8.5: La propiedad de límite inferior superior

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Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

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DEFINICIÓN. Enborde superior Let\(X \subset \mathcal{D}\). Decimos que\(X\) está acotado arriba si hay\(M \in \mathcal{D}\) tal que\[(\forall x \in X) x \leq M .\] en este caso decimos que\(M\) es un límite superior para\(X\).

DEFINICIÓN. Mínimo límite superior Let\(X \subset \mathcal{D}\) estar delimitado arriba. Supongamos que\(M\) es un límite superior para\(X\) tal que para cualquier límite superior\(N\) para\(X, M \leq N\). Entonces el número\(M\) se llama el límite inferior superior para\(X\).

El límite inferior y el mayor límite inferior se definen análogamente.

TEOREMA 8.3. Propiedad de límite mínimo superior Si\(X\) es un subconjunto no vacío de\(\mathcal{D}\) y está delimitado por encima, entonces\(X\) tiene un límite superior mínimo. Si está acotado por debajo, entonces tiene un mayor límite inferior.

PRUEBA. \(X \subset \mathcal{D}\)Déjese acotar arriba. Dejar\[M=\bigcup_{L \in X} L \subseteq \mathbb{Q} .\] El conjunto\(M\) está delimitado arriba (¿por qué?) , y por lo tanto\(M \neq \mathbb{Q}\). Cualquier elemento de\(M\) es un elemento de algunos\(L \in X\), y en consecuencia no puede ser un elemento máximo de\(L\). Por lo tanto, no\(M\) tiene elemento más grande. Si\(a \in M\),\(c \in \mathbb{Q}\) y\(c<a\) entonces\(c \in M\). Por lo tanto\(M\) es un corte Dedekind. Para cualquier\(L \in X, L \subseteq M\) y por lo tanto es\[L \leq M .\] decir,\(M\) es un límite superior para\(X\).

Vamos\(K<M\). Luego está\(a \in M \backslash K\). Así\(a\) es en algunos\(L_{0}\) en\(X\). Por lo tanto no\(L_{0}\) está contenido\(K\) y no\(K\) es un límite superior para\(X\). De ello se deduce que\(M\) es el límite inferior superior para\(X\).

Dejamos al lector el argumento a favor de la existencia de un mayor límite inferior.

La propiedad de límite inferior superior es la propiedad esencial de los números reales que permite los principales teoremas del cálculo. Es la razón por la que usamos este gran conjunto, en lugar de, digamos, los números algebraicos. Caracteriza de manera única a los números reales como una extensión de los números racionales - ver Teorema\(8.23\) para una declaración precisa.

Ahora que hemos probado esta propiedad clave, utilizaremos\(\mathbb{R}\) para denotar el conjunto de números reales, identificando un número real\(\alpha\) con el corte Dedekind\((-\infty, \alpha) \cap \mathbb{Q}\). Ya no necesitaremos preocuparnos por los cortes de Dedekind per se.