9.6: Otras observaciones

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Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

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En el capítulo 5 definimos coseno y seno en términos de series de potencia. En la Sección 9.2, los interpretamos geométricamente y utilizamos identidades trigonométricas. Demostrar que la serie de potencias y la interpretación trigonométrica están describiendo realmente la misma función es parte de un curso de Análisis Complejos.

Hay dos ingredientes principales para un primer curso en Análisis Complejos. El primero es mostrar que si una función\(f\) tiene un derivado en todas partes en algún disco abierto, en el sentido que\[\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{f\left(z_{0}\right)-f(z)}{z_{0}-z}\] existe, entonces la función es automáticamente analítica, es decir, expresable por una serie de potencias convergentes. Esto no es cierto para las funciones reales, y explica gran parte de la naturaleza especial de las funciones diferenciables complejas.

La segunda parte del curso se refiere a evaluar integrales de contorno de funciones diferenciables complejas. Esto es útil no sólo por derecho propio, sino en aplicaciones al análisis real, como invertir la transformación de Laplace, o evaluar integrales definidas.

Una buena introducción al análisis complejo es el libro de Donald Sarason\([7]\).