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# 5.S: Teoría de Conjuntos (Resumen)

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Definiciones importantes

• Conjuntos iguales, página 55
• Subconjunto, página 55
• Power set, página 222
• Cardinalidad de un conjunto finito, página 223
• Intersección de dos conjuntos, página 216
• Unión de dos juegos, página 216
• Establecer diferencia, página 216
• Complemento de un conjunto, página 216
• Conjuntos disjuntos, página 236
• Producto cartesiano de dos juegos, páginas 256
• Unión sobre una familia de conjuntos, página 265
• Intersección sobre una familia de conjuntos, página 265
• Conjunto de indexación, página 268
• Familia de conjuntos indexados, página 268
• Unión sobre una familia indexada de conjuntos, página 269
• Intersección sobre una familia indizada de conjuntos, página 269
• Familia disjunta de conjuntos por pares, página 272

Teoremas y Resultados Importantes sobre Conjuntos

• Teorema 5.5. Dejar$$n$$ ser un entero no negativo y dejar$$A$$ ser un subconjunto de algún conjunto universal. Si$$A$$ es un conjunto finito con$$n$$ elementos, entonces$$A$$ tiene$$2^n$$ subconjuntos. Es decir, si$$|A| = n$$, entonces$$|\mathcal{P}(A)| = 2^n$$.
• Teorema 5.18. Dejar$$A$$,$$B$$, y$$C$$ ser subconjuntos de algún conjunto universal$$U$$. Entonces se mantienen todas las siguientes igualdades.

Propiedades del Conjunto Vacío$$A \cap \emptyset = \emptyset$$$$A \cap U = A$$
y del Conjunto Universal Leyes$$A \cup \emptyset = A$$$$A \cup U = U$$

Idempotentes $$A \cap A = A$$$$A \cup A = A$$

Leyes Conmutativas. $$A \cap B = B \cap A$$$$A \cup B = B \cup A$$

Leyes Asociativas$$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$$
$$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$$

Distributivas Leyes$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$
$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$
• Teorema 5.20. Dejar$$A$$ y$$B$$ ser subconjuntos de algún conjunto universal$$U$$. Entonces son ciertas las siguientes:
$\begin{array} {ll} {\text{Basic Properties}} & & {(A^c)^c = A} \\ {} & & {A - B = A \cap B^c} \\ {\text{Empty Set, Universal Set}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & & {A - \emptyset = A \text{ and } A - U = \emptyset} \\ {} & & {\emptyset ^c = U \text{ and } U^c = \emptyset} \\ {\text{De Morgan's Laws}} & & {(A \cap B)^c = A^c \cup B^c} \\ {} & & {(A \cup B)^c = A^c \cap B^c} \\ {\text{Subsets and Complements}} & & {A \subseteq B \text{ if and only if } B^c \subseteq A^c.} \end{array}$
• Teorema 5.25. Dejar$$A$$,$$B$$, y$$C$$ ser conjuntos. Después

1. $$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$$
2. $$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$$
3. $$(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$$
4. $$(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$$
5. $$A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)$$
6. $$(A - B) \times C = (A \times C) - (B \times C)$$
7. Si$$T \subseteq A$$, entonces$$T \times B \subseteq A \times B$$.
8. Si$$T \subseteq B$$, entonces$$A \times Y \subseteq A \times B$$.
• Teorema 5.30. Dejar$$\Lambda$$ ser un conjunto de indexación no vacío y dejar$$\mathcal{A} = \{A_{\alpha}\ |\ \alpha \in \Lambda\}$$ ser una familia de conjuntos indexados. Después

1. Para cada uno$$\beta \in \Lambda$$,$$\bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}$$.
2. Para cada uno$$\beta \in \Lambda$$,$$A_{\beta} \subseteq \bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha}$$.
3. $$(\bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha})^c = \bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha} ^c$$
4. $$(\bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha})^c = \bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha} ^c$$

Las partes (3) y (4) se conocen como Leyes de De Morgan.
• Teorema 5.31. Dejar$$\Lambda$$ ser un conjunto de indexación no vacío, dejar$$\mathcal{A} = \{A_{\alpha}\ |\ \alpha \in \Lambda\}$$ ser una familia indexada de conjuntos, y dejar$$B$$ ser un conjunto. Después

1. $$B \cap (\bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha}) = \bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{} (B \cap A_{\alpha})$$, y
2. $$B \cup (\bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} A_{\alpha}) = \bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{} (B \cup A_{\alpha})$$,

Método de prueba importante

El método Choose-an-Element
El método
de elegir un elemento se utiliza frecuentemente cuando encontramos un cuantificador universal en una declaración en el proceso hacia atrás de una prueba. Esta declaración a menudo tiene la forma