8.7: Prueba de relación

Uno de los usos del orden-integridad de los números reales es demostrar que converge una secuencia infinita, sin tener que saber mucho sobre el número al que converge. En el Capítulo 5 aludimos a la prueba de ratio al afirmar que el polinomio Taylor para la función exponencial evaluada en un número real\(a, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^{k}}{k !}\), converge. ¿Cómo demostramos que converge una suma infinita? Si tenemos una idea de su límite, podríamos demostrar que la secuencia de sumas parciales se acerca a este valor. Es así como demostramos que la suma geométrica con relación menor a 1 converge. Muchas funciones matemáticas importantes se definen por sumas infinitas, y el límite de la suma define el valor de la función. En este caso necesitamos demostrar que la suma converge usando propiedades de los números reales.

DEFINICIÓN. Convergencia absoluta Let\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) Ser una secuencia infinita. Si la suma infinita\[\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|\] converge entonces\(\operatorname{sum} \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\) se dice que el infinito converge absolutamente.

LEMA 8.8. Si una suma infinita converge absolutamente, entonces converge.

Comprobante. Asumir\(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\) converge absolutamente. Mostramos que la secuencia de sumas parciales de esta serie,\(\left\langle s_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\), es una secuencia de Cauchy. Para\(n \in \mathbb{N}\), vamos\[b_{n}=\left|a_{n}\right| .\] Entonces\(\sum_{k=0}^{\infty} b_{k}\) converge. Dejar\(\left\langle t_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) ser la secuencia de sumas parciales de\(\sum_{k=0}^{\infty} b_{k}\). Por teorema\(8.7,\left\langle t_{n}\right\rangle\) es una secuencia de Cauchy. Vamos\(\varepsilon>0\). Entonces hay\(N \in \mathbb{N}\) tal que para cualquier\(n \geq m \geq N\),\[\left|t_{n}-t_{m}\right| \leq \varepsilon .\] Por una generalización del triángulo la desigualdad (ver Ejercicio 8.24)\[\left|s_{n}-s_{m}\right|=\left|\sum_{k=m+1}^{n} a_{k}\right| \leq \sum_{k=m+1}^{n} b_{k}=\left|t_{n}-t_{m}\right|<\varepsilon\] De ahí\(\left\langle s_{n}\right\rangle\) es una secuencia Cauchy y converge. Por lo tanto\(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\) converge.

TEOREMA 8.9. Prueba de ratio Supongamos que\(\left\langle a_{k}\right\rangle\) es una secuencia infinita de números reales y que hay\(N \in \mathbb{N}\) y un número real positivo\(r<1\) tal que para todos\(n \geq N\),\[\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \leq r .\] Entonces\(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\) converge.

Comprobante. \(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\)Sea una suma infinita con términos que satisfagan la hipótesis. Para\(n \in \mathbb{N}\), vamos\(b_{n}=\left|a_{n}\right|\). Por supuesto, hay\(N \in \mathbb{N}\) y un número real positivo\(r<1\) tal que para todos\(n \geq N\),\[\frac{b_{n+1}}{b_{n}} \leq r .\] Podemos asumir sin pérdida de generalidad que\(N=0\), ya que la serie\(\sum_{k=0}^{\infty} b_{k}\) converge iff \(\sum_{k=N}^{\infty} b_{k}\)converge, y si es necesario podemos ignorar finitamente muchos términos de la suma infinita. Afirmamos que para todos\(n \in \mathbb{N}\),\[b_{n} \leq b_{0} r^{n} .\] Si\(n=0\) el reclamo es obvio. Asumir que la reclamación se mantiene en\(n\). Por supuesto,\[\frac{b_{n+1}}{b_{n}} \leq r .\] Por lo tanto\[b_{n+1} \leq r b_{n} \leq r b_{0} r^{n} \leq b_{0} r^{n+1} .\] Por Ejercicio 5.28, la suma geométrica con radio\(-1<r<1\) converge a\(\frac{1}{1-r}\). Por lo tanto\(n \in \mathbb{N}\), para cualquiera,\[s_{n}:=\sum_{k=0}^{n} b_{k} \leq \sum_{k=0}^{n} b_{0} r^{k}=b_{0}\left(\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}\right) \leq \frac{b_{0}}{1-r} .\] La secuencia de sumas parciales\(\left\langle s_{n}\right\rangle\),, es una secuencia acotada monotónica y por Lemma\(8.5\), converge. Por lo tanto\(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\) converge absolutamente. Por Lema\(8.8\) la suma converge.