1.2: Conjuntos
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Intuitivamente, un conjunto matemático es una colección de objetos matemáticos. Desafortunadamente esta sencilla caracterización de conjuntos, manejados descuidadamente, da lugar a contradicciones. Algunas colecciones resultarán no tener las propiedades que exigimos de conjuntos matemáticos. Un ejemplo de cómo esto puede ocurrir se presenta en la Sección 1.7. Aquí no vamos a desarrollar la teoría formal de conjuntos desde cero. En cambio, asumiremos que ciertos conjuntos de bloques de construcción son conocidos, y describir formas de construir nuevos conjuntos a partir de estos bloques de construcción.
Nuestros bloques de construcción iniciales serán los conjuntos de números naturales, enteros, números racionales y números reales. En el Capítulo 8, mostraremos cómo construir todos estos a partir de los números naturales. Sin embargo, no se puede ir mucho más allá de esto: para hacer matemáticas, hay que comenzar con axiomas que aseveran que existe el conjunto de números naturales.
Si\(X\) es un conjunto y\(x\) es un objeto en\(X\), decimos que\(x\) es un elemento, o miembro, de\(X\). Esto está escrito\[x \in X .\] Escribimos\(x \notin X\) si no\(x\) es miembro de\(X\).
Existen numerosas formas de definir conjuntos. Si un conjunto tiene pocos elementos, puede definirse listando. Por ejemplo,\[X=\{2,3,5,7\}\] es el conjunto de los primeros cuatro números primos. A falta de cualquier otra indicación, se supone que un conjunto definido por una lista tiene como elementos solo los objetos de la lista. Para conjuntos con demasiados elementos para enumerar, debemos proporcionar al lector un medio para determinar la pertenencia al conjunto. El autor puede informar al lector que no se han enumerado todos los elementos del conjunto, sino que se ha proporcionado suficiente información para que el lector identifique un patrón para determinar la pertenencia al conjunto. Por ejemplo, let\[X=\{2,4,6,8, \ldots, 96,98\} .\] Entonces\(X\) es el conjunto de enteros pares positivos menores a 100. Sin embargo, el uso de puntos suspensivos para definir un conjunto puede no funcionar siempre: asume que el lector identificará el patrón que desea caracterizar. Aunque esto suele funcionar, conlleva el riesgo de que el lector no pueda identificar correctamente el patrón pretendido por el autor.
Algunos conjuntos son tan importantes que tienen nombres estándar y anotaciones que necesitarás conocer.
Notación. Números naturales,\(\mathbb{N}\) Los números naturales son los elementos del conjunto\[\{0,1,2,3, \ldots\} .\] Este conjunto se denota por\(\mathbb{N}\).
Cuidado: Muchos autores llaman\(\{1,2,3, \ldots\}\) al conjunto de números naturales. Esto es una cuestión de definición, y no hay convención universal; los logísticos tienden a favorecer nuestra convención, y los algebraistas el otro. En este libro, utilizaremos\(\mathbb{N}^{+}\) para denotar\(\{1,2,3, \ldots\}\).
NOTACIÓN. \(\mathbb{N}^{+} \mathbb{N}^{+}\)es el conjunto de enteros positivos,\[\{1,2,3, \ldots\} \text {. }\] NOTACIÓN. Enteros,\(\mathbb{Z} \mathbb{Z}\) es el conjunto de enteros,\[\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\} \text {. }\] NOTACIÓN. Números racionales,\(\mathbb{Q} \mathbb{Q}\) es el conjunto de números racionales,\[\left\{\frac{p}{q} \text { where } p, q \in \mathbb{Z} \text { and } q \neq 0\right\} \text {. }\] NOTACIÓN. Números reales,\(\mathbb{R} \mathbb{R}\) es el conjunto de números reales. Una buena comprensión de los números reales requiere un poco de desarrollo matemático. De hecho, fue sólo en el siglo XIX cuando realmente llegamos a una comprensión moderna de\(\mathbb{R}\). Tendremos mucho que decir sobre los números reales del Capítulo 8.
Un número\(x\) es positivo si\(x>0\). Un número no\(x\) es negativo si\(x \geq 0\).
