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4.5:4.5 La paradoja de Russell

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    No hay categoría de premio Nobel de matemáticas. 1 El testamento de Alfred Nobel convocó a la entrega de premios anuales en física, química, fisiología o medicina, literatura y paz. Posteriormente, se creó el “Premio Banco de Suecia en Ciencias Económicas en Memoria de Alfred Nobel” y sin duda varios matemáticos han ganado lo que indebidamente se conoce como el premio Nobel de Economía. Pero, no hay premio Nobel de Matemáticas per se. Hay un interesante mito urbano que pretende explicar este lapso: la esposa de Alfred Nobel o lo dejó por, o tuvo una aventura con un matemático —así Nobel, el inventor de la dinamita y un hombre inmensamente rico y poderoso, cuando decidió dotar de un conjunto de premios anuales para “aquellos que, durante el año anterior, habrán conferido el mayor beneficio a la humanidad” finidadamente dejó fuera a los matemáticos.

    Un defecto importante en esta teoría es que Nobel nunca se casó.

    Con toda probabilidad, Nobel simplemente no veía las matemáticas como un campo que proporciona beneficios para la humanidad, al menos no directamente. La división más amplia dentro de las matemáticas es entre las ramas “pura” y “aplicada”. Precisamente donde se encuentra la línea divisoria entre estas esferas es cuestión de opinión, pero se puede argumentar que es hasta el momento de un lado que también se puede llamar físico a un matemático aplicado (o químico, o biólogo, o economista, o.).). Una cosa está clara, Nobel creyó hasta cierto punto en el ethos utilitario. El valor de una cosa (o de una persona) está determinado por lo útil que es (o son), lo que hace interesante que uno de los pocos matemáticos en ganar un premio Nobel fuera Bertrand Russell (el\(1950\) premio en Literatura “en reconocimiento a sus variados y significativos escritos en los que defiende humanitario ideales y libertad de pensamiento”).

    Bertrand Russell fue uno de los intelectuales más coloridos del siglo XX. Ayudó a revolucionar los fundamentos de las matemáticas, pero quizás fue mejor conocido como filósofo. ¡Es difícil concebir a alguien que caracterice a Russell como matemático aplicado!

    Russell era un ferviente activista antibélico y antinuclear. Alcanzó un estatus (compartido con Albert Einstein, pero muy pocos otros) como un eminente científico que también era una poderosa autoridad moral. El trabajo matemático de Russell era de un tipo fundacional muy abstracto; le preocupaba la idea de reducir todo el pensamiento matemático a la lógica y la teoría de conjuntos.

    Al inicio de nuestras investigaciones sobre la teoría de conjuntos, mencionamos que la noción de un “conjunto de todos los conjuntos” conduce a algo paradójico. Ahora estamos listos para mirar más de cerca ese comentario y ojalá obtener una comprensión de la paradoja de Russell.

    En este punto deberías estar bien con la noción de un conjunto que contenga otros conjuntos, pero ¿estaría bien que un conjunto se contenga a sí mismo? Es decir, ¿tendría sentido tener un conjunto definido por

    \(A = \{1, 2, A\}?\)

    El conjunto\(A\) tiene tres elementos,\(1\),\(2\) y en sí mismo. Así podríamos escribir

    \(A = \{1, 2, \{1, 2, A\}\},\)

    y luego

    \(A = \{1, 2, \{1, 2, \{1, 2, A\}\}\},\)

    y luego

    \(A = \{1, 2, \{1, 2, \{1, 2, \{1, 2, A\}\}\}\},\)

    etcétera.

    Esto obviamente parece un problema. En efecto, muchas veces las paradojas parecen ser causadas por autorreferencias de este tipo. Considerar

    La sentencia en esta casilla es falsa.

    Entonces, una alternativa razonable es “hacer” matemáticas entre los conjuntos que no exhiben esta patología en particular.

    Así, dentro del conjunto de todos los conjuntos estamos señalando un subconjunto particular que consiste en conjuntos que no se contienen a sí mismos.

    \(\mathcal{S} = \{A | A \text{ is a set } ∧ A \notin A\}\)

    Ahora dentro del conjunto universal en el que estamos trabajando (el conjunto de todos los conjuntos) solo hay dos posibilidades: un conjunto dado está en\(\mathcal{S}\) o está en su complemento\(\mathcal{S}\). La paradoja de Russell surge cuando tratamos de decidir cuál de estas alternativas pertenece a\(\mathcal{S}\) sí mismo, ¡el problema es que cada alternativa nos lleva a la otra!

    Si asumimos eso\(\mathcal{S} ∈ \mathcal{S}\), entonces debe ser el caso el que\(\mathcal{S}\) satisfaga el criterio de membresía para\(\mathcal{S}\). Así,\(\mathcal{S} \notin \mathcal{S}\).

    Por otro lado, si asumimos eso\(\mathcal{S} \notin \mathcal{S}\), entonces vemos que efectivamente\(\mathcal{S}\) satisface el criterio de pertenencia para\(\mathcal{S}\). Así\(\mathcal{S} ∈ \mathcal{S}\)

    El propio Russell desarrolló una solución para la paradoja que lleva su nombre. Junto a Alfred North Whitehead publicó una obra de\(3\) volumen titulada Principia Mathematica 2 [17]. En los Principia, Whitehead y Russell desarrollan un sistema conocido como teoría de tipos que establece principios para evitar problemas como la paradoja de Russell. Básicamente, un conjunto y sus elementos son de diferentes “tipos” y así no se permite la noción de que un conjunto esté contenido en sí mismo (como elemento).

    Ejercicios:

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Verificar que\((A \implies ¬A) ∧ (¬A \implies A)\) es una contradicción lógica de dos maneras: llenando una tabla de verdad y usando las leyes de equivalencia lógica.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Una forma de salir de la paradoja de Russell es declarar que la colección de conjuntos que no se contienen como elementos no es un conjunto en sí mismo. Explique cómo esto elude la paradoja.


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