1.7: La paradoja de Russell

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Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

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A medida que se exploraron las ideas para la teoría de conjuntos, hubo intentos de definir conjuntos de la manera más amplia posible. Se esperaba que cualquier colección de objetos matemáticos que pudiera definirse por una fórmula calificaría como un conjunto. Esta creencia fue conocida como el Principio de Comprensión General (GCP). Desafortunadamente, el GCP dio lugar a conclusiones que eran inaceptables para las matemáticas. Considera la colección definida por la siguiente fórmula simple:\[V=\{x \mid x \text { is a set and } x=x\} .\] Si\(V\) se considera como un conjunto, entonces ya que\(V=V\),\[V \in V \text {. }\] Si esto no es una inconsistencia, es al menos inquietante. Desafortunadamente, se pone peor. Considera la colección\[X=\{x \mid x \notin x\} .\] Entonces\[X \in X \text { if and only if } X \notin X \text {. }\] Este último ejemplo se llama paradoja de Russell, y demostró que el GCP es falso. Claramente tendría que haber algún control sobre qué definiciones dan lugar a conjuntos. La teoría axiomática de conjuntos fue desarrollada para proporcionar reglas para definir rigurosamente conjuntos. Damos una breve discusión en el Apéndice B.