NOTACIÓN. \(X^{+}\)Si\(X\) es un conjunto de números reales, usamos\(X^{+}\) para los números positivos en el conjunto\(X\).
La notación que hemos presentado para estos conjuntos es ampliamente utilizada. Presentamos una convención final para los nombres de conjuntos que no es tan ampliamente reconocida, pero que es útil para la teoría de conjuntos.
NOTACIÓN. \(\ulcorner n\urcorner\)es el conjunto de todos los números naturales menores que\(n\):\[\ulcorner n\urcorner=\{0,1,2, \ldots, n-1\} .\] Un propósito de esta notación es asociar canónicamente cualquier número natural\(n\) con un conjunto que tenga exactamente\(n\) elementos.
El lector debe tener en cuenta que no hemos definido los conjuntos anteriores. Estamos asumiendo que estás familiarizado con ellos, y algunas de sus propiedades, en virtud de tu experiencia previa en matemáticas. Eventualmente definiremos los conjuntos sistemáticamente en el Capítulo\(8 .\)
Un método más preciso para definir un conjunto es utilizar condiciones inequívocas que caractericen la pertenencia al conjunto.
Notación. \(\{x \in X \mid P(x)\}\)Dejar\(X\) ser un conjunto (previamente definido), y dejar\(P(x)\) ser una condición o propiedad. Entonces el conjunto\[Y=\{x \in X \mid P(x)\}\] es el conjunto de elementos en los\(X\) que cumplen condición\(P\). El conjunto\(X\) se llama el dominio de la variable.
En palabras, (1.1) se lee: "\(Y\)equivale al conjunto de todos (poco)\(x\) en (capital)\(X\) tal que\(P\) es cierto de\(x\)”. El símbolo "\(\mid\)" en (1.1) a menudo se escribe en su lugar con dos puntos, a saber\(\{x \in X: P(x)\}\). En matemáticas,\(P(x)\) es una fórmula a menudo matemática. Por ejemplo, supongamos que\(P(x)\) es la fórmula "\(x^{2}=4\)”. Por\(P(2)\) nos referimos a la fórmula con 2 sustituido por\(x\), es decir\[" 2^{2}=4 "\] Si la sustitución da como resultado una afirmación verdadera, decimos que se\(P(x)\) mantiene en 2, o\(P(2)\) es verdad. Si la afirmación que resulta de la sustitución es falsa, por ejemplo\(P(1)\), decimos que\(P(x)\) no se sostiene en 1, o que\(P(1)\) es falsa.
Considera el conjunto\[X=\{0,1,4,9, \ldots\} .\] Una definición precisa del mismo conjunto es la siguiente:\[X=\left\{x \in \mathbb{N} \mid \text { for some } y \in \mathbb{N}, x=y^{2}\right\} .\] EJEMPLO 1.3. Dejar\(Y\) ser el conjunto de enteros pares positivos menores a 100. Entonces se\(Y\) puede escribir:\[\left\{x \in \mathbb{N} \mid x<100 \text { and there is } n \in \mathbb{N}^{+} \text {such that } x=2 \cdot n\right\}\] EJEMPLO 1.4. Un intervalo\(I\) es un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) con la propiedad que siempre\(a, b \in I\) y\(a<c<b\), entonces\(c\) está en\(I\). Un intervalo acotado debe tener una de las cuatro formas\[\begin{aligned} (a, b) &=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x<b\} \\ {[a, b) } &=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x<b\} \\ (a, b] &=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x \leq b\} \\ {[a, b] } &=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} \end{aligned}\] donde en los tres primeros casos\(a\) y\(b\) son números reales con\(a<b\) y en el cuarto caso solo requerimos\(a \leq b\). Los intervalos no delimitados tienen cinco formas:\[\begin{aligned} (-\infty, b) &=\{x \in \mathbb{R} \mid x<b\} \\ (-\infty, b] &=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\} \\ (b, \infty) &=\{x \in \mathbb{R} \mid x>b\} \\ {[b, \infty) } &=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq b\} \\ \mathbb{R} & \end{aligned}\] donde\(b\) hay algún número real. Un intervalo se llama cerrado si contiene todos sus extremos (ambos\(a\) y\(b\) en el primer grupo de ejemplos, solo\(b\) en los primeros cuatro ejemplos del segundo grupo), y abierto si no contiene ninguno de ellos. Observe que esto hace que\(\mathbb{R}\) el único intervalo que sea a la vez cerrado y abierto.
