes igualdades.
  
  Propiedades del Conjunto Vacío\(A \cap \emptyset = \emptyset\)\(A \cap U = A\)
  y del Conjunto Universal Leyes\(A \cup \emptyset = A\)\(A \cup U = U\)
  
  Idempotentes \(A \cap A = A\)\(A \cup A = A\)
  
  Leyes Conmutativas. \(A \cap B = B \cap A\)\(A \cup B = B \cup A\)
  
  Leyes Asociativas\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
  \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)
  
  Distributivas Leyes\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
  \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
• Teorema 5.20. Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Entonces son ciertas las siguientes:
  \[\begin{array} {ll} {\text{Basic Properties}} & & {(A^c)^c = A} \\ {} & & {A - B = A \cap B^c} \\ {\text{Empty Set, Universal Set}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & & {A - \emptyset = A \text{ and } A - U = \emptyset} \\ {} & & {\emptyset ^c = U \text{ and } U^c = \emptyset} \\ {\text{De Morgan's Laws}} & & {(A \cap B)^c = A^c \cup B^c} \\ {} & & {(A \cup B)^c = A^c \cap B^c} \\ {\text{Subsets and Complements}} & & {A \subseteq B \text{ if and only if } B^c \subseteq A^c.} \end{array}\]
• Teorema 5.25. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser conjuntos. Después
  
  1. \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\)
  2. \(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\)
  3. \((A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)\)
  4. \((A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)\)
  5. \(A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)\)
  6. \((A - B) \times C = (A \times C) - (B \times C)\)
  7. Si\(T \subseteq A\), entonces\(T \times B \subseteq A \times B\).
  8. Si\(T \subseteq B\), entonces\(A \times Y \subseteq A \times B\).
• Teorema 5.30. Dejar\(\Lambda\) ser un conjunto de indexación no vacío y dejar\(\mathcal{A} = \{A_{\alpha}\ |\ \alpha \in \Lambda\}\) ser una familia de conjuntos indexados. Después
  
  1. Para cada uno\(\beta \in \Lambda\),\(\bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}\).
  2. Para cada uno\(\beta \in \Lambda\),\(A_{\beta} \subseteq \bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha}\).
  3. \((\bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha})^c = \bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha} ^c\)
  4. \((\bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha})^c = \bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha} ^c\)
  
  Las partes (3) y (4) se conocen como Leyes de De Morgan.
• Teorema 5.31. Dejar\(\Lambda\) ser un conjunto de indexación no vacío, dejar\(\mathcal{A} = \{A_{\alpha}\ |\ \alpha \in \Lambda\}\) ser una familia indexada de conjuntos, y dejar\(B\) ser un conjunto. Después
  
  1. \(B \cap (\bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha}) = \bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{} (B \cap A_{\alpha})\), y
  2. \(B \cup (\bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha}) = \bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} (B \cup A_{\alpha})\),

Método de prueba importante

El método Choose-an-Element
El método de elegir un elemento se utiliza frecuentemente cuando encontramos un cuantificador universal en una declaración en el proceso hacia atrás de una prueba. Esta declaración a menudo tiene la forma

Por cada elemento con una propiedad dada, algo sucede.

En el proceso adelante de la prueba, entonces elegimos un elemento arbitrario con la propiedad dada.

Siempre que elegimos un elemento arbitrario con una propiedad dada, no estamos seleccionando un elemento específico. Más bien, lo único que podemos suponer del elemento es la propiedad dada.

Para mayor información, consulte la página 232.