Apéndice A: Directrices para la redacción de pruebas matemáticas

Una de las formas más importantes de escritura matemática es escribir pruebas matemáticas. La redacción de pruebas matemáticas es una habilidad adquirida y requiere mucha práctica. A lo largo del libro de texto, hemos introducido diversas pautas para la redacción de pruebas. Estos lineamientos se encuentran en las Secciones 1.1, 1.2, 3.1, 3.2, 3.3 y 4.1.

A continuación se presenta un resumen de todos los lineamientos de redacción introducidos en el texto. Este resumen contiene algunas convenciones estándar que generalmente se siguen al escribir una prueba matemática.

1. Conoce a tu audiencia. Todo escritor debe tener una idea clara de la audiencia prevista para un escrito. De esa manera, el escritor puede dar la cantidad correcta de información al nivel adecuado de sofisticación para comunicarse de manera efectiva. Esto es especialmente cierto para la escritura matemática. Por ejemplo, si un matemático está escribiendo una solución a un problema de libro de texto para un manual de soluciones para instructores, la escritura sería breve con muchos detalles omitidos. Sin embargo, si la escritura fuera para un manual de solución de los estudiantes, se incluirían más detalles.
2. Como ejemplo, un ejercicio en un texto podría decir: “Probar que si\(x\) es un entero impar, entonces\(x^2\) es un entero impar”. Esto podría iniciarse de la siguiente manera:

   Teorema. Si\(x\) es un entero impar, entonces\(x^2\) es un entero impar.
   Prueba: Suponemos que\(x\) es un entero impar...

3. Comience la prueba con una declaración de sus suposiciones. Sigue la declaración de tus suposiciones con una declaración de lo que probarás.

   Prueba. Suponemos que\(x\) y\(y\) son enteros impares y demostraremos que\(x \cdot y\) es un entero impar.

4. Usa el pronombre “nosotros”. Si se usa un pronombre en una prueba, la convención habitual es usar “nosotros” en lugar de “yo”. La idea es hacer hincapié en que tú y el lector están haciendo las matemáticas juntos. Ayudará a animar al lector a seguir trabajando a través de las matemáticas. Observe que iniciamos la prueba del Teorema 1.8 con “Asumimos que...”.
5. Use cursiva para variables cuando use un procesador de textos. Cuando se usa un procesador de textos para escribir matemáticas, el procesador de textos necesita ser capaz de producir los símbolos y ecuaciones matemáticas apropiados. Las matemáticas que se escriben con un procesador de textos deben parecerse a las matemáticas tipográficas. Esto significa que las variables deben estar en cursiva, negritas se usa para los vectores y la fuente regular se usa para términos matemáticos como los nombres de las funciones trigonométricas y las funciones logarítmicas.

   Por ejemplo, no escribimos sin x o\(sin\ x\). La forma correcta de mecanografiar esto es el pecado\(x\).

6. No usar\(\ast\) para multiplicación ni para exponentes. Deja este tipo de notación para escribir código de computadora. El uso de esta notación dificulta la lectura de los humanos. Además, evite usar/para división cuando use una fracción compleja.
   Por ejemplo, es muy difícil de leer\((x^3 - 3x^2 + 1/2)/(2x/3 - 7)\); la fracción
   \[\dfrac{x^3 - 3x^2 + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{2x}{3} - 7}\]
   es mucho más fácil de leer.
7. Use oraciones completas y estructura de párrafos adecuada. La buena gramática es una parte importante de cualquier escritura. Por lo tanto, cumplir con las reglas aceptadas de la gramática. Preste mucha atención a la estructura de las oraciones. Escribe pruebas usando frases completas pero evita las oraciones continuas. Además, no olvides la puntuación, y siempre usa un corrector ortográfico cuando uses un procesador de textos.
8. Mantener informado al lector. A veces se prueba un teorema demostrando lo contrapositivo o usando una prueba por contradicción. Si se utiliza cualquiera de los métodos de prueba, esto debe indicarse dentro de las primeras líneas de la prueba. Esto también se aplica si el resultado va a ser probado mediante inducción matemática.

   Ejemplo

   • Demostraremos este resultado demostrando el contrapositivo del comunicado.
   • Demostraremos esta afirmación utilizando una prueba por contradicción.
   • Asumiremos al contrario que....
   • Utilizaremos la inducción matemática para probar este resultado.