En aras de la brevedad, un autor no puede identificar explícitamente el dominio de la variable. Tenga cuidado con esto, ya que el autor está confiando en el lector para hacer las suposiciones necesarias. Por ejemplo, considere el conjunto\[X=\left\{x \mid\left(x^{2}-2\right)(x-1)\left(x^{2}+1\right)=0\right\} .\] Si se supone que el dominio de la variable es\(\mathbb{N}\), entonces\[X=\{1\} .\] Si se supone que el dominio de la variable es\(\mathbb{R}\), entonces\[X=\{1, \sqrt{2},-\sqrt{2}\} .\] Si se asume que el dominio de la variable es el números complejos, entonces,\[X=\{1, \sqrt{2},-\sqrt{2}, i,-i\}\] dónde\(i\) está el número complejo\(\sqrt{-1}\). Recuerde, la carga de la comunicación clara recae en el autor, no en el lector.
Otra alternativa es incluir el dominio de la variable en la condición que define la pertenencia al conjunto. Entonces, si\(X\) es el dominio pretendido del conjunto y\(P(x)\) es la condición para la pertenencia al conjunto,\[\{x \in X \mid P(x)\}=\{x \mid x \in X \text { and } P(x)\} .\] siempre y cuando la definición sea clara, el autor tiene cierta flexibilidad con respecto a la notación.
1.2.1. Establecer Identidad.
¿Cuándo son iguales dos conjuntos? Podría inclinarse a decir que dos conjuntos son iguales siempre que sean la misma colección de objetos. Por supuesto que esto es cierto, pero la igualdad como relación entre objetos no es muy interesante. Sin embargo, probablemente hayas pasado mucho tiempo investigando ecuaciones (que son solo declaraciones de igualdad), y dudamos de que la igualdad pareciera trivial. Esto se debe a que en general la igualdad debe entenderse como una relación entre descripciones o nombres de objetos, más que entre los propios objetos. El enunciado\[a=b\] es una afirmación de que el objeto representado por\(a\) es el mismo objeto que el representado por\(b\). Por ejemplo, la sentencia\[5-3=2\] es la afirmación de que el número representado por la expresión aritmética\(5-3\) es el mismo número que el representado por el numeral 2.
En el caso de los conjuntos, esta noción de igualdad se llama extensionalidad.
Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. Entonces\(X=Y\) siempre que cada elemento de también\(X\) sea un elemento de\(Y\) y cada elemento de también\(Y\) sea un elemento de\(X\).
Hay flexibilidad en cómo se caracteriza un conjunto siempre y cuando tengamos claro qué objetos constituyen el conjunto. Por ejemplo, consideremos la ecuación establecida\[\{\text { Mark Twain, Samuel Clemens }\}=\{\text { Mark Twain }\} .\] Si por “Mark Twain” y “Samuel Clemens”, nos referimos al autor estadounidense fallecido, estos conjuntos son iguales, por extensión, y la afirmación es verdadera. El conjunto en el lado izquierdo de la ecuación tiene un solo elemento ya que ambos nombres se refieren a la misma persona. Si, sin embargo, consideramos a “Mark Twain” y “Samuel Clemens” como nombres, la afirmación es falsa, ya que “Samuel Clemens” es miembro del conjunto en el lado izquierdo de la ecuación, pero no del lado derecho. Se puede ver que las definiciones de conjuntos pueden depender del dominio implícito de la variable aunque los conjuntos se definan listando.
Considera los siguientes seis conjuntos:\[\begin{aligned} &X_{1}=\{1,2\} \\ &X_{2}=\{2,1\} \\ &X_{3}=\{1,2,1\} \\ &X_{4}=\{n \in \mathbb{N} \mid 0<n<3\} \\ &X_{5}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \text { there exist } x, y, z \in \mathbb{N}^{+} \text {such that } x^{n}+y^{n}=z^{n}\right\} \\ &X_{6}=\{0,1,2\} . \end{aligned}\] Los primeros cinco conjuntos son todos iguales, y el sexto es diferente. No obstante, si bien es obvio que\(X_{1}=X_{2}=X_{3}=X_{4}\), el hecho que\(X_{5}=X_{1}\) es el célebre teorema de Andrew Wiles (su prueba del último teorema de Fermat).
