1.4: Inyecciones, Suryecciones, Biyecciones
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Las más básicas entre las características que puede tener una función son las propiedades de inyectividad, surjectividad y bijectividad.
Vamos\(f: X \rightarrow Y\). La función\(f\) se llama inyección si, siempre que\(x\) y\(y\) son elementos distintos de\(X\), tenemos\(f(x) \neq f(y)\). Las inyecciones también se llaman funciones uno-a-uno.
Otra forma de afirmar la definición (el contrapositivo) es que si\(f(x)=f(y)\) entonces\(x=y\).
La función real\(f(x)=x^{3}\) es una inyección. Para ver esto, dejemos\(x\) y\(y\) sean números reales, y supongamos que\[f(x)=x^{3}=y^{3}=f(y) .\] Entonces\[x=\left(x^{3}\right)^{1 / 3}=\left(y^{3}\right)^{1 / 3}=y .\] Así, para\(x, y \in X\),\[f(x)=f(y) \text { only if } x=y .\]
La función real no\(f(x)=x^{2}\) es una inyección, ya que\[f(2)=4=f(-2) .\] Observe que un solo ejemplo es suficiente para demostrar que\(f\) no es una inyección.
Supongamos\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\). Demostrar que si\(f\) y\(g\) son inyectables, así es\(g \circ f\).
PRUEBA. Supongamos que\(g \circ f(x)=g \circ f(y)\). Ya que\(g\) es inyectable, esto quiere decir que\(f(x)=f(y)\). Ya que\(f\) es inyectable, esto a su vez significa eso\(x=y\). Por lo tanto,\(g \circ f\) es inyectable, según se desee. (Ver Ejercicio\(1.20\) a continuación).
Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Decimos que\(f\) es una sobrejección de\(X\) a\(Y\) si\(\operatorname{Ran}(f)=Y\). También describimos esto diciendo que\(f\) está sobre\(Y\).
La función\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por no\(f(x)=x^{2}\) es una sobreyección. Por ejemplo,\(-1\) está en el codominio de\(f\), pero\(-1 \notin \operatorname{Ran}(f)\). Por lo tanto,\(\operatorname{Ran}(f) \subsetneq \mathbb{R}\).
Dejar\(Y=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}\), y\(f: \mathbb{R} \rightarrow Y\) ser dado por\(f(x)=x^{2}\). Entonces\(f\) es una sobrejección. Para probarlo, tenemos que demostrarlo\(Y=\operatorname{Ran}(f)\). Eso lo sabemos\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq Y\), así que debemos mostrar\(Y \subseteq \operatorname{Ran}(f)\). Vamos\(y \in Y\), así\(y\) es un número real no negativo. Entonces\(\sqrt{y} \in \mathbb{R}\), y\(f(\sqrt{y})=y\). Entonces\(y \in \operatorname{Ran}(f)\). Ya que\(y\) fue un elemento arbitrario de\(Y, Y \subseteq \operatorname{Ran}(f)\). De ahí\(Y=\operatorname{Ran}(f)\) y\(f\) es una sobrejección.
El hecho de que una función sea una sobreyección depende de la elección del codominio. Una función está siempre en su rango. Quizás te preguntes por qué uno no definiría simplemente el codominio como el rango de la función (garantizando que la función es una suryección). Una razón es que podemos estar más interesados en relacionar dos conjuntos usando funciones que en cualquier función particular entre los conjuntos. Estudiamos una importante aplicación de funciones para relacionar conjuntos en el Capítulo 6, donde utilizamos funciones para comparar el tamaño de los conjuntos. Esto es de particular interés a la hora de comparar conjuntos infinitos, y ha llevado a profundizar en los fundamentos de las matemáticas.
Si juntamos las ideas de una inyección y una suryección, llegamos a la idea clave de una biyección.
Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Si\(f\) es una inyección y una sobreyección, entonces\(f\) es una biyección. Esto está escrito como\(f: X \mapsto Y\).
¿Por qué son tan importantes las bijecciones? Desde un punto de vista teórico, las funciones pueden ser utilizadas para relacionar el dominio y el codominio de la función. Si está familiarizado con un conjunto, es posible que pueda desarrollar conocimientos en un conjunto diferente al encontrar una función entre los conjuntos que conserve algunas de las características clave de los conjuntos. Por ejemplo, una inyección puede “interpretar” un conjunto en un conjunto diferente. Si la inyección conserva la información crítica del dominio, podemos comportarnos como si el dominio de la función fuera prácticamente un subconjunto del codominio mediante el uso de la función para “renombrar” los elementos del dominio. Si la función es una biyección, y conserva las características estructurales clave del dominio, podemos tratar el dominio y el codominio como prácticamente el mismo conjunto. Cuáles son las características estructurales clave depende del área de matemáticas que estés estudiando. Por ejemplo, si estás estudiando estructuras algebraicas, probablemente estés más interesado en preservar las operaciones de la estructura. Si estás estudiando geometría, te interesan las funciones que preserven la forma. La preservación de las características estructurales clave del dominio o codominio a menudo nos permite traducir el conocimiento de un conjunto en conocimiento equivalente de otro conjunto.
\(X\)Déjese ser un conjunto. Una permutación de\(X\) es una biyección\(f: X \mapsto X\).
Dejar\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) ser definido por\[f(x)=x+1 .\] Entonces\(f\) es una permutación de\(\mathbb{Z}\).
Vamos\(X=\{0,1,-1\}\). Entonces\(f: X \rightarrow X\) dada por\(f(x)=-x\) es una permutación de\(X\).