   Además, asegúrese de que el lector conozca el estado de cada aseveración que se haga. Es decir, asegurarse de que se establezca claramente si una afirmación es una suposición del teorema, un resultado previamente probado, un resultado bien conocido, o algo del trasfondo matemático del lector.

9. Mostrar ecuaciones importantes y expresiones matemáticas. Las ecuaciones y manipulaciones son a menudo una parte integral de la exposición. No escribir ecuaciones, manipulaciones algebraicas o fórmulas en una columna con razones dadas en otra columna (como suele hacerse en los textos de geometría). Deben mostrarse ecuaciones y manipulaciones importantes. Esto significa que deben estar centradas con líneas en blanco antes y después de la ecuación o manipulaciones, y si un lado de una ecuación no cambia, no debe repetirse. Por ejemplo,

   Usando álgebra, obtenemos
   \[\begin{array} {rcl} {x \cdot y} &= & {(2m + 1)(2n + 1)} \\ {} &= & {4mn + 2m + 2n + 1} \\ {} &= & {2(2mn + m + n) + 1.} \end{array}\]
   \(m\) Since y\(n\) son enteros, concluimos que....

10. Directrices de numeración de ecuaciones. Si es necesario hacer referencia a una ecuación más adelante en una prueba, esa ecuación debe ser centrada y mostrada, y se le debe dar un número. El número para la ecuación debe escribirse en paréntesis en la misma línea que la ecuación en el margen derecho.

    Ejemplo

    Dado que\(x\) es un entero impar, existe un entero\(n\) tal que
    \[x = 2n + 1\]

    Posteriormente en la prueba, puede haber una línea como

    Entonces, usando el resultado en la ecuación (A.3), obtenemos....

    Tenga en cuenta que solo debemos numerar aquellas ecuaciones a las que nos referiremos más adelante en la prueba. Además, tenga en cuenta que la palabra “ecuación” no se pone en mayúscula cuando nos estamos refiriendo a una ecuación por número. Si bien puede ser apropiado usar una “E” mayúscula, la convención habitual en matemáticas no es capitalizar.

11. No utilice un símbolo matemático al comienzo de una oración.
    Por ejemplo, no debemos escribir: “Let\(n\) be an integer. \(n\)es un número entero impar siempre que...”. A muchas personas les resulta difícil de leer y muchas veces tienen que releerlo para entenderlo. Sería mejor escribir: “Un entero\(n\) es un entero impar siempre que...”.
12. Usa el inglés y minimiza el uso de la notación engorrosa. No utilice los símbolos especiales para cuantificadores\(\forall\) (para todos),\(\exists\) (existe), (tal que), o\(\backepsilon\)\(\therefore\) (por lo tanto) en la escritura matemática formal. A menudo es más fácil escribir, y generalmente más fácil de leer, si se usan las palabras en inglés en lugar de los símbolos. Por ejemplo, por qué hacer que el lector interprete
    \[(\forall x \in \mathbb{R}) (\exists y \in \mathbb{R}) (x + y = 0)\]
    dónde es posible escribir
    
    Para cada número real\(x\), existe un número real\(y\) tal que\(x + y = 0\), o más sucintamente (si procede)

    Cada número real tiene una inversa aditiva.

13. Dígale al lector cuando se haya completado el comprobante. Quizás la mejor manera de hacerlo es decir rotundamente que, “Esto completa la prueba”. A pesar de que pueda parecer repetitivo, una buena alternativa es terminar una prueba con una frase que establezca precisamente lo que se ha probado. En cualquier caso, suele ser una buena práctica utilizar algún “símbolo de fin de prueba” como\(\blacksquare\).
14. Mantenlo simple. A menudo es difícil entender un argumento matemático sin importar lo bien que esté escrito. No dejes que tu escritura ayude a que sea más difícil para el lector. Utilizar oraciones simples, declarativas y párrafos cortos, cada uno con un simple punto.
15. Escribe un primer borrador de tu comprobante y luego revísalo. Recuerda que se escribe una prueba para que los lectores sean capaces de leer y entender el razonamiento en la prueba. Sea claro y conciso. Incluya detalles pero no divague. No estar satisfecho con el primer borrador de una prueba. Léelo y refínelo. Al igual que cualquier actividad que valga la pena, aprender a escribir bien las matemáticas requiere práctica y trabajo duro. Esto puede ser frustrante. Todos pueden estar seguros de que habrá algunas pruebas que son difíciles de construir, pero recuerden que las pruebas son una parte muy importante de las matemáticas. Así que trabaja duro y diviértete.