1.2.2. Conjuntos Relativos.
Para decir algo interesante sobre los conjuntos, necesitamos formas de relacionarlos, y vamos a querer formas de crear nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes.
Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. \(X\)es un subconjunto de\(Y\) si cada elemento de\(X\) es también un elemento de\(Y\). Esto se escribe\[X \subseteq Y .\] Superconjunto,\(\supseteq\) Si\(X \subseteq Y\), entonces\(Y\) se llama un superconjunto de\(X\), escrito Con el\[Y \supseteq X .\] fin de mostrar dos conjuntos son iguales (o que dos descripciones de conjuntos se refieren a la misma set), se debe demostrar que tienen precisamente los mismos elementos. A menudo es más fácil si el argumento se rompe en dos argumentos más simples en los que se muestra contención mutua de los conjuntos. En otras palabras, decir\(X=Y\) es lo mismo que decir\[X \subseteq Y \text { and } Y \subseteq X,\] y verificar las dos afirmaciones separadas en (1.6) suele ser más fácil (o al menos más claro) que mostrar\(X=Y\) eso de una vez.
Agreguemos algunas nociones más elementales a nuestra discusión de conjuntos.
Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. \(X\)es un subconjunto propio de\(Y\) si\[X \subseteq Y \text { and } X \neq Y \text {. }\] Escribimos esto como\[X \subsetneq Y\] o\[Y \supsetneq X .\] DEFINICIÓN. Conjunto vacío,\(\emptyset\) El conjunto vacío es el conjunto sin elementos. Se denota por\(\emptyset\).
Entonces para cualquier conjunto,\(X\),\[\emptyset \subseteq X \text {. }\] (Piensa en por qué esto es cierto). \(\emptyset\)El hecho de que esté vacío no quiere decir que no tenga importancia. En efecto, muchas preguntas matemáticas se reducen a preguntar si un conjunto en particular está vacío o no. Además, como verá en el Capítulo 8, podemos construir toda la línea real a partir del conjunto vacío usando operaciones de conjunto.
Demostrar que\[\{n \in \mathbb{N} \mid n \text { is odd and } n=k(k+1) \text { for some } k \in \mathbb{N}\}\] está vacío.
Discutamos algunas formas de definir nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes. DEFINICIÓN. Unión,\(\cup\) Let\(X\) and\(Y\) be sets. La unión de\(X\) y\(Y\), escrito\(X \cup Y\), es el conjunto\[X \cup Y=\{x \mid x \in X \text { or } x \in Y\} .\] (Recordemos nuestra discusión en la Sección 1.1 sobre el significado matemático de la palabra “o”.)
Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. La intersección de\(X\) y\(Y\), escrito\(X \cap Y\), es el conjunto\[X \cap Y=\{x \mid x \in X \text { and } x \in Y\} .\] DEFINICIÓN. Establecer diferencia,\(\backslash\) Let\(X\) and\(Y\) be sets. La diferencia establecida de\(X\) y\(Y\), escrita\(X \backslash Y\), es la\[X \backslash Y=\{x \in X \mid x \notin Y\} .\] definición de conjunto. Disjoint Let\(X\) and\(Y\) be sets. \(X\)y\(Y\) son disjuntos si\[X \cap Y=\emptyset .\] A menudo uno trata con conjuntos que son subconjuntos de algún conjunto fijo dado\(U\). Por ejemplo, cuando se trata de conjuntos de números naturales, el conjunto\(U\) sería\(\mathbb{N}\).
Vamos\(X \subseteq U\). El complemento de\(X\) in\(U\) es el conjunto\(U \backslash X\). Cuando\(U\) se entiende desde el contexto,\(X\) se escribe el complemento de\(X^{c}\).
