9.3: Tartaglia-Cardano Revisitado

Consideremos de nuevo Ejemplo 9.9. Queríamos encontrar las raíces cúbicas de\[\zeta_{\pm}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} .\] Si tomamos la\(+\) señal, obtenemos\[\zeta_{+}=\operatorname{Cis}(2 \pi / 3),\] y si tomamos la - señal, obtenemos\[\zeta_{-}=\operatorname{Cis}(4 \pi / 3) .\] Así\(\zeta_{+}\) tiene 3 raíces, es decir\[\left\{\operatorname{Cis}\left(\frac{2 \pi}{9}+\frac{2 k \pi}{3}\right): k=0,1,2\right\} \text {, }\] y\(\zeta_{-}\) tiene 3 raíces, a saber\[\left\{\operatorname{Cis}\left(\frac{4 \pi}{9}+\frac{2 k \pi}{3}\right): k=0,1,2\right\} \text {, }\] Saber\(w\), queremos encontrar\(x\), que por ejemplo\(9.9\) viene dado por\(w+1 / w\). Para cualquier número\(w\) que pueda escribirse como\(\operatorname{Cis}(\theta)\) (es decir, cualquier número complejo de módulo 1), tenemos\[\begin{aligned} w+\frac{1}{w} &=\cos \theta+i \sin \theta+\cos (-\theta)+i \sin (-\theta) \\ &=2 \cos \theta . \end{aligned}\] Por lo tanto las raíces del polinomio dadas en (9.10)\[\left\{2 \cos \frac{2 \pi}{9}, 2 \cos \frac{8 \pi}{9}, 2 \cos \frac{14 \pi}{9}, 2 \cos \frac{4 \pi}{9}, 2 \cos \frac{10 \pi}{9}, 2 \cos \frac{16 \pi}{9}\right\} .\] son estas 6 raíces diferentes? Teorema\(4.10\) dice que\(p\) puede tener como máximo 3 raíces diferentes. Como\(\cos (\theta)=\cos (2 \pi-\theta)\), vemos nuestro conjunto (9.27) puede escribirse como\[\left\{2 \cos \frac{2 \pi}{9}, 2 \cos \frac{4 \pi}{9}, 2 \cos \frac{8 \pi}{9}\right\} .\] Resulta que la fórmula Tartaglia-Cardano (9.7) sí da las tres raíces del cúbico, y además no importa si uno elige el\(-\) signo\(+\) o, siempre y cuando como se calcula las 3 raíces cúbicas de (9.6) para alguna elección de signo. Utilizaremos\(\mathbb{C}[z]\) para denotar el conjunto de polinomios en\(z\) con coeficientes de\(\mathbb{C}\).

TEOREMA 9.29. Considerar el polinomio\[p(z)=z^{3}+a z+b\] en\(\mathbb{C}[z]\), y asumir\(a \neq 0\). Let\(c=-a / 3\), y\[\zeta=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}}{2} .\] let\(\zeta\) be Let\(w_{1}, w_{2}, w_{3}\) be las tres distintas raíces cúbicas de\(\zeta\). Para cada uno\(w_{i}\), defina\(z_{i} b y\)\[z_{i}=w_{i}+\frac{c}{w_{i}} .\] Entonces\[p(z)=\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right) .\] COMENTARIO. De la prueba se deduce que no importa qué raíz cuadrada de\(b^{2}-4 c^{3}\) uno elija en (9.31).

Prueba. Si\(p\) está dado por (9.32), entonces\[p(z)=z^{3}-\left(z_{1}+z_{2}+z_{3}\right) z^{2}+\left(z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right) z-\left(z_{1} z_{2} z_{3}\right) .\] debemos demostrar que los coeficientes en (9.33) coinciden con los de (9.30). Por la Proposición 9.26, podemos asumir\[w_{1}=\omega w_{3}, \quad w_{2}=\omega^{2} w_{3}\] dónde\(\omega=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\) está una primitiva raíz cúbica de unidad. En los siguientes cálculos, utilizamos los hechos que\(\omega^{2}=1 / \omega\) y\(1+\omega+\omega^{2}=0\). (¿Por qué son ciertas?) Observe eso\(w_{3} \neq 0\), como eso obligaría\(c=0\).

El coeficiente de\(z^{2}\) en (9.33) es\[\begin{aligned} -\left(z_{1}+z_{2}+z_{3}\right) &=-w_{3}\left(\omega+\omega^{2}+1\right)-\frac{1}{w_{3}}\left(\omega^{2}+\omega+1\right) \\ &=0 . \end{aligned}\] El coeficiente de\(z\) es\[\begin{aligned} z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}=&\left(\omega w_{3}+c \omega^{2} \frac{1}{w_{3}}\right)\left(\omega^{2} w_{3}+c \omega \frac{1}{w_{3}}\right) \\ &+\left(\omega^{2} w_{3}+c \omega \frac{1}{w_{3}}\right)\left(w_{3}+c \frac{1}{w_{3}}\right) \\ &+\left(w_{3}+c \frac{1}{w_{3}}\right)\left(\omega w_{3}+c \omega^{2} \frac{1}{w_{3}}\right) \\ =& w_{3}^{2}\left(1+\omega^{2}+\omega\right)+3 c\left(\omega+\omega^{2}\right)+\frac{c^{2}}{w_{3}^{2}}\left(1+\omega+\omega^{2}\right) \\ =&-3 c \\ =& a . \end{aligned}\] El término constante en (9.33) es\[\begin{aligned} -z_{1} z_{2} z_{3} &=-\left(\omega w_{3}+c \omega^{2} \frac{1}{w_{3}}\right)\left(\omega^{2} w_{3}+c \omega \frac{1}{w_{3}}\right)\left(w_{3}+\frac{1}{w_{3}}\right) \\ &=-w_{3}^{3}-c w_{3}\left(1+\omega^{2}+\omega\right)-\frac{c^{2}}{\frac{1}{w_{3}}}\left(\omega+1+\omega^{2}\right)-\\ &=-\zeta-\frac{c^{3}}{\zeta} \\ &=-\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}}{2}-\frac{2 c^{3}}{-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}} \\ &=\frac{-b^{2}+2 b \sqrt{b^{2}-4 c^{3}}-\left(b^{2}-4 c^{3}\right)-4 c^{3}}{2\left(-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}\right)} \\ &=\frac{b\left(-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}\right)}{-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}} \\ &=b . \end{aligned}\] Por lo tanto todos los coeficientes de (9.30) y (9.32) coinciden, por lo que son el mismo polinomio.

Por lo tanto, la fórmula Tartaglia-Cardano da las tres raíces a un polinomio cúbico reducido\(p\) con coeficientes complejos (pueden ocurrir raíces repetidas). Si los coeficientes\(a\) y\(b\) son reales, sabemos por el Teorema del Valor Intermedio que al menos una de las tres raíces de\(p\) será real (Ver Ejercicio 8.31). Como muestra el Ejemplo 9.9, sin embargo, aún puede ser necesario tomar la raíz cúbica de un complejo\(\zeta\) para obtener las raíces reales de un cúbico real. Esta realización fue lo que llevó a la aceptación de números complejos como objetos útiles más que como una fantasía extraña.