8.S: Temas en Teoría de Números (Resumen)

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Definiciones importantes

Divisor común más grande de dos enteros, página 414
Combinación lineal de dos enteros, página 423
Número primo, página 426
Número compuesto, página 426
Desfactorización Prime, página 427
Enteros relativamente primos, página 428
Ecuación diofantina, página 441
Ecuación de diofantina lineal en dos variables, página 441

Teoremas y Resultados Importantes sobre Relaciones, Relaciones de Equivalencia y Clases de Equivalencia

Teorema 8.3. Dejar$a$ y$b$ ser enteros con$a \ne 0$ y$b > 0$. Entonces gcd ($a, b$) es el único número natural$d$ tal que

(a)$d$ divide$a$,
(b)$d$ divide$b$, y
(c) si$k$ es un número entero que divide ambos$a$ y$b$, luego se$k$ divide$d$.
Teorema 8.8. Dejar$a$ y$b$ ser enteros, no ambos 0. Entonces gcd ($a, b$) se puede escribir como una combinación lineal de$a$ y$b$. Es decir, existen enteros$u$ y$v$ tal que gcd ($a, b$)$= au + bv$.
Teorema 8.9.
1. El divisor más común,$d$, es una combinación lineal de$a$ y$b$. Es decir, existen enteros$m$ y$n$ tal que$d = am + bn$.
2. El divisor más común,$d$, divide cada combinación lineal de$a$ y$b$. Es decir, para todos$x, y \in \mathbb{Z}$,$d\ |\ (ax + by)$.
3. El divisor más común,$d$, es el número positivo más pequeño que es una combinación lineal de$a$ y$b$.

Teorema 8.11. Dejar$a$ y$b$ ser enteros distintos de cero, y dejar$p$ ser un número primo.
1. Si$a$ y$b$ son relativamente primos, entonces existen enteros m y n tales que$am + bn = 1$. Es decir, 1 se puede escribir como combinación lineal de$a$ y$b$.
2. Si$p\ |\ a$, entonces$\text{gcd}(a, p) = p$.
3. Si$p$ no divide$a$, entonces$\text{gcd}(a, p) = 1$.
Teorema 8.12 Let$a$$b$,, y$c$ ser enteros. Si a y b son relativamente primos y$a\ |\ (bc)$, entonces$a\ |\ c$.
Corolario8.14
1. Dejar$a, b \in \mathbb{Z}$, y dejar$p$ ser un número primo. Si$p\ |\ (ab)$, entonces$p\ |\ a$ o$p\ |\ b$.
2. Dejar$p$ ser un número primo, dejar$n \in \mathbb{N}$, y dejar$a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{Z}$. Si$p\ |\ (a_{1}a_{2} \cdot\cdot\cdot a_{n})$, entonces existe un número natural$k$ con$1 \le k \le n$ tal que$p\ |\ a_k$.
Teorema 8.15, El teorema fundamental de la aritmética
1. Cada número natural mayor que 1 es un número primo o es un producto de números primos.
2. Déjalo$n \in \mathbb{N}$ con$n > 1$. Supongamos que
  \[n = p_{1}p_{2} \cdot\cdot\cdot p_{r} \text{ and that } n = q_{1}q_{2} \cdot\cdot\cdot q_{s}.\]
  donde$p_{1}p_{2} \cdot\cdot\cdot p_{r}$ y$q_{1}q_{2} \cdot\cdot\cdot q_{s}$ son primos con$p_1 \le p_2 \le \cdot\cdot\cdot p_r$ y$q_1 \le q_2 \le \cdot\cdot\cdot \le q_s$. Entonces$r = s$, y para cada uno$j$ de 1 a$r$,$p_j = q_j$.
Teorema 8.16. Hay infinitamente muchos números primos.
Teorema 8.22. Que a, b y c sean enteros con$a \ne 0$ y$b \ne 0$, y let$d = \text{gcd}(a, b)$.
1. Si$d$ no divide$c$, entonces la ecuación lineal de Diofantina no$ax + by = c$ tiene solución.

2. Si se$d$ divide$c$, entonces la ecuación lineal de Diofantina$ax + by = c$ tiene infinitamente muchas soluciones. Además, si ($x_0, y_0$) es una solución particular de esta ecuación, entonces todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por

\[x = x_0 + \dfrac{b}{d} k\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ y = y_0 - \dfrac{a}{d} k.\]

donde$k \in \mathbb{Z}$.
Corolario8.23. Dejar$a$,$b$, y$c$ ser enteros con$a \ne 0$ y$b \ne 0$. Si$a$ y$b$ son relativamente primos, entonces la ecuación lineal de Diofantina$ax + by = c$ tiene infinitamente muchas soluciones. Además, si$x_0$,$y_0$ es una solución particular de esta ecuación, entonces todas las soluciones de la ecuación están dadas por
\[x = x_0 + bk\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ y = y_0 - ak,\] $page468image4254810384$ $página468image4254810656$ $página468image4254810928$

donde$k \in \mathbb{Z}$.