8.3: Los números racionales

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Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

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Los números racionales son proporciones de números enteros, o casi así. Por supuesto, diferentes numeradores y denominadores pueden dar lugar al mismo número racional; de hecho, una buena parte de la aritmética de la escuela primaria se dedica a determinar cuándo dos expresiones distintas para números racionales son iguales. Construimos los enteros a partir de los números naturales con clases de equivalencia de “diferencias” de números naturales. Construimos los números racionales a partir de los enteros de manera análoga, con clases de equivalencia de “cocientes” de enteros. Álgebraicamente esto da lugar a la división.

Vamos\(Q=\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{+}\). Definimos una relación de equivalencia\(\sim\) sobre\(Q\). Si\(\langle a, b\rangle,\langle c, d\rangle \in Q\), entonces\[\langle a, b\rangle \sim\langle c, d\rangle \Longleftrightarrow a \cdot d=b \cdot c .\] Definimos los números racionales,\(\mathbf{Q}\), como las clases de equivalencia de\(Q\) con respecto a la relación de equivalencia\(\sim\). Es decir,\[\mathbf{Q}:=Q / \sim \text {. }\] asociamos las clases de equivalencia de\(\mathbf{Q}\) con los números racionales intuitivos a través de la bijección\(i: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbf{Q}\) definida por\[i\left(\frac{p}{q}\right)=[\langle p, q\rangle]\] for\(\langle p, q\rangle \in Q\).

Definimos las operaciones y el ordenamiento lineal\(\mathbb{Q}\) en términos de las operaciones y el ordenamiento lineal en\(\mathbb{Z}\). Definir suma por\[[\langle a, b\rangle]+[\langle c, d\rangle]:=[\langle a d+b c, b d\rangle]\] y multiplicar por\[[\langle a, b\rangle] \cdot[\langle c, d\rangle]:=[\langle a \cdot c, b \cdot d\rangle] .\] Definimos el ordenamiento lineal en\(\mathbb{Q}\) por\[[\langle a, b\rangle] \leq[\langle c, d\rangle] \quad \text { iff } \quad a \cdot d \leq b \cdot c .\] A través de la construcción de los números racionales, hemos utilizado operaciones de conjunto para construir estructuras matemáticas con las que ya estás familiar. En consecuencia puedes comprobar que la construcción se comporta como esperas. Por ejemplo, se puede probar fácilmente que las operaciones que hemos construido concuerdan con las operaciones habituales de suma y multiplicación sobre los números racionales. Del mismo modo, se puede verificar fácilmente que la relación sobre la que hemos construido\(\mathbb{Q}\) concuerda con el orden lineal habitual de los números racionales. Construir los números reales es más complicado.