6.2: Más sobre Funciones
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En la Sección 6.1, hemos visto muchos ejemplos de funciones. También hemos visto diversas formas de representar funciones y transmitir información sobre ellas. Por ejemplo, hemos visto que la regla para determinar las salidas de una función puede estar dada por una fórmula, una gráfica o una tabla de valores. También hemos visto que a veces es más conveniente dar una descripción verbal de la regla para una función. En los casos en que el dominio y el codominio son conjuntos pequeños y finitos, utilizamos un diagrama de flechas para transmitir información sobre cómo se asocian las entradas y salidas sin indicar explícitamente una regla. En esta sección, estudiaremos algunos tipos de funciones, algunas de las cuales quizás no hayamos encontrado en cursos previos de matemáticas.
Un polígono es una figura plana cerrada formada por la unión de tres o más líneas rectas. Por ejemplo, un triángulo es un polígono que tiene tres lados; un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados e incluye cuadrados, rectángulos y paralelogramos; un pentágono es un polígono que tiene cinco lados; y un octágono es un polígono que tiene ocho lados. Un polígono r egular es aquel que tiene lados de igual longitud y ángulos interiores congruentes.
Una diagonal de un polígono es un segmento de línea que conecta dos vértices no adyacentes del polígono. En esta actividad, asumiremos que todos los polígonos son polígonos convexos de manera que, a excepción de los vértices, cada diagonal se encuentra dentro del polígono. Por ejemplo, un triángulo (polígono de 3 lados) no tiene diagonales y un rectángulo tiene dos diagonales.
- ¿Cuántas diagonales tiene algún cuadrilátero (polígono de 4 lados)?
- Vamos\(D = \mathbb{N} - \{1, 2\}\). Definir\(d: D \to \mathbb{N} \cup \{0\}\) así que\(d(n)\) es el número de diagonales de un polígono convexo con\(n\) lados. Determinar los valores de\(d(3)\)\(d(4)\),\(d(5)\),\(d(6)\),\(d(7)\), y\(d8)\). Organizar los resultados en forma de una tabla de valores para la función\(d\).
- Dejar\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ser definido por\[f(x) = \dfrac{x(x - 3)}{2}.\] Determinar los valores de\(f(0)\)\(f(1)\),\(f(2)\),\(f(3)\),\(f(4)\),\(f(5)\),\(f(6)\),\(f(7)\),\(f(8)\), y\(f9)\). Organizar los resultados en forma de una tabla de valores para la función\(f\).
- Compara las funciones en Partes (2) y (3). ¿Cuáles son las similitudes entre las dos funciones y cuáles son las diferencias? ¿Estas dos funciones deben considerarse funciones iguales? Explique.
En el cálculo aprendimos a encontrar las derivadas de ciertas funciones. Por ejemplo, si\(f(x) = x^2(sinx)\), entonces podemos usar la regla del producto para obtener
\[f\prime (x) = 2x(\sin x) + x^2 (\cos x).\]
- Si es posible, encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones:
(a)\(f(x) = x^4 - 5x^3 + 3x - 7\)
(b)\(g(x) = \cos(5x)\)
(c)\(h(x) = \dfrac{\sin x}{x}\)
(d)\(k(x) = e^{-x^2}\)
(e)\(r(x) = |x|\) - ¿Es posible pensar en la diferenciación como una función? Explique. Si es así, ¿cuál sería el dominio de la función, cuál podría ser el codominio de la función, y cuál es la regla para computar el elemento del codominio (salida) que está asociado a un elemento dado del dominio (entrada)?
Funciones que involucran congruencias
Teorema 3.31 y Corolario 3.32 establecen que un entero es congruente (mod\(n\)) a su resto cuando se divide por\(n\). (Recordemos que siempre nos referimos al resto garantizado por el Algoritmo de División, que es el resto menos no negativo). Ya que este resto es único y dado que los únicos restos posibles para la división por\(n\) son 0, 1, 2\(n - 1\),..., entonces sabemos que cada entero es congruente, módulo\(n\), a precisamente uno de los enteros 0, 1, 2,...,\(n - 1\). Entonces, para cada número natural\(n\), definiremos un nuevo conjunto de la\(\mathbb{Z}_n\) siguiente manera:
\(\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, ..., n - 1\}.\)
Por ejemplo,\(\mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\}\) y\(\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Ahora exploraremos un método para definir una función de\(\mathbb{Z}_6\) a\(\mathbb{Z}_6\).
