8.6: Secuencias reales

Recordemos que una secuencia es una función con dominio\(\mathbb{N}\) (o\(\mathbb{N}^{+}\)). Una secuencia real es una secuencia de valor real (es decir, el rango de la secuencia es un subconjunto de los números reales).

DEFINICIÓN. Subsecuencia Let\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) Ser una secuencia y\(f \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\) ser una secuencia estrictamente creciente de números naturales. Entonces\[\left\langle a_{f(n)} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\] es una subsecuencia de\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\).

EJEMPLO 8.4. Dejar\(s\) ser la secuencia\[\langle 2 n \mid n \in \mathbb{N}\rangle=\langle 0,2,4,6,8, \ldots\rangle .\] Entonces la secuencia\(t\) dada por\[\langle 6 n \mid n \in \mathbb{N}\rangle=\langle 0,6,12,18, \ldots\rangle\] es una subsecuencia de\(s\). En este ejemplo,\(f(n)=3 n\) es la función que demuestra que\(t\) es una subsecuencia de\(s\). Otra subsecuencia de\(s\) es la secuencia\[\left\langle 2^{5 n+3} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\] Recordemos que una secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) se llama no decreciente si\(a_{n+1} \geq a_{n}\) para todos\(n\). Se llama no creciente si se invierte la desigualdad. Todo lo que es cierto para una secuencia no decreciente es cierto, con desigualdades invertidas, para secuencias no crecientes (¿por qué?) , así que en lugar de declarar todo dos veces, podemos usar la palabra monotónico para significar una secuencia que no es creciente (en todas partes) o no decreciente.

LEMA 8.5. Cada secuencia real no decreciente\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) que está delimitada arriba converge a su límite inferior superior. Cada secuencia real no creciente que se limita a continuación converge a su mayor límite inferior.

Comprobante. Sólo probaremos la primera aseveración. Dejar\(M\) ser el límite inferior superior de\(\left\langle a_{n}\right\rangle\). Vamos\(\varepsilon>0\). Ya que\(M\) es el límite inferior superior, existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que,\[0<M-a_{N}<\varepsilon .\] Dado que la secuencia es no decreciente,\[(\forall n \geq N) 0<M-a_{n}<\varepsilon .\] Por lo tanto\(M\) es el límite de la secuencia, según se desee.

TEOREMA 8.6. Teorema de Bolzano-Weierstrass Let\([b, c]\) Ser un intervalo delimitado cerrado de números reales y\(s=\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) ser una secuencia de números reales tal que\[(\forall n \in \mathbb{N}) a_{n} \in[b, c] .\] Entonces\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) tiene una subsecuencia convergente con límite en\([b, c]\). Discusión. Consideramos una secuencia anidada de intervalos, todos los cuales contienen infinitamente muchos elementos del rango de la secuencia\(s\), con el radio de los intervalos acercándose a 0. Construimos una subsecuencia de\(s\) seleccionando secuencialmente elementos en la intersección del rango de\(s\) y los intervalos sucesivos. Luego mostramos que la subsecuencia que construimos es convergente.

PRUEBA. Demostramos el teorema para el intervalo de unidad cerrada\([0,1]\). Es sencillo generalizar este argumento a intervalos delimitados cerrados arbitrarios.

Si el rango de la secuencia es un conjunto finito, entonces al menos un elemento del rango,\(a_{n}\), debe tener una pre-imagen infinita. La pre-imagen de\(a_{n}\) da una subsecuencia que converge a\(a_{n}\). Por lo tanto asumimos que el rango de la secuencia es infinito. Dejar\(S\) ser el rango de la secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\).

Definimos una secuencia anidada de intervalos cerrados,\(I_{n}=\left\langle\left[b_{n}, c_{n}\right]\right| n \in\)\(\mathbb{N}\rangle\) satisfaciendo

(1)\(I_{0}=[0,1]\)

(2) Para todos\(n \in \mathbb{N}, I_{n+1} \subset I_{n}\)

(3)\(c_{n}-b_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)

(4) Porque todo\(n \in \mathbb{N}, I_{n} \cap S\) es infinito.

Vamos\(I_{0}=[0,1]\). Supongamos que tenemos\(I_{n}\) satisfaciendo las condiciones anteriores. Al menos uno de los intervalos\(\left[b_{n}, b_{n}+\frac{1}{2^{n+1}}\right]\) y\(\left[b_{n}+\frac{1}{2^{n+1}}, c_{n}\right]\) debe contener infinitamente muchos elementos de\(S\). Que\(I_{n+1}=\left[b_{n}, b_{n}+\frac{1}{2^{n+1}}\right]\) si la intersección de este conjunto con\(S\) es infinita; de lo contrario vamos\(I_{n+1}=\)\(\left[b_{n}+\frac{1}{2^{n+1}}, c_{n}\right]\). Entonces\(I_{n+1}\) satisface las condiciones anteriores.

