8.4: Los números reales

Completamos nuestra construcción de los números reales (tenemos los números irracionales restantes) con el objetivo de probar el orden completo de los números reales, y derivar algunas consecuencias importantes de la integridad. Muchos de los resultados más potentes e interesantes del cálculo dependen de esta propiedad de los números reales. Si se le ha pedido que acepte algunos de estos teoremas sobre la fe, ahora es el momento de recompensar su confianza.

Hay un par de formas diferentes de construir los números reales a partir de los números racionales. Un enfoque es definir los números reales como secuencias convergentes de números racionales. El otro enfoque común es caracterizar los números reales como subconjuntos de números racionales que satisfacen ciertas condiciones.

DEFINICIÓN. Corte Dedekind Un corte Dedekind\(L\) es un subconjunto propio no vacío de\(\mathbb{Q}\) que no tiene elemento máximo y satisface\[(\forall a, b \in \mathbb{Q})[a \in L \wedge b<a] \Rightarrow[b \in L] .\] Let\(L\) be a Dedekind cut. Entonces hay algún número racional\(a \in L\), y por lo tanto todos los números racionales menos entonces\(a\) están en\(L\). Vamos\(R=\mathbb{Q} \backslash L\). Ya que\(L \neq \mathbb{Q}\), hay\(c \in R\) y cada número racional mayor de lo que\(c\) está en\(R\). Está claro que\(\{L, R\}\) es una partición de\(\mathbb{Q}\) y que cada elemento de\(L\) es menor que cada elemento de\(R\). Entonces Dedekind corta “dividir” los números racionales. Asociaremos cada corte de Dedekind con un número real ubicado en la división de la línea numérica real.

OBSERVACIÓN. Para ayudar a nuestra imagen mental de lo que está pasando, pensamos en\(L\) como todos los números racionales a la izquierda de algún número real fijo\(\alpha\), es decir, como\((-\infty, \alpha) \cap \mathbb{Q}\), y\(R\) como los números racionales a la derecha,\([\alpha, \infty) \cap \mathbb{Q}\). Por supuesto que aún no sabemos a qué nos referimos exactamente con “el número real\(\alpha\) “, pero esta es la idea a tener en cuenta. Tenga en cuenta que\(R\) tendrá un elemento mínimo iff\(\alpha\) es racional.

Para entender cómo los cortes de Dedekind se relacionan con los números, construimos una inyección desde los números racionales hasta los cortes de Dedekind. Déjese\(\mathcal{D}\) ser el conjunto de cortes de Dedekind. Definimos una inyección\(i: \mathbb{Q} \rightarrow \mathcal{D}\) por\[i(a)=\{b \in \mathbb{Q} \mid b<a\} .\] La función\(i\) es una inyección bien definida que nos informa de cómo\(\mathbb{Q}\) encaja en\(\mathcal{D}\).

Determinaremos el orden y las operaciones sobre\(\mathcal{D}\) para que coincidan con el orden lineal habitual y las operaciones sobre las\(\mathbb{Q}\) que se hereden en\(i[\mathbb{Q}]\). Es decir, vamos a definir el orden lineal, suma y multiplicación\(\mathcal{D}\) encendido para que para\(a, b \in \mathbb{Q}\),\[\begin{aligned} {[a \leq b] } & \Longleftrightarrow[i(a) \leq i(b)] \\ i(a+b) &=i(a)+i(b) \\ i(a \cdot b) &=i(a) \cdot i(b) \end{aligned}\] Si podemos hacer esto, podemos pensar en\(\mathcal{D}\) como una extensión de\(\mathbb{Q}\). ¿Cómo lo hacemos?

Para\(L, K \in \mathcal{D}\), definimos la relación\(\leq\) en\(\mathcal{D}\) por\[[L \leq K] \Longleftrightarrow[L \subseteq K] .\] Usted debe confirmar que\(\leq\) es un orden lineal de\(\mathcal{D}\) y que la relación\(\leq\) en\(i[\mathbb{Q}]\) satisface (1). Si\(L \in \mathcal{D}\) y\(L<i(0)\) decimos que\(L\) es negativo. Si\(L>i(0)\), decimos que\(L\) es positivo. Con un objetivo similar en mente definimos la suma y multiplicación en\(\mathcal{D}\). Es decir, queremos que las operaciones satisfagan ciertas propiedades de suma y multiplicación y queremos que las operaciones definidas en\(i[\mathbb{Q}]\) coincidan con las operaciones en\(\mathbb{Q}\).

Si\(L, K \in \mathcal{D}\), entonces\[L+K:=\{a+b \mid a \in L \text { and } b \in K\} .\] Verifica que\(L+K\) sea un corte Dedekind, y que (2) se mantenga.

La multiplicación requiere un poco más de esfuerzo para definir. (¿Por qué no podemos dejar\(L \cdot K=\{a b \mid a \in L, b \in K\}\)?) Si\(L\) o\(K\) es\(i(0)\), entonces\[L \cdot K:=i(0) .\] Si ambos\(L, K \in \mathcal{D}\) son positivos, entonces\[L \cdot K=\{a \cdot b \mid a \in L, b \in K, a>0 \text { and } b>0\} \cup\{c \in \mathbb{Q} \mid c \leq 0\} .\] Verifica que\(L \cdot K\) sea un corte de Dedekind, y que (3) se mantenga para\(a, b>0\).

¿Cómo definimos la multiplicación por cortes “negativos” de Dedekind? Empecemos por definir la multiplicación por\(-1\). Dejar\(L \in \mathcal{D}\) y\(R=\)\(\mathbb{Q} \backslash L\). Definimos\(-L\) por\[-L:=\{c \in \mathbb{Q} \mid(\exists r \in R)-c>r\} .\] Ahora podemos definir multiplicación sobre elementos arbitrarios de\(\mathcal{D}\) para satisfacer las propiedades que deseamos. Si\(L, K \in \mathcal{D}\) y ambos son negativos, entonces\[L \cdot K:=(-L \cdot-K) .\] Si exactamente uno de\(L\) y\(K\) es negativo, entonces\[L \cdot K:=-(-L \cdot K) .\] DEFINICIÓN. Números reales,\(\mathbb{R}\) Los números reales son los cortes de Dedekind, con suma, multiplicación y\(\leq\) definidos como arriba. Denotamos los números reales por\(\mathbb{R}\) cuando no necesitamos pensarlos explícitamente como recortes de Dedekind.

Hemos definido los números reales como conjuntos de números racionales. Ya que los números racionales se definieron utilizando ideas básicas sobre conjuntos, funciones y relaciones, también lo son los números reales. Las propiedades de los números reales que discutimos al inicio de esta sección están satisfechas por los cortes de Dedekind. Por cada número racional\(a\), nos identificamos\(a\) con el corte Dedekind\(i(a)\).

TEOREMA 8.2. Los números reales definidos anteriormente satisfacen:

(i) La suma y la multiplicación son tanto conmutativas como asociativas.

ii)\((\forall L \in \mathcal{D}) L+0=L, L \cdot 1=L\).

iii)\((\forall L \in \mathcal{D}) L+(-L)=0\).

iv)\((\forall L \in \mathcal{D} \backslash\{0\})(\exists K \in \mathcal{D}) L \cdot K=1\).

(v)\((\forall L, K, J \in \mathcal{D}) L \cdot(K+J)=L \cdot K+L \cdot J\).

Comprobante. Ejercicio.