Para cada uno\(x \in \mathbb{Z}_6\), podemos calcular\(x^2 + 3\) y luego determinar el valor de\(r\) in\(\mathbb{Z}_6\) para que
\((x^2 + 3) \equiv r\)(mod 6).
Ya que\(r\) debe estar en\(\mathbb{Z}_6\), debemos tener\(0 \le r < 6\). Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
| x | \(r\), donde\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) | x | \(r\), donde\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \ (r\), donde\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="vertical-align:middle;" >3 | 3 | \ (r\), donde\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="vertical-align:middle;" >0 |
| 1 | \ (r\), donde\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="vertical-align:middle;" >4 | 4 | \ (r\), donde\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="vertical-align:middle;" >1 |
| 2 | \ (r\), donde\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="vertical-align:middle;" >1 | 5 | \ (r\), donde\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="vertical-align:middle;" >4 |
El valor de\(x\) en la primera columna se puede considerar como la entrada para una función con el valor de\(r\) en la segunda columna como la salida correspondiente. Cada entrada produce exactamente una salida. Así podríamos escribir
\(f: \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6\)por\(f(x) = r\) donde\((x^2 + 3) \equiv r\) (mod 6).
Esta descripción y la notación para las salidas de esta función son bastante engorrosas. Entonces usaremos una notación más concisa. Nosotros, en cambio, escribiremos
Dejar\(f: \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6\) por\(f(x) = (x^2 + 3)\) (mod 6).
Vamos\(\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Definir
\(f: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\)por\(f(x) = x^4\) (mod 5), para cada uno\(x \in \mathbb{Z}_5\);
\(g: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\)por\(g(x) = x^5\) (mod 5), para cada uno\(x \in \mathbb{Z}_5\);
- Determine\(f(0)\)\(f(1)\),\(f(2)\),\(f(3)\), y\(f(4)\) y representar la función\(f\) con un diagrama de flechas.
- Determine\(g(0)\)\(g(1)\),\(g(2)\),\(g(3)\), y\(g(4)\) y representar la función\(g\) con un diagrama de flechas.
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Igualdad de funciones
La idea de igualdad de funciones ha estado en el trasfondo de nuestra discusión de funciones, y ahora es el momento de discutirla explícitamente. El trabajo preliminar para esta discusión fue Actividad Previa\(\PageIndex{1}\), en la que\(D = \mathbb{N} - \{1, 2\}\) y hubo dos funciones:
- \(d: D \to \mathbb{N} \cup \{0\}\), donde\(d(n)\) es el número de diagonales de un polígono convexo con\(n\) lados
- \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), donde\(f(x) = \dfrac{x(x - 3)}{2}\), por cada número real\(x\).
En Preview Activity\(\PageIndex{1}\), vimos que estas dos funciones producían las mismas salidas para ciertos valores de la entrada (variable independiente). Por ejemplo, podemos verificar que
\(d(3) = f(3) = 0\),\(d(4) = f(4) = 2\),
\(d(5) = f(5) = 5\), y\(d(6) = f(6) = 9\).
Aunque las funciones producen las mismas salidas para algunas entradas, estas son dos funciones diferentes.Por ejemplo, las salidas de la función\(f\) están determinadas por una fórmula, y las salidas de la función\(d\) están determinadas por una descripción verbal. Esto no es suficiente, sin embargo, para decir que se trata de dos funciones distintas. Con base en la evidencia de la Actividad de Vista Previa\(\PageIndex{1}\), podríamos hacer las siguientes conjeturas:
Para\(n \ge 3\),\(d(n) = \dfrac{n(n - 3)}{2}\).
