1.3: Funciones
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Al igual que los conjuntos, las funciones son omnipresentes en las matemáticas.
Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. Una función\(f\) de\(X\) a\(Y\), denotada por\(f: X \rightarrow Y\), es una asignación de exactamente un elemento de\(Y\) a cada elemento de\(X\).
Para cada elemento\(x \in X\), la función\(f\) asocia o selecciona un elemento único\(y \in Y\). La condición de singularidad no permite\(x\) ser asignada a distintos elementos de\(Y\). Permite que diferentes elementos de\(X\) sean asignados al mismo elemento de\(Y\) sin embargo. Es importante para tu comprensión de las funciones que consideres este punto cuidadosamente. Los siguientes ejemplos pueden ayudar a ilustrar esto.
Let\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}\) be given by\[f(x)=x^{2} .\] Then\(f\) es una función en la que el elemento de\(\mathbb{R}\) asignado al elemento\(x\) de\(\mathbb{Z}\) es especificado por la expresión\(x^{2}\). Por ejemplo,\(f\) asigna 9 al entero 3. Esto lo expresamos por escrito\[f(3)=9 \text {. }\] Observe que no todos los números reales están asignados a un número de\(\mathbb{Z}\). Además, observe que 4 se asigna tanto a 2 como a\(-2\). Comprobar que\(f\) sí satisface la definición de una función.
Dejar\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\(g(x)=\tan (x)\). Entonces no\(g\) es una función, porque no se define cuando\(x=\pi / 2\) (o siempre\(x-\pi / 2\) es un múltiplo entero de\(\pi\)). Esto se puede arreglar definiendo\[X=\mathbb{R} \backslash\{\pi / 2+k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\} .\] Entonces\(\tan : X \rightarrow \mathbb{R}\) es una función de\(X\) a\(\mathbb{R}\). EJEMPLO 1.11. Considerar dos reglas\(f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\),, definidas por\[\begin{array}{ll} f(x)=y & \text { if } 3 x=2-y \\ g(x)=y & \text { if } x=y^{4} . \end{array}\] Entonces\(f\) es una función, y se puede dar explícitamente como\(f(x)=2-3 x\). Pero\(g\) no define una función, porque\(e . g\). cuando\(x=16\), entonces\(g(x)\) podría ser o bien 2 o\(-2\).
Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Si\(a \in X\), entonces el elemento de\(Y\) que se\(f\) asigna a\(a\) se denota por\(f(a)\), y se llama la imagen de\(a\) debajo\(f\).
La notación\(f: X \rightarrow Y\) es una declaración que\(f\) es una función de\(X\) a\(Y\). Esta afirmación tiene como consecuencia que para cada\(a \in X\),\(f(a)\) es un elemento específico de\(Y\). Damos una caracterización alternativa de funciones basada en productos cartesianos.
Vamos\(f: X \rightarrow Y\). La gráfica de\(f, \operatorname{graph}(f)\), es\[\{(x, y) \mid x \in X \text { and } f(x)=y\} .\] EJEMPLO 1.12. Dejar\(X \subseteq \mathbb{R}\) y\(f: X \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\(f(x)=\)\(-x\). Entonces la gráfica de\(f\) es\[\{(x,-x) \mid x \in X\} .\] EJEMPLO 1.13. La función vacía\(f\) es la función con gráfico vacío (esa es la gráfica de\(f\) es el conjunto vacío). Esto significa\(f: \emptyset \rightarrow Y\) para algún conjunto\(Y\).
Si\(f: X \rightarrow Y\), entonces,\[\operatorname{graph}(f) \subseteq X \times Y \text {. }\] Vamos\(Z \subseteq X \times Y\). Entonces\(Z\) es la gráfica de una función de\(X\) a\(Y\) si
(i) para cualquiera\(x \in X\), hay algunos\(y\) en\(Y\) tal que\((x, y) \in Z\)
(ii) si\((x, y)\) está adentro\(Z\) y\((x, z)\) está adentro\(Z\), entonces\(y=z\). Supongamos\(X\) y\(Y\) son subconjuntos de\(\mathbb{R}\). Entonces Condición (i) es la condición de que cada línea vertical a través de un punto de\(X\) corta la gráfica al menos una vez. La condición (ii) es la condición de que cada línea vertical a través de un punto de\(X\) corta la gráfica como máximo una vez.
Vamos\(f: X \rightarrow Y\). El conjunto\(X\) se llama el dominio de\(f\), y está escrito\(\operatorname{Dom}(f)\). El conjunto\(Y\) se llama el codominio de\(f\).
El dominio de una función es un componente necesario de la definición de una función. El codominio es un poco más sutil. Si piensas en las funciones como conjuntos de pares ordenados, es decir, si identificaste la función con su gráfica, entonces cada función tendría muchos codominios posibles (tomar cualquier superconjunto del codominio original). Los teóricos de los conjuntos piensan en las funciones de esta manera, y si las funciones se consideran como conjuntos, la extensionalidad requiere que las funciones con la misma gráfica sean idénticas. No obstante, esta convención haría torpe una discusión de las suryecciones (véase más adelante), por lo que no la adoptaremos.
Cuando escribes\[f: X \rightarrow Y\] estás nombrando explícitamente el codominio previsto, y esto hace que el codominio sea una parte crucial de la definición de la función. Estás indicando al lector que tu definición incluye algo más que la gráfica de la función. La definición de una función incluye tres partes: el dominio, el codominio y la gráfica.
Dejar\(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) ser definido por\[f(n)=n^{2} .\] Let\(g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) be defined by\[g(x)=x^{2} .\] Then\(\operatorname{graph}(f)=\operatorname{graph}(g)\). Si\(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) se define para\[h(x)=x^{2}\] entonces\(\operatorname{graph}(f) \subsetneq \operatorname{graph}(h)\), así\(f \neq h\) y\(g \neq h\). Si bien\(\operatorname{graph}(f)=\)\(\operatorname{graph}(g)\), consideramos\(f\) y\(g\) ser diferentes funciones porque tienen diferentes codominios.
