Saltar al contenido principal

# 8.S: Temas en Teoría de Números (Resumen)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Definiciones importantes

• Divisor común más grande de dos enteros, página 414
• Combinación lineal de dos enteros, página 423
• Número primo, página 426
• Número compuesto, página 426
• Desfactorización Prime, página 427
• Enteros relativamente primos, página 428
• Ecuación diofantina, página 441
• Ecuación de diofantina lineal en dos variables, página 441

Teoremas y Resultados Importantes sobre Relaciones, Relaciones de Equivalencia y Clases de Equivalencia

• Teorema 8.3. Dejar$$a$$ y$$b$$ ser enteros con$$a \ne 0$$ y$$b > 0$$. Entonces gcd ($$a, b$$) es el único número natural$$d$$ tal que

(a)$$d$$ divide$$a$$,
(b)$$d$$ divide$$b$$, y
(c) si$$k$$ es un número entero que divide ambos$$a$$ y$$b$$, luego se$$k$$ divide$$d$$.
• Teorema 8.8. Dejar$$a$$ y$$b$$ ser enteros, no ambos 0. Entonces gcd ($$a, b$$) se puede escribir como una combinación lineal de$$a$$ y$$b$$. Es decir, existen enteros$$u$$ y$$v$$ tal que gcd ($$a, b$$)$$= au + bv$$.
• Teorema 8.9.
1. El divisor más común,$$d$$, es una combinación lineal de$$a$$ y$$b$$. Es decir, existen enteros$$m$$ y$$n$$ tal que$$d = am + bn$$.
2. El divisor más común,$$d$$, divide cada combinación lineal de$$a$$ y$$b$$. Es decir, para todos$$x, y \in \mathbb{Z}$$,$$d\ |\ (ax + by)$$.
3. El divisor más común,$$d$$, es el número positivo más pequeño que es una combinación lineal de$$a$$ y$$b$$.
• Teorema 8.11. Dejar$$a$$ y$$b$$ ser enteros distintos de cero, y dejar$$p$$ ser un número primo.
1. Si$$a$$ y$$b$$ son relativamente primos, entonces existen enteros m y n tales que$$am + bn = 1$$. Es decir, 1 se puede escribir como combinación lineal de$$a$$ y$$b$$.
2. Si$$p\ |\ a$$, entonces$$\text{gcd}(a, p) = p$$.
3. Si$$p$$ no divide$$a$$, entonces$$\text{gcd}(a, p) = 1$$.
• Teorema 8.12 Let$$a$$$$b$$,, y$$c$$ ser enteros. Si a y b son relativamente primos y$$a\ |\ (bc)$$, entonces$$a\ |\ c$$.
• Corolario8.14
1. Dejar$$a, b \in \mathbb{Z}$$, y dejar$$p$$ ser un número primo. Si$$p\ |\ (ab)$$, entonces$$p\ |\ a$$ o$$p\ |\ b$$.
2. Dejar$$p$$ ser un número primo, dejar$$n \in \mathbb{N}$$, y dejar$$a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{Z}$$. Si$$p\ |\ (a_{1}a_{2} \cdot\cdot\cdot a_{n})$$, entonces existe un número natural$$k$$ con$$1 \le k \le n$$ tal que$$p\ |\ a_k$$.
• Teorema 8.15, El teorema fundamental de la aritmética
1. Cada número natural mayor que 1 es un número primo o es un producto de números primos.
2. Déjalo$$n \in \mathbb{N}$$ con$$n > 1$$. Supongamos que
$n = p_{1}p_{2} \cdot\cdot\cdot p_{r} \text{ and that } n = q_{1}q_{2} \cdot\cdot\cdot q_{s}.$

donde$$p_{1}p_{2} \cdot\cdot\cdot p_{r}$$ y$$q_{1}q_{2} \cdot\cdot\cdot q_{s}$$ son primos con$$p_1 \le p_2 \le \cdot\cdot\cdot p_r$$ y$$q_1 \le q_2 \le \cdot\cdot\cdot \le q_s$$. Entonces$$r = s$$, y para cada uno$$j$$ de 1 a$$r$$,$$p_j = q_j$$.

• Teorema 8.16. Hay infinitamente muchos números primos.
• Teorema 8.22. Que a, b y c sean enteros con$$a \ne 0$$ y$$b \ne 0$$, y let$$d = \text{gcd}(a, b)$$.

1. Si$$d$$ no divide$$c$$, entonces la ecuación lineal de Diofantina no$$ax + by = c$$ tiene solución.

2. Si se$$d$$ divide$$c$$, entonces la ecuación lineal de Diofantina$$ax + by = c$$ tiene infinitamente muchas soluciones. Además, si ($$x_0, y_0$$) es una solución particular de esta ecuación, entonces todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por

$x = x_0 + \dfrac{b}{d} k\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ y = y_0 - \dfrac{a}{d} k.$

donde$$k \in \mathbb{Z}$$.

• Corolario8.23. Dejar$$a$$,$$b$$, y$$c$$ ser enteros con$$a \ne 0$$ y$$b \ne 0$$. Si$$a$$ y$$b$$ son relativamente primos, entonces la ecuación lineal de Diofantina$$ax + by = c$$ tiene infinitamente muchas soluciones. Además, si$$x_0$$,$$y_0$$ es una solución particular de esta ecuación, entonces todas las soluciones de la ecuación están dadas por

$x = x_0 + bk\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ y = y_0 - ak,$

donde$$k \in \mathbb{Z}$$.

This page titled 8.S: Temas en Teoría de Números (Resumen) is shared under a CC BY-NC-SA 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Ted Sundstrom (ScholarWorks @Grand Valley State University) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.