A pesar de que no hemos probado esta afirmación, es una afirmación verdadera. (Ver Ejercicio 6.) Sin embargo, sabemos que la función\(d\) y la función no\(f\) son la misma función. Por ejemplo,
- \(f(0) = 0\), pero 0 no está en el dominio de\(d\);
- \(f(\pi) = \dfrac{\pi (\pi - 3)}{2}\), pero no\(\pi\) está en el dominio de\(d\).
Vemos así la importancia de considerar el dominio y el codominio de cada una de las dos funciones para determinar si las dos funciones son iguales o no. Esto motiva la siguiente definición.
Dos funciones\(f\) y\(g\) son iguales siempre que
- El dominio de\(f\) es igual al dominio de\(g\). Eso es dom (\(f\)) = dom (\(g\))
- El codominio de\(f\) es igual al codominio de\(g\). Eso es codom (\(f\)) = codom (\(g\))
- Para cada uno\(x\) en el dominio de\(f\) (que equivale al dominio de\(g\)),\(f(x) = g(x)\).
Dejar\(A\) ser un conjunto no vacío. La función de identidad en el conjunto\(A\), denotada por\(I_{A}\), es la función\(I_{A}: A \to A\) definida por\(I_{A}(x) = x\) para cada\(x\) entrada\(A\). Es decir, para el mapa de identidad, la salida siempre es igual a la entrada.
Para esta comprobación de progreso, utilizaremos las funciones\(f\) y\(g\) desde la Comprobación de progreso 6.5. La función de identidad en el conjunto\(\mathbb{Z}_5\) es
\(I_{\mathbb{Z}_5}: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\)por\(I_{\mathbb{Z}_5} (x) = x\) (mod 5), para cada uno\(x \in \mathbb{Z}_5\).
¿La función de identidad es\(\mathbb{Z}_5\) igual a alguna de las funciones\(f\) o a\(g\) partir de la comprobación de progreso 6.5? Explique.
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Procesos matemáticos como funciones
Ciertos procesos matemáticos pueden ser considerados como funciones. En Preview Activity\(\PageIndex{2}\), revisamos cómo encontrar las derivadas de ciertas funciones, y consideramos si podíamos o no pensar en este proceso de diferenciación como una función. Si usamos una función diferenciable como entrada y consideramos que la derivada de esa función es la salida, entonces tenemos los ingredientes de una función. Los sistemas de álgebra computacional como Maple y Mathematica tienen esta función derivada como uno de sus operadores predefinidos.
A continuación se presenta un código Maple (usando la versión Classic Hoja de trabajo de Maple) que se puede utilizar para encontrar la función derivada de la función dada por\(f(x) = x^2(sin x)\). Las líneas que comienzan con el prompt Maple, [>, son las líneas escritas por el usuario. Las líneas centradas que siguen a estas muestran la salida resultante de Maple. La primera línea define la función\(f\), y la segunda línea usa la función derivada\(D\) para producir la derivada de la función\(f\).
[> f: = x\(\to\) x^2\(\ast\) sin (x);
\(f := x \to x^2 \sin(x)\)
[> f1: = D (f);
\(f1 := x \to 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\)
Debemos tener cuidado a la hora de determinar el dominio para la función derivada ya que existen funciones que no son diferenciables. Para que las cosas sean razonablemente fáciles, dejaremos\(F\) ser el conjunto de todas las funciones reales que sean diferenciables y llamaremos a esto el dominio de la función derivada\(D\). Utilizaremos el conjunto\(T\) de todas las funciones reales como el codominio. Entonces nuestra función\(D\) es
\(D: F \to T\)por\(D(f) = f\prime\).
Dejado\(A = \{a_1, a_2, ... a_n\}\) ser un conjunto finito cuyos elementos son los números reales\(a_1, a_2, ... a_n\). Definimos el promedio del conjunto\(A\) para que sea el número real\(\bar{A}\), donde
\(\bar{A} = \dfrac{a_1, a_2, ... a_n}{n}.\)
- Encuentra el promedio de\(A = \{3, 7, -1, 5\}\).
- Encuentra el promedio de\(B = \{7, -2, 3.8, 4.2, 7.1\}\).
- Encuentra el promedio de\(C = \{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi - \sqrt{3}\}\).