La secuencia de puntos finales izquierdos de los intervalos no\(I_{n},\left\langle b_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) es decreciente. La secuencia de extremos derechos de los intervalos\(I_{n}\), no\(\left\langle c_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) es creciente. Además, para cualquier\(m, n \in \mathbb{N}\),\[b_{m}<c_{n} .\] El conjunto\(\left\{b_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}\) está delimitado arriba, por lo que por la Propiedad de Límite Mínimo Superior el conjunto tiene un límite superior mínimo,\(\beta\). De igual manera el conjunto\(\left\{c_{n} \mid\right.\)\(n \in \mathbb{N}\}\) tiene un mayor límite inferior\(\gamma\). Por Lema\(8.5\)\[\begin{aligned} &\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\beta \\ &\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\gamma . \end{aligned}\] Por el triángulo desigualdad, para cualquier\(n \in \mathbb{N}\),\[|\beta-\gamma| \leq\left|\beta-b_{n}\right|+\left|b_{n}-c_{n}\right|+\left|c_{n}-\gamma\right| .\] Los tres términos en el lado derecho de la desigualdad tienden a 0 a medida que se\(n\) acerca al infinito, así que para cualquier\(\varepsilon>0\), \[|\beta-\gamma|<\varepsilon .\]De ahí\(\beta=\gamma\).

Ahora queremos definir una subsecuencia a la que converja\(\beta\), eligiendo un punto en cada intervalo\(I_{n}\) en turno. Formalmente hacemos esto definiendo\(f \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\) recursivamente por\[f(0)=0\] y\(f(n+1)\) es lo menos\(k \in \mathbb{N}\) tal que\[[k>f(n)] \wedge\left[a_{k} \in I_{n+1}\right] .\] Esto está bien definido ya que\(S \cap I_{n+1}\) es infinito. Entonces la secuencia\(\left\langle a_{f(n)}\right|\)\(n \in \mathbb{N}\rangle\) converge a\(\beta\). Para ver esto, vamos\(\varepsilon>0\). Para cualquier\(n \in \mathbb{N}\) tal que\(\frac{1}{2^{n}}<\varepsilon\),\[\left|\beta-a_{f(n)}\right|<c_{n}-b_{n}=\frac{1}{2^{n}}<\varepsilon .\] Por lo tanto\(\left\langle a_{f(n)} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) es una subsecuencia convergente que converge a\(\beta\).

DEFINICIÓN. Secuencia de Cauchy Let\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) Ser una secuencia. La secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) es una secuencia de Cauchy si\[(\forall \varepsilon>0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall m, n \in \mathbb{N})[m, n \geq N] \Rightarrow\left[\left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon\right] .\] TEOREMA 8.7. Una secuencia real converge si es una secuencia de Cauchy. PRUEBA. \(\Rightarrow\)

\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\)Sea una secuencia de números reales que converja a\(a \in \mathbb{R}\).

Dejar\(\varepsilon>0\) y\(N \in \mathbb{N}\) ser tal que\[(\forall n \geq N)\left|a-a_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} .\] Entonces para cualquier\(m, n \geq N\),\[\left|a_{n}-a_{m}\right| \leq\left|a_{n}-a\right|+\left|a-a_{m}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .\] Por lo tanto\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) es una secuencia de Cauchy.

\(\Leftarrow\)

\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\)Déjese ser una secuencia de Cauchy. Entonces\[(\exists N \in \mathbb{N})(\forall m, n>N)\left|a_{n}-a_{m}\right|<1 .\] Cada término en la secuencia posterior al\(N^{\text {th }}\) término está en la\(\varepsilon\) -vecindad de\(a_{N}\). Entonces\[(\forall n \geq N) a_{n} \in\left[a_{N}-1, a_{N}+1\right] .\] La secuencia\(\left\langle a_{n} \mid n \geq N\right\rangle\) satisface las hipótesis del Teorema de BolzanoWeiersTrass, y así tiene una subsecuencia convergente.

\(\left\langle a_{f(n)} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\)Sea una subsecuencia convergente de\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) converger a\(a \in \mathbb{R}\). Vamos\(\varepsilon>0\). Ya que\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) es Cauchy, hay\(N_{1}\) tal que\[\left(\forall m, n \geq N_{1}\right)\left|a_{m}-a_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} .\] Además, hay\(N_{2} \in \mathbb{N}\) tal que\[\left(\forall n \geq N_{2}\right)\left|a_{f(n)}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2} .\] Let\(N_{3} \geq N_{1}, f\left(N_{2}\right)\). Entonces\(N_{3} \geq N_{2}\) y\[\left(\forall n \geq N_{3}\right)\left|a_{n}-a\right| \leq\left|a_{n}-a_{f(n)}\right|+\left|a_{f(n)}-a\right|<\varepsilon .\] Por lo tanto la secuencia\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) converge a\(a\).

Las secuencias de Cauchy llegan a la esencia del orden-integridad de los números reales. Una secuencia Cauchy de números racionales no necesita converger a un número racional. Por ejemplo, let\(a\) be any irrational number, and let\(a_{n}\) be the decimal approximation of\(a\) to the\(n^{\text {th }}\) digit. La secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) es una secuencia Cauchy de números racionales que converge en un número irracional. Sin embargo, si una secuencia de Cauchy no logra converger en un conjunto de números, es razonable decir que hay una brecha en el conjunto de números. Los números reales se definen para que se llenen estos vacíos.