Vamos\(f: X \rightarrow Y\). El rango de\(f, \operatorname{Ran}(f)\), es\[\{y \in Y \mid \text { for some } x \in X, f(x)=y\} \text {. }\] So si\(f: X \rightarrow Y\), entonces\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq Y\), y es precisamente el conjunto de imágenes bajo\(f\) de elementos en\(X\). Eso es\[\operatorname{Ran}(f)=\{f(x) \mid x \in X\} .\] Ningún subconjunto adecuado de\(\operatorname{Ran}(f)\) puede servir como codominio para una función que tiene la misma gráfica que\(f\).
Con la misma notación que en el Ejemplo 1.14, tenemos\(\operatorname{Ran}(f)=\operatorname{Ran}(g)=\left\{n \in \mathbb{N} \mid n=k^{2}\right.\) para algunos\(\left.k \in \mathbb{N}\right\}\). El rango de\(h\) es\([0, \infty)\).
Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Si\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq \mathbb{R}\), decimos que\(f\) es de valor real. Si\(X \subseteq \mathbb{R}\) y\(f\) es una función de valor real, entonces llamamos\(f\) una función real.
A veces se dice que una función es una regla que asigna, a cada elemento de un conjunto dado, algún elemento de otro conjunto. Si por una regla se entiende una instrucción de algún tipo, verá en el Capítulo 6 que hay “más” funciones que no pueden caracterizarse por reglas que funciones que las que pueden haber. En la práctica, sin embargo, la mayoría de las funciones que utilizamos están definidas por reglas.
Si una función viene dada por una regla, es común escribirla en la forma\[\begin{aligned} f: X & \rightarrow Y \\ x & \mapsto f(x) . \end{aligned}\] El símbolo\(\mapsto\) se lee “se mapea a”. Por ejemplo, la función\(g\) en el ejemplo anterior podría definirse mediante el\[\begin{aligned} g: \mathbb{N} & \rightarrow \mathbb{R} \\ n & \mapsto n^{2} . \end{aligned}\] Ejemplo 1.16. La función\[\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \begin{cases}0 & x<0 \\ x+1 & x \geq 0\end{cases} \end{aligned}\] está definida por una regla, aunque para aplicar la regla a un determinado primero se\(x\) debe verificar en qué parte del dominio\(x\) se encuentra.
Cuando una función real es definida por una regla y el dominio no se establece explícitamente, se toma como el conjunto más grande para el que se define la regla. Esta es la convención habitual en el cálculo: las funciones reales se definen por expresiones matemáticas y se entiende que el dominio implícito de una función es el subconjunto más grande\(\mathbb{R}\) para el que la expresión tiene sentido. Se supone que el codominio de una función real es a\(\mathbb{R}\) menos que se indique explícitamente lo contrario.
Que\(f(x)=\sqrt{x}\) sea una función real. Se supone que el dominio de la función es\[\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} .\] DEFINICIÓN. Operación Dejar\(X\) ser un conjunto, y\(n \in \mathbb{N}^{+}\). Una operación\(X\) encendida es una función de\(X^{n}\) a\(X\).
Las operaciones pueden considerarse como medios para combinar elementos de un conjunto para producir nuevos elementos del conjunto. Las operaciones más comunes son las operaciones binarias (cuando\(n=2\)).
\(+\)y\(\cdot\) son operaciones binarias en\(\mathbb{N}\).
\(-\)y no\(\div\) son operaciones en\(\mathbb{N}\).
Let\(X=\mathbb{R}^{3}\), pensado como el conjunto de 3 -vectores. La función\(x \mapsto-x\) es una operación unaria\(X\) encendida, la función\((x, y) \mapsto x+y\) es una operación binaria y la función\((x, y, z) \mapsto x \times y \times z\) es una operación ternaria. Si\(f: X \rightarrow Y, g: X \rightarrow Y\), y\(\star\) es una operación binaria\(Y\) encendida, entonces hay una manera natural de definir una nueva función al\(X\) usar\(\star\). Definir\(f \star g\) por\[\begin{aligned} f \star g: X & \rightarrow Y \\ (f \star g)(x) &=f(x) \star g(x) . \end{aligned}\] EJEMPLO 1.20. Supongamos que\(f\) es la función real\(f(x)=x^{3}\), y\(g\) es la función real\(g(x)=3 x^{2}-1\). Entonces\(f+g\) es la función real\(x \mapsto x^{3}+3 x^{2}-1\), y\(f \cdot g\) es la función real\(x \mapsto x^{3}\left(3 x^{2}-1\right)\).
Otra forma de construir nuevas funciones es por composición.
Dejar\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\). Entonces la composición de\(g\) con\(f\) es la función,\[\begin{aligned} g \circ f: X & \rightarrow Z \\ x & \mapsto g(f(x)) . \end{aligned}\] EJEMPLO 1.21. Dejar\(f\) ser la función real\[f(x)=x^{2} .\] Dejar\(g\) ser la función real\[g(x)=\sqrt{x} .\] Entonces\[(g \circ f)(x)=|x| .\] ¿qué es\(f \circ g\)? (Tenga cuidado con el dominio).
Let\[\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto 2 x+1 \end{aligned}\] and let\[\begin{aligned} g: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto x^{2}+3 y^{2} . \end{aligned}\] Entonces\[\begin{aligned} f \circ g: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto 2 x^{2}+6 y^{2}+1 . \end{aligned}\] La función no\(g \circ f\) está definida (¿por qué?).