- Ahora vamos a\(\mathcal{F}(\mathbb{R})\) ser el conjunto de todos los subconjuntos finitos de\(\mathbb{R}\). Es decir, un subconjunto\(A\) de\(\mathbb{R}\) está en\(\mathcal{F}(\mathbb{R})\) si y solo si\(A\) contiene solo un número finito de elementos. Explique cuidadosamente cómo el proceso de encontrar el promedio de un subconjunto finito de\(\mathbb{R}\) puede considerarse como una función. Al hacer esto, asegúrese de especificar el dominio de la función y el codominio de la función.
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Secuencias como funciones
Una secuencia puede considerarse como una lista infinita de objetos que están indexados (subcriptados) por los números naturales (o algún subconjunto infinito de\(\mathbb{N} \cup \{0\}\)). Usando esta idea, a menudo escribimos una secuencia de la siguiente forma:
\(a_1, a_2, ..., a_n, ....\)
Para acortar nuestra notación, a menudo usaremos la notación\(\langle a_n \rangle\) para representar esta secuencia. A veces se puede usar una fórmula para representar los términos de una secuencia, y podríamos incluir esta fórmula como el término\(n\) th en la lista para una secuencia como en el siguiente ejemplo:
\(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, ..., \dfrac{1}{n}, ....\)
En este caso, el término\(n\) th de la secuencia es\(\dfrac{1}{n}\). Si conocemos una fórmula para el término\(n\) th, a menudo usamos esta fórmula para representar la secuencia. Por ejemplo, podríamos decir
Definir la secuencia\(\langle a_n \rangle\) por\(a_n = \dfrac{1}{n}\) para cada uno\(n \in \mathbb{N}\).
Esto demuestra que esta secuencia es una función con dominio\(\mathbb{N}\). Si se entiende que el dominio es\(\mathbb{N}\), podríamos referirnos a esto como la secuencia\(\langle \dfrac{1}{n} \rangle\). Dado un elemento del dominio, podemos considerar\(a_n\) que es la salida. En este caso, hemos utilizado la notación de subíndices para indicar la salida en lugar de la notación de función habitual. Podríamos escribir con la misma facilidad
\(a(n) = \dfrac{1}{n}\)en lugar de\(a_n = \dfrac{1}{n}\).
Hacemos la siguiente definición formal.
Una secuencia (infinita) es una función cuyo dominio es\(\mathbb{N}\) o algún subconjunto infinito de\(\mathbb{N} \cup \{0\}\).
Encuentra los términos sexto y décimo de cada una de las siguientes secuencias:
- \(\dfrac{1}{3}\),\(\dfrac{1}{6}\),\(\dfrac{1}{9}\),\(\dfrac{1}{12}\),...
- \(\langle a_n \rangle\), donde\(a_n = \dfrac{1}{n^2}\) para cada\(n \in \mathbb{N}\)
- \(\langle (-1)^n \rangle\)
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Funciones de dos variables
En la Sección 5.4 aprendimos a formar el producto cartesiano de dos conjuntos. Recordemos que un producto cartesiano de dos juegos es un conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, el conjunto\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) es el conjunto de todos los pares ordenados, donde cada coordenada de un par ordenado es un entero. Dado que un producto cartesiano es un conjunto, podría usarse como dominio o codominio de una función. Por ejemplo, podríamos usar\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) como dominio de una función de la siguiente manera:
Dejar\(f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) ser definido por\(f(m,n) = 2m + n\).
- Técnicamente, un elemento de\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) es un par ordenado, y así debemos escribir\(f((m,n))\) para el out put de la función\(f\) cuando la entrada es el par ordenado\((m, n)\). Sin embargo, los paréntesis dobles parecen innecesarios en este contexto y no debería haber confusión si escribimos\(f(m,n)\) para la salida de la función\(f\) cuando la entrada es\((m, n)\). Entonces, por ejemplo, simplemente escribimos
\[\begin{array} {rcl} {f(3,2)} &= & {2 \cdot 3 + 2 = 8,\text{ and}} \\ {f(-4, 5)} &= & {2 \cdot (-4) + 5 = -3.} \end{array}\] - Dado que el dominio de esta función es\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) y cada elemento de\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) es un par ordenado de enteros, frecuentemente llamamos a este tipo de función una función de dos variables.
