9.7: Ejercicios

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Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

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EJERCICIO 9.1. ¿Cuáles son las primitivas cuartas raíces de la unidad?

EJERCICIO 9.2. Demostrar que si\(\omega\) hay alguna\(n^{\text {th }}\) raíz de unidad distinta a 1, entonces\(1+\omega+\omega^{2}+\cdots+\omega^{n-1}=0 .\) EJERCICIO 9.3. ¿Cuántas primitivas raíces cubo de unidad hay? ¿Cuántas primitivas sextas raíces? ¿Cuántas\(n^{\text {th }}\) raíces primitivas para un general\(n\)?

EJERCICIO 9.4. Rehacer Ejemplo\(9.8\) para obtener las tres raíces de la fórmula Tartaglia-Cardano.

EJERCICIO 9.5. Vamos\(p(x)=x^{3}+3 x+\sqrt{2}\). Mostrar sin usar la fórmula Cardano-Tartaglia que\(p\) tiene exactamente una raíz real. Encuéntralo. ¿Cuáles son las raíces complejas?

EJERCICIO 9.6. Rellene el comprobante de la Proposición 9.34.

EJERCICIO 9.7. Dejar\(g: G \rightarrow \mathbb{C}\) ser una función continua en\(G \subseteq \mathbb{C}\). \(\Re(g), \Im(g)\)Demuéstralo y\(|g|\) son continuos. Por el contrario, mostrar que la continuidad de\(\Re(g)\) e\(\Im(g)\) implica la continuidad de\(g\).

EJERCICIO 9.8. Mostrar que cada función continua de valor real en un subconjunto cerrado y delimitado de\(\mathbb{C}\) logra su extrema.