¿Qué pasa con las operaciones de conjuntos que involucran más de dos conjuntos? A diferencia de la aritmética, en la que existe un orden de operaciones por defecto (potencias, productos, sumas), no existe una convención universal para el orden en que se realizan las operaciones de conjunto. Si las intersecciones y uniones aparecen en la misma expresión, entonces el orden en que se realizan las operaciones puede importar. Por ejemplo, supongamos\(X\) y\(Y\) son conjuntos disjuntos, no vacíos, y consideramos la expresión\[X \cap X \cup Y \text {. }\] Si queremos decir que la intersección se ejecute antes de la unión, entonces\[(X \cap X) \cup Y=X \cup Y .\] If, sin embargo pretendemos que la unión se compute antes de la intersección, entonces\[X \cap(X \cup Y)=X .\] Since no\(Y\) está vacía y disjunta de\(X\),\[(X \cap X) \cup Y \neq X \cap(X \cup Y) .\] En consecuencia, el orden en que se ejecutan las operaciones de conjunto necesita prescribirse explícitamente con paréntesis.
Dejar\(X=\mathbb{N}\) y\(Y=\mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}\). Entonces\[(X \cap X) \cup Y=\mathbb{N} \cup Y=\mathbb{Z} .\] Sin embargo\[X \cap(X \cup Y)=\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}=\mathbb{N} .\] DEFINICIÓN Producto cartesiano, Producto directo,\(X \times Y\) Let\(X\) and\(Y\) be sets. El producto cartesiano de\(X\) y\(Y\), escrito\(X \times Y\), es el conjunto de pares ordenados\[\{(x, y) \mid x \in X \text { and } y \in Y\} .\] El producto cartesiano también se llama el producto directo.
Vamos\[X=\{1,2,3\}\] y\[Y=\{1,2\} .\] Entonces\[X \times Y=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\} .\] Tenga en cuenta que el orden importa - es decir\[(1,2) \neq(2,1) .\] Así\(X \times Y\) es un conjunto con seis elementos. Dado que los productos directos son en sí mismos conjuntos, podemos definir fácilmente el producto directo de más de dos factores. Por ejemplo, dejar\(X, Y\) y\(Z\) ser conjuntos, luego\[(X \times Y) \times Z=\{((x, y), z) \mid x \in X, y \in Y, z \in Z\} .\] Formalmente,\[(X \times Y) \times Z \neq X \times(Y \times Z),\] porque\(((x, y), z)\) y no\((x,(y, z))\) son lo mismo. Sin embargo en casi todas las aplicaciones, esta distinción no es importante, y los matemáticos generalmente consideran el producto directo de más de dos conjuntos sin tener en cuenta este detalle. Por lo tanto, generalmente verá el producto cartesiano de tres conjuntos escritos sin paréntesis,\[X \times Y \times Z \text {. }\] en este caso podrá interpretar el producto directo como cualquiera de los lados de la declaración 1.8.
Con un poco de pensamiento, se puede concluir que hemos descrito esencialmente el producto cartesiano de una colección finita arbitraria de conjuntos. Los elementos del producto cartesiano\(X \times Y\) son pares ordenados. Nuestra caracterización del producto cartesiano de tres conjuntos,\(X, Y\) y\(Z\), indica que sus elementos podrían considerarse como pares ordenados de elementos de\(X \times Y\) y\(Z\), respectivamente. Desde un punto de vista práctico, es más sencillo pensar en elementos\(X \times Y \times Z\) de triples ordenados. Esto lo generalizamos de la siguiente manera.
Producto cartesiano, producto directo,\(\prod_{i=1}^{n} X_{i}\) Let\(n \in\)\(\mathbb{N}^{+}\), y\(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) ser conjuntos. El producto cartesiano de\(X_{1}, \ldots, X_{n}\), escrito\(X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n}\), es el conjunto\[\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in X_{i}, 1 \leq i \leq n\right\} .\] Esto también puede escribirse\[\prod_{i=1}^{n} X_{i} .\] Cuando tomamos el producto cartesiano de un conjunto\(X\) consigo mismo\(n\) tiempos, lo escribimos como \(X^{n}\):\[X^{n}:=\overbrace{X \times X \times \cdots \times X}^{n \text { times }} .\]