Encontrar las preimágenes de un elemento del codominio para la función\(f\),\(\mathbb{Z}\), suele implicar resolver una ecuación con dos variables. Por ejemplo, para encontrar las preimágenes de 0 2 Z, necesitamos encontrar todos los pares ordenados\((m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) tal que\(f(m,n) = 0\). Esto significa que debemos encontrar todos los pares ordenados de\((m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) tal manera que
\(2m + n = 0\)
Tres de estos pares ordenados son (0,0), (1, -2) y (-1, 2). De hecho, cada vez que elegimos un valor entero para\(m\), podemos encontrar un entero correspondiente\(n\) tal que\(2m + n = 0\). Esto significa que 0 tiene infinitamente muchas preimágenes, y puede ser difícil especificar el conjunto de todas las preimágenes de 0 usando el método roster. Una forma que se puede usar para especificar este conjunto es usar la notación del constructor de conjuntos y decir que el siguiente conjunto consiste en todas las preimágenes de 0:
\(\{(m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\ |\ 2m + n = 0\} = \{(m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\ |\ n = -2m\}.\)
La segunda formulación para este conjunto se obtuvo resolviendo la ecuación\(2m + n = 0\) para\(n\).
Dejar\(g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) ser definido por\(g(m,n) = m^2 - n\) para todos\((m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\).
- Determinar\(g(0, 3)\),\(g(3, -2)\),\(g(-3, -2)\), y\(g(7, -1)\).
- Determinar el conjunto de todas las preimágenes del entero 0 para la función\(g\). Escribe tu respuesta usando la notación set builder.
- Determinar el conjunto de todas las preimágenes del entero 5 para la función\(g\). Escribe tu respuesta usando la notación set builder.
- Responder
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- Vamos\(\mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Definir\(f: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\) por\(f(x) = x^2 + 4\) (mod 5) y definir\(g: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\) por\(g(x) = (x + 1)(x + 4)\) (mod 5).
(a) Calcular\(f(0)\)\(f(1)\),\(f(2)\),\(f(3)\), y\(f(4)\).
(b) Calcular\(g(0)\)\(g(1)\),\(g(2)\),\(g(3)\), y\(g(4)\).
c) ¿La función es\(f\) igual a la función\(g\)? Explique. - Vamos\(\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Definir\(f: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\) por\(f(x) = x^2 + 4\) (mod 5) y definir\(g: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\) por\(g(x) = (x + 1)(x + 4)\) (mod 5).
(a) Calcular\(f(0)\)\(f(1)\),\(f(2)\),\(f(3)\), y\(f(4)\).
(b) Calcular\(g(0)\)\(g(1)\),\(g(2)\),\(g(3)\), y\(g(4)\).
c) ¿La función es\(f\) igual a la función\(g\)? Explique. - Dejar\(f : (\mathbb{R} - \{0\}) \to \mathbb{R}\) pasar\(f(x) = \dfrac{x^3 + 5x}{x}\) y dejar\(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) pasar\(g(x) = x^2 + 5\).
(a) Calcular\(f(2)\),\(f(-2)\),\(f(3)\), y\(f(\sqrt{2})\).
(b) Calcular\(g(0)\)\(g(2)\),\(g(-2)\),\(g(3)\), y\(g(\sqrt{2})\).
c) ¿La función es\(f\) igual a la función\(g\)? Explique.
d) Ahora déjese\(h: (\mathbb{R} - \{0\}) \to \mathbb{R}\) pasar\(h(x) = x^2 + 5\). ¿La función es\(f\) igual a la función\(h\)? Explique. - Representar cada una de las siguientes secuencias como funciones. En cada caso, indique el dominio, el codominio y la regla para determinar las salidas de la función. Además, determine si alguna de las secuencias es igual.
a)\(1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{16}, ...\)
b) c\(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{27}, \dfrac{1}{81}, ...\)
) 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1,...
d) cos (0), cos (), cos (\(\pi\)), cos (\(2\pi\)), cos (\(3\pi\)), cos (\(4\pi\)),... - Dejar\(A\) y\(B\) ser dos conjuntos no vacíos. Hay dos funciones de proyección con dominio\(A \times B\), el producto cartesiano de\(A\) y\(B\). Una función de proyección mapeará un par ordenado a su primera coordenada, y la otra función de proyección mapeará el par ordenado a su segunda coordenada. Entonces definimos
\(p_1: A \times B \to A\) por\(p_1(a, b) = a\) para cada\((a, b) \in A \times B\); y
\(p_2: A \times B \to B\) por\(p_2(a, b) = a\) para cada\((a, b) \in A \times B\).
Dejar\(A = \{1, 2\}\) y dejar\(B = \{x, y, z\}\).
(a) Determinar las salidas para todas las entradas posibles para la función de proyección\(p_1: A \times B \to A\).
b) Determinar los resultados de todas las entradas posibles para la función de proyección\(p_2: A \times B \to B\).
c) ¿Cuál es el alcance de estas funciones de proyección?
d) ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? Explique.
Para todos\((m, n), (u, v) \in A \times B\), si\((m, n) \ne (u, v)\), entonces
\(p_1(m,n) \ne p_1(u,v)\). - Dejar\(D = \mathbb{N} - \{1, 2\}\) y definir\(d: D \to \mathbb{N} \cup \{0\}\) por\(d(n) =\) el número de diagonales de un polígono convexo con\(n\) lados. En Preview Activity\(\PageIndex{1}\), demostramos que para valores\(n\) de 3 a 8,
\[d(n) = \dfrac{n(n - 3)}{2}.\]
Usa inducción matemática para demostrarlo para todos\(n \in D\),
\[d(n) = \dfrac{n(n - 3)}{2}.\]
Pista: Para tener una idea de cómo manejar el paso inductivo, usa un pentágono. Primero, formar todas las diagonales que se puedan hacer a partir de cuatro de los vértices. Entonces considera cómo hacer nuevas diagonales cuando se usa el quinto vértice. Esto puede generar una idea de cómo proceder de un polígono con\(k\) lados a un polígono con\(k + 1\) lados. - Dejar\(f : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) ser definido por\(f(m,n) = m + 3n\).
a) Calcular\(f(-3,4)\) y\(f(-2, -7)\).
(b) Determinar el conjunto de todas las preimágenes de 4 mediante el uso de la notación set builder para describir el conjunto de todos los\((m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) tales que\(f(m,n) = 4\). - Dejar\(g : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) ser definido por\(g(m,n) = (2m, m - n)\).
a) Calcular\(g(3, 5)\) y\(g(-1, 4)\).
b) Determinar todas las preimágenes de .0; 0/. Es decir, encontrar todos\((m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) esos que\(g(m, n) = (0, 0)\).
(c) Determinar el conjunto de todas las preimágenes de (8, -3).
d) Determinar el conjunto de todas las preimágenes de (1, 1).
e) ¿Es verdadera o falsa la siguiente proposición? Justifica tu conclusión.
Para cada uno\((s, t) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\), existe\((m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) tal que\(g(m, n) = (s, t)\). - Una matriz de 2 por 2\(\mathbb{R}\) es una matriz rectangular de cuatro números reales dispuestos en dos filas y dos columnas. Normalmente escribimos esta matriz entre corchetes (o paréntesis) de la siguiente manera:
\ [A=\ left [{\ begin {array} {cc}
a & b\\
c & d\
\\ end {array}}\ right]
\]
donde\(a\), \(b\),\(c\) y\(d\) son números reales. El determinante de la matriz 2 por 2\(A\), denotado por det (\(A\)), se define como
det (\(A\)) =\(ad - bc\).
a) Calcular el determinante de cada una de las siguientes matrices:
\(\left [{\begin{array} {cc} 3 & 5 \\ 4 & 1\\ \end{array}} \right]\),\(\left [{\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 7\\ \end{array}} \right]\), y\(\left [{\begin{array} {cc} 3 & -2 \\ 5 & 0\\ \end{array}} \right]\).
(b) Dejar\(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ser el conjunto de todas las matrices 2 por 2 sobre\(\mathbb{R}\). El proceso matemático de encontrar el determinante de una matriz de 2 por 2 sobre\(\mathbb{R}\) puede pensarse como una función. Explique cuidadosamente cómo hacerlo, incluyendo una clara declaración del dominio y codominio de esta función. - Usando la notación del Ejercicio (9), deja que
\ [A=
\ left [{\ begin {array} {cc}
a & b\\
c & d\\
\ end {array}}\ right]
\]
sea una matriz de 2 por 2 sobre\(\mathbb{R}\). La transposición de la matriz\(A\), denotada por\(A^T\), es la matriz 2 por 2\(\mathbb{R}\) sobredefinida por
\ [A^T=
\ left [{\ begin {array} {cc}
a & c\\
b & d\\
\ end {array}}\ right]
\]
(a) Calcular la transposición de cada una de las siguientes matrices:
\(\left [{\begin{array} {cc} 3 & 5 \\ 4 & 1\\ \end{array}} \right]\),\(\left [{\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 7\\ \end{array}} \right]\), y\(\left [{\begin{array} {cc} 3 & -2 \\ 5 & 0\\ \end{array}} \right]\).
(b) Dejar\(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ser el conjunto de todas las matrices 2 por 2 sobre\(\mathbb{R}\). El proceso matemático de encontrar el determinante de una matriz de 2 por 2 sobre\(\mathbb{R}\) puede pensarse como una función. Explique cuidadosamente cómo hacerlo, incluyendo una clara declaración del dominio y codominio de esta función.
Exploraciones y actividades - La integración como una función. En cálculo, aprendimos que si f es una función real que es continua en el intervalo cerrado [\(a\),\(b\)], entonces la integral definida\(\int_a^b f(x) dx\) es un número real. De hecho, una forma del Teorema Fundamental del Cálculo establece que
\[\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a),\]
dónde\(F\) está cualquier antiderivado de\(f\), es decir, dónde\(F\prime = f\).
(a) Dejar [\(a\),\(b\)] ser un intervalo cerrado de números reales y dejar\(C[a, b]\) ser el conjunto de todas las funciones reales que son continuas en [\(a\),\(b\)]. Es decir,
\[C[a, b] = \{f: [a, b] \to \mathbb{R}\ |\ f \text{ is continuous on } [a, b]\}.\]
i. Explicar cómo se\(\int_a^b f(x) dx\) puede utilizar la integral definida para definir una función\(I\) de\(C[a, b]\) a\(\mathbb{R}\).
ii. Vamos\([a, b] = [0, 2]\). Calcular\(I(f)\), dónde\(f(x) = x^2 + 1\).
iii. Vamos\([a, b] = [0, 2]\). Calcular\(I(g)\), dónde\(g(x) = sin(\pi x)\).
En el cálculo, también aprendimos a determinar la integral indefinida\(\int f(x) dx\) de una función continua\(f\).
b) Dejar\(f(x) = x^2 + 1\) y\(g(x) = cos(2x)\). Determinar\(\int f(x) dx\) y\(\int g(x) dx\).
(c) Dejar\(f\) ser una función continua en el intervalo cerrado [0, 1] y dejar\(T\) ser el conjunto de todas las funciones reales. ¿Se puede utilizar el proceso de determinación de la integral indefinida de una función continua para definir una función de\(C[0, 1]\) a\(T\)? Explique.
(d) Otra forma del Teorema Fundamental del Cálculo establece que si\(f\) es continuo en el intervalo [\(a\),\(b\)] y si
\[g(x) = \int_a^x f(t) dt\]
Para cada uno\(x\) en [\(a\),\(b\)], entonces\(g\prime (x) = f(x)\). Es decir,\(g\) es un antiderivado de\(f\). Explicar cómo este t heorem se puede utilizar para definir una función de\(C[a, b]\) a\(T\), donde la salida de la función es una antiderivada de la entrada. (Recordemos que\(T\) es el conjunto de todas las funciones reales.)
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